奧數(shù)工程常見問題

1.修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完畢，乙隊需要30天完畢。假如兩隊合作，由

于彼此施工有影響，他們的工作效率就要減少，甲隊的工作效率是本來的五分之四，乙隊工

作效率只有本來口勺十分之九。目前計劃16天修完這條水渠，且規(guī)定兩隊合作的天數(shù)盡量少，

那么兩隊要合作幾天？

解：由題意得，甲H勺工效為1/20,乙H勺工效為1/30,甲乙的合作工效為

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又由于，規(guī)定"兩隊合作的天數(shù)盡量少〃，因此應當讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來

不及時才應當讓甲乙合作完畢。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡量少”。

設合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=l

x=10

答：甲乙最短合作10天

2.甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排

一池水要10小時，若水池沒水，同步打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水

池注滿還是要多少小時？

解：

1/20+1/16=9/80表達甲乙的工作效率

9/80x5=45/80表達5小時后進水量

1-45/80=35/80表達還要時注水量

35/80+(9/80-1/10)=35表達還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

3.一件工作，甲、乙合做需4小時完畢，乙、丙合做需5小時完畢。目前先請甲、丙

合做2小時后，余下的乙還需做6小時完畢。乙單獨做完這件工作要多少小時？

解:

由題意知，1/4表達甲乙合作1小時的工作量，1/5表達乙丙合作1小時日勺工作量

(1/4+1/5)x2=9/10表達甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。

根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完畢”可知甲做2小時、乙做6小時、

丙做2小時一共的工作量為lo

I大I此1-9/10=1/10表達乙做6-4=2小時I向T作量0

1/10+2=1/20表達乙的工作效率。

1+1/20=20小時表達乙單獨完畢需要20小時。

答：乙單獨完畢需要20小時。

4.一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪番做，

那么恰好用整數(shù)天竣工；假如第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交

替輪番做，那么竣工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完畢，甲單獨

做這項工程要多少天完畢?

解：由題意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲xO.5=l

（1/甲表達甲的工作效率、"乙表達乙的工作效率，最終結(jié)束必須如上所示，否則第二

種做法就不比第一種多0.5天）

1/甲=1/乙+1/甲x0.5（由于前面日勺工作量都相等）

得至I]1/甲=1/乙x2

又由于1/乙=1/17

因此1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完畢了1/2時，徒弟完畢了120個。當師傅完

畢了任務時，徒弟完畢了4/5這批零件共有多少個？

答案為300個

1204-(4/54-2)=300個

可以這樣想：師傅第一次完畢了1/2,第二次也是1/2,兩次一共所有竣工，那么徒弟

第二次后共完畢了4/5,可以推算出第一次完畢了4/5的二分之一是2/5,剛好是120個。

6.一批樹苗.假如分給男女生栽.平均每人栽6棵：假如單份給女牛栽.平均每人栽

10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答案是15棵

算式：1+(1/6-1/10)=15棵

7.一種池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完,

丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。目前先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,

丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水

放完？

答案45分鐘。

K(1/20+1/30)=12表達乙丙合作將滿池水放完需要時分鐘數(shù),

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表達乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水,

也就是甲18分鐘進H勺水。

1/24-18=1/36表達甲每分鐘進水

最終就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。

8.某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完畢，若由甲隊去做，恰好準期完畢，若乙隊去做，要

超過規(guī)定日期三天完畢，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好準期完畢，問規(guī)定日

期為幾天？

答案為6天

解：

由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完畢，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，

恰好準期完畢，”可知:

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的J工作效率比是3：2

甲、乙分別做所有時的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實際時間日勺差是3天

因此A(3-2)x2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期

方程措施:

[1/x+l/(x+2)]x2+l/(x+2)x(x-2)=1

解得x=6

9.兩根同樣長日勺蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天

晚上停電，小芳同步點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同步熄滅，

發(fā)現(xiàn)粗蠟燭時長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？

答案為40分鐘。

解：設停電了x分鐘

根據(jù)題意列方程

l-l/120*x=(l-l/60*x)*2

解得x=40

一件工作，甲、乙、丙三人合作6小時，乙、丙合作2小時，可以完畢這件工作H勺4/9。假如甲、

乙合作3小時，丙做6小時，可以完畢這件工作的3/4,甲、乙、丙單獨完畢這件工作各需

多少小時？

解：設甲的工作效率為X,乙的工作效率為Y,丙的工作效率為Z。

則(X+Y+Z)*6=1：

6X+2Y+2Z=2/3；

3X+3Y+6Z=2/3

解時：X=l/12,Y=l/36,Z=l/18

故甲乙丙單獨完畢這件工作分別需要12,36,18小時

繼續(xù)追問：我不會3元方程，能不能不用方程解答

補充回答：甲工效=2/3-l/6x2)+4=l/12,甲需要12天

丙工效=(2/3-1/6x3)7=1/18,丙需要18天

乙工效=[4/9-(8xl/18H6xl/12)]/(2-6)=l/36,乙需要36天

補充回答：

糾正：甲乙丙工效之和為1/6

乙丙合作兩小時，完畢了4/9

如下三人合作2小時的話應當完畢了3*1/6=1/2

因此甲工效為(1/2-4/9)/2=1/36,甲需要36天

甲乙合作三小時，丙做6小時，相稱甲乙丙合作3小時，然后丙再做3小時

因此丙工效為(3/4-1/2)/3=1/8,丙需要8天

乙工效為1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要36天

工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量之間互相關系的一種應用題。我們一般所說

的：”工程問題〃，一般是把工作總量作為單位“1”,因此工作效率就是工作時間的倒數(shù)。它

們的基本關系式是：工作總量+工作效率=工作時間。

工程問題是小學分數(shù)應用題中口勺一種重點，也是一種難點。下面列舉有關練習中常見的

幾種題型，分別進行思緒分析，并加以簡要口勺評點，意在使同學們掌握“工程問題〃的解題規(guī)

律和解題技巧。

例1一項工程，由甲工程隊修建，需要12天，由乙工程隊修建，需要20天，兩隊共同

修建需要多少天？

［思緒闡明］①把這項工程的工作總量看作"1〃。甲隊修建需要12天，修建1天完畢

這項工程的1/12；乙隊修建需要20天，修建1天完畢這項工程的1/20。甲、乙兩隊共

同修建1天，完畢這項工程的1/12+1/20=2/15,工作總量"1”中包括了多少個2/15,

就是兩隊共同修建完畢這項工程所需要的天數(shù)。

1+(1/12+1/20)=1+2/15=15/2(天)

②設這項工程的所有工作量為60(12和20的最小公倍數(shù))，甲隊一天的工作量為60X2

=5,乙隊一天的工作量為60+20=3,甲、乙兩隊合建一天的工作量為5+3=8。用工作總

量除以兩隊合建一天的工作量，就是兩隊合建的天數(shù)。

60+(60+12+60+20)=6(E-(5+3)

=60+8=15/2（天）

評點這是一道工程問題的基本題，也是工程問題中常見的題型。上面列舉的兩種解題措

施，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1〃，用完畢工作總量所需的時間的倒數(shù)作為工

作效率，用工作總量除以工作效率和，就可以求出完畢這項工程所需的時間。工程問題一般

采用這種措施求解。

練習：一段公路，甲隊單獨修要10天完畢，乙隊單獨修要12天完畢，丙隊單獨修要

15天完畢，甲、乙、丙三隊合修，需要幾天完畢？

例2一項工程，甲隊獨做8天完畢，乙隊獨做10天完畢，兩隊合做，多少天完畢所有

工程的3/4?

［思緒闡明］①把這項工程向工作總量看作"1〃，甲隊獨做8天完畢，一天完畢這項工

程的1/8；乙隊獨做10天完畢，一天完畢這項工程的1/10。甲、乙兩隊合做一天，完畢

這項工程的1/8+1/10=9/40,工作總量“1”中包括多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做

所需要的天數(shù)。甲乙合做所需時間的3/4,就是甲乙合做完畢所有工程的3/4所需的時間。

1-r(1/8+1/10)x3/4

=14-9/40x3/4=10/3(天)

②把甲、乙兩隊合做的工作量3/4,除以甲、乙兩隊的效率之和1/8+1/10=9/40,

就是甲乙合做完畢所有工程的3/4所需要的時間。

3/4+(1/8+1/10)=3/4+9/40=10/3(天)

評點思緒①是先求出兩隊合做一項工程所需的時間，再用乘法求出完畢所有工程的3

/4所需的時間。思緒②是把"3/4”看作工作總量，工作總量除以兩隊效率之和，就可以求

出完畢所有工程日勺3/4所需的時間。兩種思緒簡捷、清晰，都是很好的解法。

練習：一項工程，單獨完畢，甲隊需8天，乙隊需12天。兩隊合干了一段時間后，還

剩這項工程的11/6沒完畢。問甲、乙兩隊合干了兒天？

例3東西兩鎮(zhèn)，甲從東鎮(zhèn)出發(fā)，2小時行全程的1/3,乙隊從西嗔出發(fā)，2小時行了全

程的1/2。兩人同步出發(fā)，相向而行，幾小時才能相遇？

［思緒闡明］①由甲2小時行全程的1/3?？芍仔型耆桃?+1/3=6(小時)；由

乙2小時行全程口勺1/2,可知乙行完全程要2+1/2=4(小時)。求出了甲、乙行完全程各

需要的時間，時間的倒數(shù)便是各自的速度，進而可求出兩人速度之和，把東西兩鎮(zhèn)的旅程看

作“1〃，除以速度之和，就可求出兩人同步出發(fā)相向而行H勺相遇時間。

綜合算式：

14-(1/(24-1/3)+1/(2+1/2))

=14-(1/64-1/4)=14-5/12=12/5(小時)

②由甲2小時行了全程MJ1/3,可知甲每小時行全程的11/3+2=1/6；由乙2小時行

全程的1/2,可知乙每小時行全程口勺1/2+2=1/4,把東西兩鎮(zhèn)口勺旅程”1〃，除以甲、乙日勺

速度之和，就可得到兩人同步出發(fā)相向而行的相遇時間。

綜合算式:

14-(1/3+2+1/2+2)

=1+(1/6+1/4)=1+5/12=12/5(小時)

評點本題沒有直接告訴甲、乙行完全程各需的時間，因此求出甲、乙行完全程各需口勺時

間或各自的速度，是解題的關鍵所在。

練習：打印一份稿件，小張5小時可以打完份稿件的1/3,小李3小時可以打完這份

稿件的1/4,假如兩人合打多少小時完畢？

例4一項工程，甲、乙合做6天可以完畢。甲獨做18天可以完畢，乙獨做多少天可以

完畢？

［思緒闡明］把一項工程的工作總量看作"1”，甲、乙合做6天可以完畢，甲、乙合做

一天，完畢這項工程的1/6,甲獨做18天可以完畢，甲做一天完畢這項工程的1/18。把

甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率1/18,就可得到乙的工作效率：1/6—1/18=1

/9。工作總量”1〃中包括了多少個乙的工作效率，就是乙獨做這項工程的需要的時間。

1-r(1/6-1/18)=14-1/9=9(天)

評點這是一道較復雜的工程問題，是工程問題日勺重要題型之一。重要考察同學們運用分

數(shù)的基本知識及工程問題時數(shù)最關系，處理實際問題日勺能力。解答此類工程問題的關鍵是:

先求出獨做的I隊或個人的工作效率，然后用工作總量"1〃除以一種隊或個人日勺工作效率，就

可以求出一種隊或個人獨做的工作時間。

有的同學在解這道題時，由于審題馬虎，并且受基本工程問題解法的影響，錯誤地列成：

1+(1/6+1/18),這是同學們應引起注意的地方。

練習：一批貨品，用大小兩輛卡車同步運送，5小時可以運完。假如用小卡車單獨運,

15小時可以運完。問大卡車單獨運幾小時可以運完？

例5加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完畢，乙要15天完畢，丙要12天完畢。

假如先由甲、乙兩人合做5天后，剩余的J由丙1人做，還要幾天完畢？

［思緒闡明］題目規(guī)定剩余的工作量由丙1人做，還要幾天完畢，必須懂得剩余的工作

量和丙的工作效率。

加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完畢，甲一天加工一批零件的1/10;乙要15

天完畢，乙一天加工一批零件的J1/15；丙要12天完畢，丙一天加工一批零件日勺1/12。

甲、乙合做一天，完畢這批零件的1/10+1/15=1/6,合做5天完畢這批零件H勺1/6x5

=5/6,工作總量“1〃減去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩余的工作量。把剩余的工作

量除以丙的工作效率，就可以求出剩余的工作量由丙1人做還要幾天完畢。

綜合算式：

11-(1/10+1/15)x5]4-1/12

=[1-1/6x5]+1/12

=1/64-1/12=2(天)

評點這是一道較復雜的工程問題，是工程問題中的重要題型之一，也是升學或畢業(yè)考試

中最常見的試題之一。它的特點是求剩余部分的工作量完畢的時間。關鍵是對的求出剩余部

分的工作量。從工作總量“1〃中減去已完畢的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學由

于審題不細，又受前面幾例工程問題的解法的I影響，輕易錯誤地列成：［1+(1/10+1/15)

x5］4-1/12.

練習：加工一批零件，甲獨做要8天完畢，乙獨做要7天完畢，丙獨做要14天完畢，

三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續(xù)合做還要幾天完畢？

例6一件工程，甲、乙合作6天可以完畢。目前甲、乙合作2天后，余下的工程由乙獨

做又用8天恰好做完。這件工程假如由甲單獨做，需要幾天完畢？

［思緒闡明］一件工程，甲、乙合作6天可以完畢，可知甲、乙合作1天完畢這件工程

的1/6,甲、乙合作2天，完畢這件工程的1/6x2=1/3。用工作總量“1”減去甲、乙合作

2天的工作量1/3,所得的差1-1/3=2/3,就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨

做用了8天恰好做完，用余下的工作量除以8,就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。

把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，

只要把工作總量"1"除以甲的工作效率，就可得到甲獨做這件工程所需要的天數(shù)了。

綜合算式:

1-r[1/6-(1-1/6x2)-r8]

=1+[1/6-d-1/3）-r8]=1+[1/6—2/3+8]

=1+[1/6-1/12]=1+1/12=12（天）

評點這也是一道復雜的工程問題。解題的關鍵是對的求出甲的工作效率。規(guī)定出甲U勺工

作效率，解題的環(huán)節(jié)較多，只有熟悉和掌握工程問題的構造特點和解題思緒，純熟掌握前面

5道例題的解題措施及解題的技能、技巧，才能對的順利地解答本題，

練習：一項工程，甲、乙兩隊合做9天完畢，乙、丙兩隊合做12天完畢，目前甲、乙

兩隊合做了3天，接著乙、丙兩隊又合做了6天，最終由丙隊單獨12天完畢了整個工程。

假如整個工程由甲、丙兩隊合做需要幾天完畢？

工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量之間關系的應用題。工程問題是小升初

奧數(shù)一種重要的分類，下面小編就為大家整頓工程問題日勺基本思緒

工程問撅的基本數(shù)曷關系星：

工作效率X工作時間=工作總量

工作總量?工作時間=工作效率

工作總量彳工作效率=工作時間

上面這些數(shù)量關系式是在題目中給出（或間接給出）工作總量和工作效率的詳細數(shù)

量狀況下進行解題用時。

假如題目中沒有給出工作總量的詳細數(shù)量，也沒有給出工作效率的詳細數(shù)量，那么

我們一般把工作總量看作整體“1”，工作效率表達單位時間內(nèi)完畢工作量日勺幾分之幾。

例1：完畢一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。問：

甲、乙單獨干這件工作各需多少天？

分析與解答：

分析：先對例如下

一項工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，顯而易見甲干2天的工作

量，若換成乙干，則需要4天。因此，甲干1天的工作量，若換成乙來干，則需要2天。

解答：甲完畢這件工作需要的天數(shù)：

5+64-2=8（天）

乙完畢這件工作需要的天數(shù)：

5X2+6=16（天）

評注:我們在解難題無從下手時，不妨把題目所交代的條件羅列下來,認真地觀測、

比較，有時會柳暗花明的。本題運用了整體代換的數(shù)學思想，使題目內(nèi)解答巧妙、簡潔，更

具發(fā)明性。

例2：一件工程，甲隊單獨做12天可以完畢，甲隊做3天后乙隊做2天半可完畢

二分之一。目前甲、乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨完畢，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。

問：共用多少天？

分析與解答：

分析：甲隊的J工作效率的1/12,乙隊的工作效率是1/8,甲、乙兩隊的工作效率和

是1/8+1/12=5/24。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊單獨做的時間相似，因此甲、乙兩隊

合做的工作量與乙隊獨做的工作量之比是：

(1/8+1/12)：1/8=5：3。

解答:乙隊的工作效率：(1/2-1/12X3)4-2=1/8

甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的5/8,乙隊單獨做的工作量是這件工程的3/8。

完畢這件工程的總天數(shù)：

3/84-1/8X2=6(天)

闡明：適時、恰當?shù)剡\用正、反比例概念，會使問題簡樸化。

例3：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9個，徒弟每小時加工5個。

完畢任務時，徒弟比師傅少加工120個。這批零件共有多少個？

分析與解答：

分析：徒弟每小時比師傅少加工4個零件，徒弟比師傅少加工120個零件需要120

+4=30小時，那么這批零件的總個數(shù)是(9+5)X30=420個。

例4：一件工程，甲、乙合做需6天完畢，乙、丙合做需9天完畢，甲、丙合做需

15天完畢。目前甲、乙、丙三人合做，需多少天完畢？

分析：由已知條件可知，甲、乙的工作效率和是1/6,乙、丙6勺工作效率和是1/9,

甲、丙的工作效率和是1/15,1/6+1/9+1/15=31/90,這是甲、乙、丙三人工作效率和的2

倍，甲、乙、丙三人的I工作效率和是31/90+2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做需要日勺天

數(shù)是1?31/180=180/31天。

例5：一件工程，甲單獨做要12小時完畢，乙單獨做要18小時完畢。假如先由甲

工作1小時,然后由乙接替甲工作1小時，再由甲接替乙工作1小時……兩人如此交替工作，

那么完畢任務用了多少小時？

分析：由已知條件可知用的工作效率是1/12,乙的工作效率是1/18。先由甲工作1

小時，然后由乙接替甲工作1小時，看作是甲、乙合做1小時?？傻眉住⒁液献魍戤吶蝿招?/p>

要的時間是1+(1/12+1/18)=36/5小時，實際上可以理解為甲工作了7小時，乙工作了7

小時，剩余的1/36的工作由甲再單獨完畢。

例6：甲、乙、丙三隊要完畢A、B兩項工程，B工程的工作量比A工程的工作量

多1/4,甲、乙、丙三隊單獨完畢A工程所需的時間分別是20天、24天、30天。為了同步

完畢這兩項工程，先派甲做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；通過幾天后，又調(diào)丙隊與

甲隊共同完畢A,成果A、B兩項工程同步完畢。問：丙隊與乙隊合作了多少天？

分析：令A工作總量為1,則B工程日勺工作總量是5/4,A、B兩項工程的工作總量

是9/4,則甲、乙、丙三隊完畢A、B兩項工程日勺時間就可以求出，是9/4~?(1/20+1/24+

1/30)=18天。乙隊干18天的工作量為1/24X18=3/4,剩余的5/4—3/4=1/2就是丙做的：

1/2-=-1/30=15天。

闡明：對的地辨別整體與部分的關系，會使我們精確、全面地把握問題，本題就是

把A、B兩項工程看作一種整體來思索，不要把A、B兩項工程分開。

例7