專題【解析幾何】阿基米德三角形極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)及非對(duì)稱韋達(dá)定理與斜率和斜率積有關(guān)的定點(diǎn)定值含答案及解析

拋物線阿基米德三角形1.知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過拋物線的焦點(diǎn).證明：參見下面的例1.結(jié)論2.直線的方程為.證明：參見下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.進(jìn)一步，設(shè)：，則.則，顯然由于過焦點(diǎn)，代入可得.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.上述結(jié)論的逆向也成立，即：結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.（2019年全國(guó)三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)?，所?故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為或.

極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)及非對(duì)稱韋達(dá)定理1.基礎(chǔ)知識(shí):極點(diǎn)極線橢圓極點(diǎn)和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點(diǎn)和直線為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線.極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的.從定義我們共同思考和討論幾個(gè)問題并寫下你的思考:（1）若點(diǎn)在橢圓上，則其對(duì)應(yīng)的極線是什么?（2）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線分別是什么?（3）過橢圓外（上、內(nèi)）任意一點(diǎn)，如何作出相應(yīng)的極線？如圖，若點(diǎn)在曲線外，過點(diǎn)作兩條割線依次交曲線于且與交于，延長(zhǎng)交于點(diǎn),則直線即為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線.假設(shè)橢圓方程為（1）焦點(diǎn)與準(zhǔn)線：點(diǎn)與直線；（2）點(diǎn)與直線2.非對(duì)稱韋達(dá)定理在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理、、之類的“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，但有時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求、之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，可采用反過來應(yīng)用韋達(dá)定理，會(huì)有較好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).解析：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．4.練習(xí)：（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、（方法1）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法2）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）.與斜率和，斜率積有關(guān)的定點(diǎn)定值1.基本結(jié)論：設(shè)為橢圓上的定點(diǎn)，是橢圓上一條動(dòng)弦，直線的斜率分別為；若，則有，若，則直線過定點(diǎn)，若，則有，若，則直線過定點(diǎn).典例分析（2017一卷）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線的斜率之和為，證明：直線過定點(diǎn).解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B