八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)及競(jìng)賽講義附競(jìng)賽題及詳細(xì)答案（大容量）

八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)及競(jìng)賽講義附競(jìng)賽題及詳細(xì)答案（大容量）

L用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)

外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。

多項(xiàng)式的公因式的確定方法是：

（1）當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次累。

（2）系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

下面我們通過例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解

【典型例題解析】

1.把下列各式因式分解

（1）

（2）

分析：（1）若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)

系數(shù)是正數(shù)，在提出“一”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

解：

（2）有時(shí)將因式經(jīng)過符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)

時(shí)，是在因式分解過程中常用的因式變

換。

解:

=a{a-b)y+2〃2一力/+2ab(a-b)

=a(a-/?)[(a-bf+2a(a-/?)+2b]

=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b)

2.利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過程

987987987-987

例：計(jì)算123x——+268x——+456x+521x----

1368136813681368

分析：算式中每一項(xiàng)都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結(jié)果。

987

解：原式=二一x(123+268+456+521)

1368

3.在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用

例：不解方程組，求代數(shù)式的值。

分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3

和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有，利用是公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為

含有和的式子，即可求出結(jié)果。

解：

把和分別為3和帶入上式，求得代數(shù)式的值是0

4.在代數(shù)證明題中的應(yīng)用

例：證明：對(duì)于任意自然數(shù)n,一定是10的倍數(shù)。

分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項(xiàng)都是10的倍數(shù)即可。

對(duì)任意自然數(shù)n,和都是10的倍數(shù)。

一定是10的倍數(shù)

5.中考點(diǎn)撥：

例L因式分解

解：

說明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。

例2.分解因式：

解：

說明：在用提公因式法分解因式前，必須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式，同時(shí)一定要注意

符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn)。

典型例題呈現(xiàn)：

例1.計(jì)算：

精析與解答：

設(shè)，貝IJ

說明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其中2000

2001重復(fù)出現(xiàn)，又有的特點(diǎn)，可通過設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算

轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡(jiǎn)求值，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

例2.已知：（b、c為整數(shù)）是及的公

因式，求b、c的值。

分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比較麻煩。

注意到是及的因式。因而也是

口勺因式，所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。

解：是及的公因式

也是多項(xiàng)式的二次因式

而

b、c為整數(shù)

得：

說明：這是對(duì)原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式，從而簡(jiǎn)便求

得

例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說明理由。

解：

都是大于1的自然數(shù)

是合數(shù)

說明：在大于1的正數(shù)中，除了1和這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。

只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.分解因式：

(1)

(2)(n為正整數(shù))

(3)

2.計(jì)算：的結(jié)果是()

A.B.C.D.

3.已知x、y都是正整數(shù)，且求x、y。

4.證明：能被45整除。

5.化簡(jiǎn)：且當(dāng)時(shí)，求原式的值。

【典型例題答案】

1.分析與解答:

(1)

(2)

(3)原式

注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡(jiǎn)，同時(shí)要分解徹底。

2.B

3.

是正整數(shù)

分解成

又與奇偶性相同，且

說明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運(yùn)用因式分解來解決。

4.證明:

能被45整除

5.解：逐次分解：原式

當(dāng)時(shí)，原式

2.運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解

【知識(shí)點(diǎn)梳理】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

補(bǔ)充：歐拉公式：

特別地：（1）當(dāng)時(shí)，有

（2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。

運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)

需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正

確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。

下面我們就來學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解

【典型例題解析】

1.把分解因式的結(jié)果是（）

A.B.

c.D.

分析：。

再利用平方差公式進(jìn)行分解，最后得到，故選擇B。

說明：解這類題目時(shí)，一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征，通過添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。

同時(shí)要注意分解一定要徹底。

2.在簡(jiǎn)便計(jì)算求代數(shù)式的值解方程判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用

例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。

分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個(gè)因式，再用待定系數(shù)法即可

求出的值。

解：根據(jù)已知條件，設(shè)

則

由此可得

由(1)得

把代入(2),得

把代入⑶，得

3.在幾何題中的應(yīng)用。

例：已知是的三條邊，且滿足，試判

斷的形狀。

分析：因?yàn)轭}中有考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成

。所以兩邊同乘以2,然后拆開搭配得完全平方公式之和為0,從而得解。

為等邊三角形。

4.在代數(shù)證明題中應(yīng)用

例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。

分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進(jìn)行變形和討論。

解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為（為整數(shù)）

則

由此可見，一定是8的倍數(shù)。

5.中考點(diǎn)撥：

例1：因式分解：。

解：

說明：因式分解時(shí)，先看有沒有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹

底。

例2：分解因式：o

解：

說明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底.

典型例題呈現(xiàn)：

例1.已知：

求的值。

原式

說明：本題屬于條件求值問題，解題時(shí)沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式

因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。

例2.已知

求證:

證明:

把代入上式

可得，即或或

若，則

若或，同理也有

說明：利用補(bǔ)充公式確定的值，命題得證。

例3.若,求的值。

解：

且

=3,x2+2xy+y2=9(1)

又

兩式相減得

所以

說明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過

程。

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.分解因式：

(1)

(2)

(3)

2.已知：，求的值。

3.若是三角形的三條邊，求證：

4.已知：，求的值。

5.已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求

（1）的值；（2）的值。

【典型例題答案】

1.（I）解：原式

說明：把看成整體，利用平方差公式分解。

（2）解：原式

（3）解：原式

2.解：

3.分析與解答：由于對(duì)三角形而言，需滿足兩邊之差小于第三邊，因此要證明結(jié)論就需

要把問題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證明。

證明：

是三角形三邊

且

即

4.解

,即

5.分析與解答：（1）由因式分解可知

故需考慮值的情況，（2）所求代數(shù)式較復(fù)雜，考慮恒等變

形。

解：⑴

又

而

不全相等

（2）

原式

而即

原式

說明：因式分解與配方法是在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值中常用的方法。

3.三角形及其有關(guān)概念

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形。

2.三角形中的幾條重要線段：

（1）三角形的角平分線（三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心）

（2）三角形的中線1三條中線的交點(diǎn)叫重心）

（3）三角形的高（三條高線的交點(diǎn)叫垂心）

3.三角形的主要性質(zhì)

（1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊；

（2）三角形的內(nèi)角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

（4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；

（5）三角形具有穩(wěn)定性。

4.補(bǔ)充性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則

三角形是最常見的幾何圖形之在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形

又是多邊膨的一種，而且是最簡(jiǎn)單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形

利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近

它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的

基礎(chǔ)。

5.三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用

【典型例題解析】

例1.銳角三角形ABC中，NC=2NB,則NB的范圍是（）

A.B.

C.D.

分析：

因?yàn)闉殇J角三角形，所以

又NC=2NB,

又???/A為銳角,為銳角

,即

，故選擇C。

例2.選擇題：已知三角形的一個(gè)外角等于160°,另兩個(gè)外角的比為2:3,則這個(gè)三角形

的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一個(gè)角已知，另兩個(gè)角的比也知道，因此

三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。

解：??,三角形的一個(gè)外角等于160°

???另兩個(gè)外角的和等于200°

設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x,3x

解得：

與80°相鄰的內(nèi)角為100°

???這個(gè)三角形為鈍角三角形

應(yīng)選C

例3.如圖，已知：在中,,求證:

分析:欲證，可作NABC的平分線BE交AC于E,只要證

即可。為與題設(shè)聯(lián)系，又作AF//BE交CB的延長(zhǎng)線于F。

顯然NEBC=NF,只要證即可。由可得證。

證明：作NABC的角平分線BE交AC于E,過點(diǎn)A作AF//BE交CB的延長(zhǎng)線于F

又〈BE平分NABC,AZEBC=ZABE

???NF=NFAB,???AB=BF

XVAB+FB>AF,即2AB>AF

又,:

,又??'

例4.已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長(zhǎng)的與之間。

分析：首先應(yīng)根據(jù)已知條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長(zhǎng)與邊的關(guān)系

加以證明。

證明：如圖，設(shè)的三邊為a、b、c,其中

因此，c是最小邊,

因此,,即

故最小邊在周長(zhǎng)的與之間。

中考點(diǎn)撥：

例1.選擇題：如圖是一個(gè)任意的五角星,它的五個(gè)頂角的和是（）

A.50B.100C.180D.200

分析：由于我們學(xué)習(xí)了三弟形的內(nèi)角、外角的知識(shí)，所以需要我們把問題轉(zhuǎn)化為三角形角的

問題。

解:

所以選擇c

例2.選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7,則第三邊x的范圍是（）

A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能確定

分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有，即

所以應(yīng)選C

例3.已知：P為邊長(zhǎng)為I的等邊內(nèi)任一點(diǎn)。

求證:

證明：過P點(diǎn)作EF//BC,分別交AB于E,交AC于F

則NAEP=NABC=60°

是等邊三角形

典型例題呈現(xiàn)：

例1.已知：如圖，在中D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證:

(1)ZBEOZBAC；

(2)AB+AOBE+ECo

分析：在(1)中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在(2〉中，添加一條輔助線，轉(zhuǎn)

化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。

證明：(1);NBED是的一個(gè)外角

同理，

即

(2)延長(zhǎng)BE交AC于F點(diǎn)

即

例2.求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。

己知：如圖，在中,是的外角，AF、BF

分別平分NEAB及NABD。

求證：ZAFB=45°

c

分析：欲證須證

???AF、BF分別平分/EAB及NABD

，要轉(zhuǎn)證NEAB+NABD=270°

又???NC=90°三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和

???問題得證

證明：VZEAB=ZABC+ZC

ZABD=ZCAB+ZC

ZABC+ZC+ZCAB=180°,ZC=90c

VAF>BF分別平分/EAB及NABD

在中，

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.已知：三角形的三邊長(zhǎng)為3,8,,求x的取值范圍。

2.已知：中，，D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上使

求Q和B間的關(guān)系為？

3.如圖，中，的平分線交于P點(diǎn),則

()

A.68°B.80°C.88°D.46°

P

B

4.己知：如圖，AD是的BC邊上高，AE平分

求證:

5.求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半。

【典型例題答案】

1.

分析：本題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。

解：??,三邊長(zhǎng)分別為3,8,由三邊關(guān)系定理得：

解：

又

，又??,

根據(jù)三角形內(nèi)角和，得:

解:

XVBP.CP為/B、NC的平分線

4.

證明:

：AE平分NBAC,

又???AD_LBC,

又

5.

證明：如圖，設(shè)的/BAC和NABC的外角平分線交于點(diǎn)D

則

又

4.用分組分解法進(jìn)行因式分解

【知識(shí)點(diǎn)梳理】分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式。

使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必須有預(yù)見性。能預(yù)見到卜一步能繼續(xù)分

解。而“預(yù)見”源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。

應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn)

求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。

下面我們就來學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解。

【典型例題解析】

1.在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)證明題中的應(yīng)用

例1.把多項(xiàng)式分解因式，所得的結(jié)果為（）

分析：先去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。

解：原式

故選擇c

例2.分解因式

分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分

別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；此題也可把

分別看作?組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。

解法1：

解法2：

2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用

例：已知三條線段長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿足

證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形

分析：構(gòu)成三角形的條件，即三邊關(guān)系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊”

證明：

3.在方程中的應(yīng)用

例：求方程的整數(shù)解

分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y

故可考慮借助因式分解求解

解：

4、中考點(diǎn)撥

例1.分解因式:

解：

說明：觀察此題是四項(xiàng)式，應(yīng)采用分組分解法，中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式，但搭配在

一起不能分解到底，應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。

例2.分解因式：

解：

說明：前兩項(xiàng)符合平方差公式，把后兩項(xiàng)結(jié)合，看成整體提取公因式。

例3.分解因式：

解：

說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。

5、典型例題呈現(xiàn)：

例1.分解因式：

解：

說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號(hào)，再分組，把4mn分成2mn和2mn

配成完全平方和平方差公式。

例2.己知：，求ab+cd的值。

解：ab+cd=

說明：首先要充分利用已知條件中的1（任何數(shù)乘以1,其值

不變），其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式，由ac+bd=O可算出結(jié)

果。

例3.分解因式：

分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項(xiàng)。觀察專項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=l時(shí)，它的值為0

這就意味著的一個(gè)因式，因此變形的目的是湊這個(gè)因式。

解一（拆項(xiàng)）：

解二（添項(xiàng)）：

說明：拆添項(xiàng)法也是分解因式的一種常見方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚥鹨淮雾?xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，看看是

否可解？

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

I.填空題：

2.已知：

3.分解因式：a5+a+i

4.已知：試

求A的表達(dá)式。

5.證明：

【典型例題答案】

1.（1）解：

(2)解:

(3)解:

2.解：

=(a2-ab+b2)(a+Z?+c)

說明：因式分解是一種重要的恒等變形，在代數(shù)式求值中有很大作用。

3.解:

4.解:

5.證明:

5.用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式

【知識(shí)點(diǎn)梳理】對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式

進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的

兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。

對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c都是整數(shù)，且）來說，如果存在四個(gè)整數(shù)

滿足并且那么二次三項(xiàng)式

即可以分解為。這里要確

定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借

助畫十字交叉線的辦法來確定。

卜面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解。

【典型例題解析】

1.在方程、不等式中的應(yīng)用

例1.已知：，求x的取值范圍。

分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。

解：

例2.如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值

并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，

分析：應(yīng)當(dāng)把分成而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2,可能分解成，或者分解成

,由此分為兩種情況進(jìn)行討論。

解：(1)設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得:

將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：

解得：

此時(shí)，原式

(2)設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號(hào)，得：

將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：

解得：

此時(shí)，原式

2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用

例.已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y,周長(zhǎng)為16cm，且滿足

,求長(zhǎng)方形的面積。

分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

解：

或

又

解得:或

，長(zhǎng)方形的面積為IfcirP或

3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用

例.證明：若是7的倍數(shù)，其中x,y都是整數(shù)，則是49的倍

數(shù)。

分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。

證明一：

???是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)）

???是7的倍數(shù)

而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。

證明二：丁是7的倍數(shù)，設(shè)（m是整數(shù)）

則

又???

Vx,m是整數(shù)，???也是整數(shù)

所以，是49的倍數(shù)。

4、中考點(diǎn)撥

例1.把4/y2—9,2分解因式的結(jié)果是

解：4x4/-5x2y2-9y2

說明：多項(xiàng)式有公因式，提取后乂符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。

例2.

因式分解：________________

解：

說明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否則由于不慎珞造成錯(cuò)誤。

5、典型例題呈現(xiàn)

例1.若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）

A.1B.-lC.D.2

解：

-6可分解成或,因此，存在兩種情況:

由（1）可得：，由（1）可得：

故選擇C。

說明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積再

通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。

例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。

求證：

證明：

說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。

例3.若有一因式。求a,并將原式因式分解。

解:有一因式

???當(dāng),即時(shí),

說明；由條件知，時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個(gè)因式是

,分解時(shí)盡量出現(xiàn),從而分解徹底。

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.分解因式:

(1)

(3)

2.在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)

式的因式？

3.已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。

4.分解因式：

5.已知：，求的值。

【典型例題答案】

1.

（1）解：原式

（2）解：原式

（3）解：原式

2.

解:

???其中是多項(xiàng)式

的因式。

說明：先正確分解，再判斷。

3.

解：設(shè)

貝IJ

解得：

且

說明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問題的一個(gè)重要辦法，所給多項(xiàng)式是三次式，已知有一

個(gè)一次因式，則另一個(gè)因式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法則可知其二次項(xiàng)系數(shù)為1。

4.

解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。

設(shè)

比較同類項(xiàng)系數(shù)，得:

解得:

5.

解:

說明：用因式分解可簡(jiǎn)化計(jì)算。

6.全等三角形及其應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)梳理】i.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩

個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫

對(duì)應(yīng)角。

2.全等三角形的表示方法：若4ABC和4A'B'C'是全等的三角形，記作“△ABC0

△A'C'其中，“金”讀作“全等于，記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字

母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

3.全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

4.尋找對(duì)應(yīng)元素的方法

（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找

如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊

是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上，因此由

全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。

（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找

全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)■應(yīng)關(guān)系。

通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)

經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。

①翻折

如圖（1）,ABOC^AEOD,ABOC可以看成是由AEOD沿直線A0翻折180。得到的;

②旋轉(zhuǎn)

如圖（2）,ACOD^ABOA,ACOD可以看成是由ABOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。得到的;

cD

0

A

③平移

如圖（3）,ADEF^AACB,ADEF可以看成是由AACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。

5.判定三角形全等的方法：

（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理

（2）推論：角角邊定理

6.注意問題：

（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；

（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b:有兩邊和其中一

角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。

全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平

面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常

常需要借助全等三角形的知識(shí)。

【典型例題解析】全等二角形知識(shí)的應(yīng)用

（1）證明線段（或角）相等

例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

分析：由已知條件可證出AACD0AABE,而BF和FC分別位于ADBF和AEFC中因

此先證明AACDgAABE,再證明△DBFg△ECF,既可以得到BF=FC.

證明：在AACD和AABE中,

rAE二AD

{ZA=ZA

IAB=AC.

...AACD@AABE(SAS)

???ZB=ZC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

又??,AD=AE,AB=AC.

???AB-AD=AC-AE

即BD=CE

在ADBF和AECF中

rZB=ZC

-ZBFD=ZCFE（對(duì)頂角相等）

4D=CE

???ADBFgAECF（AAS）

:.BF=FC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

（2）證明線段平行

例2：己知：如圖，DE_LAC,BF_LAC,垂足分別為E、F,DE=BF,AF二CE.求證:

AB〃CD

分析：要證AB〃CD：需證NC=NA,而要證NC=NA,又需證△ABFgACDE.由已

知BF_LAC,DE±AC,知NDEC=NBFA=90°,且己知DE=BF,AF=CE.顯然證明△ABF

gACDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證NC=NA,進(jìn)一步證明AB〃CD.

證明：DE1AC,BF_LAC（已知）

:.ZDEC=ZBFA=90°（垂直的定義）

在AABF與ACDE中，

rAF=CE（已知）

vZDEC=ZBFA（已證）

IDE=BF（己知）

/.AABF^ACDE（SAS）

???ZC=ZA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

???AB〃CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等

例3：如圖，在aABC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB到D,使BD二AB,取AB的中點(diǎn)E連

接CD和CE.求證：CD=2CE

分析：

（i）折半法：取CD中點(diǎn)F,連接BF,再證ACEBg4CFB.這里注意利用BF是AACD

中位線這個(gè)條件。

證明：取CD中點(diǎn)F,連接BF

???BF=1AC，且BF〃AC（三角形中位線定理）

???ZACB=Z2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

又???AB=AC

:.ZACB=Z3（等邊對(duì)等角）

:.Z3=Z2

在ACEB與ACFB中

BF=BE

N3=N2

CB=CB

；?△CEB絲ACFB（SAS）

ACE=CF=1CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

即CD=2CE

（ii）加倍法

證明：延長(zhǎng)CE到F,使EF二CE,連BF.

在AAEC與△BEF中

rAE=BE

vZI=Z2（對(duì)頂角相等）

-CE=FE

；?AAESABEF（SAS）

:.AC=BF,Z4=Z3（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）

???BF〃AC（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）

<ZACB+ZCBF=180°

ZABC+ZCBD=180°

又AB=AC/.ZACB=ZABC

AZCBF=ZCBD?等角的補(bǔ)角相等）

在ACFB與ACDB中

CB=CB

JZCBF=ZCBD

_BF二BD

JACFB^ACDB（SAS）

:.CF=CD

即CD=2CE

說明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的

線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F,連BF（如圖）（B為AD中點(diǎn)是利用

這個(gè)辦法的重要前提)，然后證CE二BF.

(4)證明線段相互垂直

例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，AADCsABDO為等腰三角形

AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。

分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后

再證明所得出的結(jié)論正確，通過觀察，可以猜測(cè)：AO=BC,AO1BC.

證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在AADO和4CDB中

rAD二DC

'ZADO=ZCDB=90°

IOD=DB

???AADO^ACDB(SAS)

AO=BC,ZOAD=ZBCD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等)

??,ZAOD=ZCOE(對(duì)頂角相等)

???ZCOE+ZOCE=9(y,

???AO1BC

5、中考點(diǎn)撥：

例1.如圖，在△A8C中，AB=AC,E是A8的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，￡8為半徑畫弧，交

BC于點(diǎn)D,連結(jié)石。，并延長(zhǎng)石￡＞到點(diǎn)凡UDF=DE,連結(jié)尸C.

求證：ZF=Z.A.

分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中NA

//不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得E尸〃AC,因此把/A通過同位角轉(zhuǎn)到

△BDE中的/BED,只要證△EBDBAECO即可.

證明：*：AB=AC

*：EB=ED

：,NACB=NEDB.

：.ED//AC.

；?NBED=NA.

\'BE=EA.

：,BD=CD.

XDE=DF,4BDE=NCDF

:?△BDEWACDF

：?NBED=NF.

：.ZF=ZA.

說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求

全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角

內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。

例2如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,并且使AE二ED連

接CE、DE.求證：EC二ED

分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和△AEC全等的三角形，因此過D點(diǎn)作DF/AC

交BE于F點(diǎn)，證明△AECgAFED即可。

證明：過D點(diǎn)作DF〃AC交BE于F點(diǎn)

???△ABC為等邊三角形

???ZXBFD為等邊三角形

:.BF=BD=FD

,:AE=BD

???AE=BF=FD

AE-AF=BF-AF即EF=AB

???EF=AC

在aACE和4DFE中

rEF=AC（已證）

\NEAC=NEDF（兩宜線平行，同位角相等）

[AE=FD（已證）

JAAEC^AFED（SAS）

:.EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

典型例題呈現(xiàn)：

例1如圖，△ABC中，ZC=2ZB,Zl=Z2o求證：A8=AC+CO.

分析?：在48」：截取A￡=AC,構(gòu)造全等三角形，ZUE。注得QE=QC,只需

證。E=BE問題便可以解決.

證明：在4B上截取AE=AC,連結(jié)DE.

???AE=AC,Z1=Z2,AD=AD

AAED^AACD

：.DE=DC,ZAED=ZC.

???NAED=NB+NEDB,ZC=2ZB

工2NB=NB+NEDB.

即4B=4EDB.

???EB=ED,BPED=DC

JAB=AC~\~DC.

剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)

線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）：如作4E=

AC是利用了角平分線是角的對(duì)稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延

長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段

的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中

考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容.

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.下列判斷正確的是（）

（A）有兩邊和其中?邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等

（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形仝等

（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

2.已知：如圖，CO_L4B于點(diǎn)D,BELAC于點(diǎn)E,BE、CD交于點(diǎn)O,且40平分NB4c.求

證：OB=OC.

3.如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，AACM和ACBN都是等邊三角形，AN和CM相

交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：ACEF是等邊三角形。

N

M

FE

ACB

4.如圖，在AABC中，AD為BC邊上的中線.求證：AD<1(AB+AC)

6.如圖，在等腰RtZkABC中，ZC=90°,。是斜邊上4B上任一點(diǎn)，AE±CDTE

交CD的延長(zhǎng)線于尸，CHLAB于H點(diǎn)、,交AE于G.

求證：BD=CG.

【典型例題答案】

l.D

2.證明：

???AO平分/0。8,CZ)J_A8于點(diǎn)。,BELAC于點(diǎn)E,BE、CE交于點(diǎn)O

???OD=OE,ZODB=ZOEC=90°,/BOD=NCOE.

???^BOD^/^COE(ASA).

???08=OC

3.分析由/ACM=NBCN=6（）。，知NECF=60。，欲證ACEF是等邊三角形，只要證明ACEF

是等腰三角形。先證ACAN絲AMCB,得/1=/2.再證ACFN/ACEB,即可推得ACEF是等邊

三角形的結(jié)論。

證明：在ACAN和AMCB

VAC=MC,CN=CB

ZCAN=ZMCB=120°

AAACN^AMCB中

JZFCB和4CEB中

VZFCN=ZECB=60°,Z1=Z2,CN=CB

???△CFN也ACEB,?.CF=CE

XVZECF=60°,

???△CEF是等邊三角形.

4.分析：美于線段不等的問題，一般利用在同一個(gè)二角形中二邊關(guān)系來討論，由于AB

AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段

相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)

AD至E,使DE=AD,即可得至ACDgZ\EBD.

證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連結(jié)BE

在AACD與AEBD中

‘AD=ED（作法）

NADC=NEDB（對(duì)頂角相等）

CD=BD（已知）

JAACD^AEBD（SAS）

???AC=EB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

在AABE中，AB+EB>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

:.AB+AO2AD（等量代換）

即ABC」（AB+AC）

2

說明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來構(gòu)造全等三角形。

5.分析：由于BQ與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證3。與CG相等，設(shè)法證

BDF.由于全等條件不充分，可先證△AEC也△CF8

證明：在RtAA￡C與RtAC/'B中

\-AC=CB,AE_LCO于E,8F_LC交C。的延長(zhǎng)線于產(chǎn)

???Z/\EC=ZCFB=90°

又N4C?=900

NCAE=90°-ZACE=ZBCF

：.Rt^AEC^Ri/^CFB

：.CE=BF

在RiZ\8F。與RtZXCEG中，ZF=ZGEC=90°,CE=BF,由NFBO=900-ZFDB

=90°~ZCDH=ZECG

???RlAfiFD^RiACEG

，BD=CG

7.因式分解小結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)梳理】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾人整式乘積的形式，它和整式乘法互

為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知

識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

2.因式分解的結(jié)果一定是整式乘枳的形式：

3.分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；

4.公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；

5.結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成鼎的形式；

6.題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；

7.因式分解的一般步驟是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、W“變”的步驟。即首先看有無公因

式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組

的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解：

（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)

（添項(xiàng)）等方法：

下面我們?起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。

【典型例題解析】

1.通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的

例1.分解因式

分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分

別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把

分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。

解一：原式

解二：原式=

2.通過變形達(dá)到分解的目的

例1,分解因式

解一：將拆成，則右

解二：將常數(shù)拆成，則有

3.在證明題中的應(yīng)用

例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)

分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多

項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。