八年級數(shù)學(xué)下冊專題10一次函數(shù)幾何壓軸(十九種題型)(原卷版+解析)

專題10一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）

船網(wǎng)模型速覽

模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）

模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型3：一次函數(shù)己知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型11:一次函數(shù)過定點(diǎn)問題

模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題

模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型18:一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型解密

【技巧點(diǎn)睛1］鉛錘法求三角形面積

【技巧點(diǎn)睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題，有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑：

①知底求高、轉(zhuǎn)化線段；

②圖形割補(bǔ)、面積和差；

③平行交軌、等積變換。

【技巧點(diǎn)睛3】處理線段問題

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若線段與y軸平行，線段的長度時端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差（上減下，

不確定時相減后加絕對值），若線段與x軸平行，線段的長度時端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差（右減左，

不確定時相減后加絕對值）：

（2）線段相關(guān)計(jì)算注意但用“化斜為直”思想。

【技巧點(diǎn)睛4】角度問題

（1）若有角度等量關(guān)系，不能直接用時，我們要學(xué)會角度轉(zhuǎn)化，比如借助余角、補(bǔ)角、外

角等相關(guān)角來表示，進(jìn)行一些角度的和差和角度的代換等，直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。

（2）遇450角要學(xué)會先構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造“三垂直”全等模型，一般情況下

是以已知點(diǎn)作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)。

【技巧點(diǎn)睛5】最值問題

（1）求線段和最值，可以從“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮；

（2）注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用，將不可用線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成我們熟悉的模型

【技巧點(diǎn)睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題

I、找點(diǎn)方法：

①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，

此時，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B

構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形

（原理：圓上半徑相等）

②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓,

此時，圓上的點(diǎn)（除E點(diǎn)外）與A、B

構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形

（原理：圓上半徑相等）

③做AB的垂直平分線，此時，直線上的點(diǎn)（除F點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的

等腰三

角形（原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）

2、求點(diǎn)方法：

222

（1）列出PA?、PB\AB?表達(dá)式（運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式：AB=（XA-xB）+（yA-yB））

（2）分類討論:當(dāng)A為頂點(diǎn)時:PA2=AB2

當(dāng)B為頂點(diǎn)時：PB2=AB2

當(dāng)P為頂點(diǎn)時:PA』PB2

二、直角三角形存在性問題

若AABC是直角三角形，則分三種情況分類討論：ZA=90°,ZB=90°,ZC=90°,然

后利用勾股定理解題。

【技巧點(diǎn)睛6】四邊形存在問題

1.坐標(biāo)系中的平行四邊形：

（1）對邊平行且相等：

+%―工8+

~~2~~~2-

（2）對角線互相平分:即力、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合.

》+汽_%+為

22

以上兩條可統(tǒng)一為:

xA+xc=xB+xD

X+XX+X

bfafx^xc=xD+xB2-21,C=BD

=%一%H+Nc_%+為1"+%=%+%

2~2

總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等

模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例2】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系屹v中，直線產(chǎn)h+A分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A(-

1,0),B(0,2),過點(diǎn)C(2,0)作x軸的垂線，與直線交于點(diǎn)。.

圖1圖2

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是線段CO上一動點(diǎn)，直線B七與x軸交于點(diǎn)凡若△4。口的面積為8,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

【變式1】如圖①，直線)=依+〃與x軸交于點(diǎn)4(4,0),與丁軸交于點(diǎn)8,與直線)，=?

2x交于點(diǎn)C(a,-4).

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式：

(2)點(diǎn)。在)，軸上，若△P8C的面積為6,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A(?4,0),與)，軸交于點(diǎn)8

(0,2),已知點(diǎn)C(?2,0).

(1)求直線/的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線/上一動點(diǎn)，且和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

【變式1】如圖，直線人的解析式為)，=-3/3,且/I與/軸交于點(diǎn)。，直線/2經(jīng)過點(diǎn)4(4,

0)、B(3,R),直線A、b交于點(diǎn)C.

2

(1)求直線/2的解析式；

(2)求△4。。的面積；

(3)試問：在直線也上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得△4QP與△4QC的面積相

等？若存在，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式2】(2023秋?東港市期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的

圖象交y軸于點(diǎn)A(0,3),交，軸于點(diǎn)B(-4,0).(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線。垂直平分08交48于點(diǎn)Q,交工軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線。上一動點(diǎn)，且在

點(diǎn)D的上方,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m.

①利用圖1位置，用含〃，的代數(shù)式表示△A6P的面積S；

②當(dāng)?shù)拿娣e為7時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

③在②的條件下，在y軸上找到點(diǎn)Q,使得△A8Q與AABP面積相等，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

④連接OP,與A3交于點(diǎn)H,當(dāng)△AOH與△PBH的面積相等時，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo).

【變式3】如圖，直線/與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、點(diǎn)、B(0,2),以線段為直

角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,NB4C=90°,點(diǎn)P（0,。）為y軸上一個

動點(diǎn).

（1）求直線/的表達(dá)式；

（2）求出△A3C的面積；

（3）當(dāng)△ABC與△A8P面積相等時，求實(shí)數(shù)。的值.

模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例4】如圖，直線）=五+3經(jīng)過點(diǎn)8（-1,4）和點(diǎn)4（5,機(jī)），與x軸交于點(diǎn)C.

（1）求怎m的值；

（2）求△A08的面積；

（3）若點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△尸為等腰三角形時，直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，一次函數(shù)＞，=h+4的圖象分別與％軸、），軸交

于A（2,0）,8兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（1,m）.

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)A關(guān)軸的對稱點(diǎn)4,求△%'的面積；

（3）在k軸上，是否存在點(diǎn)P,使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式2】如圖，直線y=」x+4的圖象與X軸和）'軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)9的垂直平分

2

線/與入軸交于點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,連接BC.

（1）求0C的長；

（2）若點(diǎn)E在x軸上，且△8E。的面積為10,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）已知y軸上有一點(diǎn)P,若以點(diǎn)8、C、。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所

有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=Ax+4的圖象與X軸交于點(diǎn)4,與）'軸

3

交于點(diǎn)線段OB上有一點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)片在1軸上.

(1)求△AOB的面積；

(2)求直線AC的解析式；

(3)點(diǎn)P是直線AC二一點(diǎn)，當(dāng)△A8P為直角三角形時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式I】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù))，="+匕。#0)的圖象經(jīng)過人(-1,0),

B(0,2),。三點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=5Q4,連接8C,

CD,已知S/\ADC=2SMHC>

(1)求直線AB的表達(dá)式；

(2)求△AOC的面積；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)使得是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)〃的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例6】如圖，一次函數(shù))，=-x+4的圖象與>軸交于點(diǎn)4,與工軸交于點(diǎn)B,過48中點(diǎn)

。的直線CO交工軸于點(diǎn)C,且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)E(6,4).

(1)求A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CQ的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接/俎，求AOBE的面積：

（3）連接DO,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F,使得以點(diǎn)C,0,f為頂點(diǎn)的三角形與△C。。

全等，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式I]（2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，直線丫=-1乂+盧x軸，軸分別交于?*B

3

兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1-3,0）,連結(jié)BC,過點(diǎn)。作OOJ_AB于點(diǎn)。，點(diǎn)Q為線段8c

上一個動點(diǎn).

（1）的長為5,OD的長為22；

一5一

（2）在線段BO上是否存在一點(diǎn)P,使得尸Q與△OA。全等？若存在，請求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例7]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線I-y=-3x+b與）'軸交于點(diǎn)A，與直線

2

1_：尸2犬交于點(diǎn)B（3,加）.

Wy3

yjk

(I)求m和b的值;

求證：△OAB是直角三角形;

（3）直線人上是否存在點(diǎn)。，使得/。。8=45°,若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

【變式1］己知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線A3分別交尤軸、），軸于A（相，0）,B（0,〃）,

小、〃滿足m2+n2+2m-4〃+5=0,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn).

⑴求m、n的值;

（2）如圖I,若點(diǎn)P在），軸上，當(dāng)/B%=45°時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

圖1備用圖備用圖

【變式2］如圖I,在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=-3x+b與A-軸交于點(diǎn)A,與直線

14

1：y4x交于點(diǎn)“（3,/n）.

23

y,y

圖1圖2

(1)求〃7的值;

(2)點(diǎn)。是直線/i上一動點(diǎn).

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在NAOB的角平分線上時，求直線。。的函數(shù)表達(dá)式;

②是否存在點(diǎn)。，使得NOOB=45°,若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例8］如圖，已知函數(shù)y二二X+2與x軸交于點(diǎn)C，與)，軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)c與點(diǎn)A關(guān)于

2

y軸對稱.

(1)直接寫出A、8、。的坐標(biāo)：A(?4,0)、B(0,2)、C(4,0)：

(2)求直線A8的函教解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的負(fù)半軸一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線43于點(diǎn)P,

交直線BC于點(diǎn)、Q.

①若△尸的面積為2,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在線段4。上運(yùn)動的過程中，連接BM,若/BMP=NBAC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式1】如圖1,已知函數(shù))，=/x+3與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)小點(diǎn)C與點(diǎn)4關(guān)于

y軸對稱.

(I)求直線的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線48于點(diǎn)P,交直線

BC于點(diǎn)Q.

①若△PQB的面積為二，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

2

②點(diǎn)M在線段AC上，連接BM,如圖2,若/BMP=/BAC,直接寫出戶的坐標(biāo).

【變式2】如圖①，已知函數(shù)丁=工+3與工軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)從點(diǎn)。點(diǎn)A關(guān)于3，

2.

軸對稱.

(1)求8c的長.

(2)設(shè)點(diǎn)M是k軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線于P,交直線BC于

點(diǎn)Q.

①若△PQB的面積為9,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4

②連接8M,如圖②，若NBMP=NB4C.直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例9】（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，直線1/y」x+2和直線〃與x軸分別相交于A，

8兩點(diǎn)，且兩直線相交于點(diǎn)C,直線/2與y軸相交于點(diǎn)。（0,-4）,04=208.

（1）求出直線左的函數(shù)表達(dá)式;

（2）石是x軸上一點(diǎn)，若SMBC=2SdBCE,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若/是直線/|上方且位于），軸上一點(diǎn)，ZACF=2ZCAO,判斷ABC/的形狀并說

模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例10】（2023秋?新都區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A（-

4,0）,與），軸交于點(diǎn)B（0,2）,已知點(diǎn)C（?2,0）.

（1）求直線/的表達(dá)式：

（2）點(diǎn)。是直線/上一動點(diǎn)，且△4OP和△CO。的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△人8Q是以人8為底的等腰直角三角形？若存在，請

求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式I】（2023秋?成華區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線”與x軸交于點(diǎn)人（-

4,0）,與），軸交于點(diǎn)B,且與直線/2：y得%交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.

（1）求直線/I的解析式；

（2）在x軸上取點(diǎn)M,過點(diǎn)”作x軸的垂線交直線h于點(diǎn)。，交直線也于點(diǎn)￡若DE

=2,求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

（2）在第二象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)。便得△Q/W為等腰百角三角形？若存在，請百接寫

出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式2】（2023秋?溫江區(qū)期末）如圖1,直線44的解析式為）=履+3,。點(diǎn)坐標(biāo)為（4,

（2）如圖2,在x軸上是否存在點(diǎn)F,使SAAB尸=2&ABC,若存在求出廠點(diǎn)坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)尸是直線二方第一象限內(nèi)的動點(diǎn).如圖3,當(dāng)△A8P為等腰直角三角形時，

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式3］（2023秋?榆次區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yJx-g的圖象

2

分別交X軸，y軸于4,8兩點(diǎn)，一次函數(shù)y=?x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,并與x軸交于點(diǎn)C.

（1）求A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求△/16c的面枳：

（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得是以點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)的等腰宜角三角形？若存

在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

模型11:一次函數(shù)過定點(diǎn)問題

【典例11］（2023春?倉山區(qū)校級期末）無論〃?取任何非零實(shí)數(shù)，一次函數(shù)（3川+2）

的圖象過定點(diǎn)（）

A.（3,2）B.（3,-2）C.（-3,2）D.（-3,-2）

2.（2023秋?廬陽區(qū)期末）已知函數(shù)），=（k-3）x+k.

（!）該函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn).

（2）如果直線），=（h3）工+我不經(jīng)過第三象限，則上的范圍是.

【變式1］（2023春?都昌縣期中）對于一次函數(shù)y=H-4+4的圖象，無論A為何值，都過

一個定點(diǎn)，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【變式2】（2023春?棗陽市期中）一次函數(shù)y=-3A+/7U.--m的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A,則點(diǎn)4的

坐標(biāo)是.

模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題

【典例12]（2023秋?蜀山區(qū)校級期中）如圖，直線），=-x+3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),

直線CP與直線A3相交于點(diǎn)P（-2，。）,交x軸于點(diǎn)C,且的面積為在.

33

（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；a=；

（2）求直線PC的解析式；

（3）若點(diǎn)。是線段上一動點(diǎn)，過點(diǎn)短作DE〃式軸交直線PC于點(diǎn)上，若DE=2,求

點(diǎn)。的坐標(biāo).

模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題

【典例13]（2023春?嶗山區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)），=止”的

圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2,9）,且與x軸相交點(diǎn)從與），羯交于點(diǎn)。，與正比例函數(shù)y=3x的

圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為I.

（1）不等式kx+b-3x<0的解集是；

（2）求一次函數(shù)的函數(shù)解析式；

（3）M為直線A8上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交y=3x于點(diǎn)M當(dāng)MN=2。。時,

求點(diǎn):M的坐標(biāo).

【變式I](2023秋?淮安期末)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+l的圖象分別

交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,一次函數(shù))，="+力的圖象經(jīng)過點(diǎn)從并與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

點(diǎn)D是直線AB上的一個動點(diǎn).

(1)k=,b=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在第一象限時，過點(diǎn)。作)，軸的垂線，垂足為點(diǎn)E交直線BC于

點(diǎn)、F.若DF」AC，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例14]如圖,直線阿)，=%%+〃與工軸，y軸分別交于點(diǎn)A(-3,0),B(0,3),直

線/2：y=to與直線1\相交于點(diǎn)C(—?n).

4

(1)求直線人和/2的解析式；

(2)求△8C。的面積；

(3)點(diǎn)M為)，軸上的一動點(diǎn)，連接MA,MC.當(dāng)M4+MC的值最小時，則點(diǎn)M的坐標(biāo)

是

【變式1】平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線八：y=x+l分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)。

在直線八上，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3.直線/2經(jīng)過點(diǎn)C（l,0）,。兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)￡

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)和直線/2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P使得P8+P。的值最小，最小值為多少？

【變式2】如圖，直線48：y=7+2與x軸交于點(diǎn)4,與），軸交于點(diǎn)用直線CDy=k.K+b

經(jīng)過點(diǎn)C（7,。），D（0,―y與直線A6交于點(diǎn)兒

3

（1）求直線。。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）連接8C求aBCE的面積：

（3）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃?，2）,求機(jī)的值使得QA+QE值最小.

模型15:一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

【典例15](2020春?海淀區(qū)校級期末)已知直線/：y=k.x+b(A->0)過點(diǎn)(-4§,0)且

與x軸相交夾角為30°,尸為直線/上的動點(diǎn)，A(V3,0)、B(373.0)為x軸上兩

點(diǎn)，當(dāng)PA+PB時取到最小值時P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(?,2)R.(1.A/3)C.(5.3)D.(2,V3)

【變式I】(2023?澗西區(qū)一模)如圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-2,0),直線y=x-5與x軸交于

點(diǎn)3,與)，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。在直線y=x-5上運(yùn)動.當(dāng)線段A。取得最小值時，點(diǎn)。

C.(1,-工)D.(0,-4)

3

模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例16]如圖,直線八過點(diǎn)A(0,2)、8(2,0),直線/i和直線/2交于點(diǎn)C(3,a),

直線/2與)，軸交于點(diǎn)O(0,-7).

(1)求直線力和直線/2對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)直線人上有一動WP,使得△CQP的面積為12,求點(diǎn)P的坐標(biāo):

（3）1y軸上有一動點(diǎn)直線/2上有一動點(diǎn)N,使以M、N、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【變式1】（2024春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形048c的頂點(diǎn)4

在,v軸的正半軸上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，線段。4,OC的長分別是小，〃且滿足

（111-6）2+\府反=（?點(diǎn)。是線段℃上一點(diǎn)，將△,4°。沿直線AE翻折，點(diǎn)。落在矩

形的對角線AC上的點(diǎn)E處.

（1）求。。的長：

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）Q七所在直線與AB相交于點(diǎn)M,在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)M使以M、A、N、

。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例17】（2023秋?開原市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)），=2壯18的圖象分別

交x軸、），軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線交,，軸正半軸于點(diǎn)M,且點(diǎn)M為線段06的中

點(diǎn).

（1）求直線AM的解析式;

（2）將△AM5沿著翻折，點(diǎn)4落在點(diǎn)處，連接（Mi,則四邊形AM61。的形狀

為平行四邊形；

（3）若點(diǎn)”是直線AM上的動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)。使以A、B、Q、

〃為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【變式I】（2023春?離石區(qū)期末）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/I：），=2r-1與x軸，），軸分別交于點(diǎn)A,B,直線/2：

），=依+〃與x軸，y軸分別交于點(diǎn)P,C（0,1）,連接AC,直線八/2交于點(diǎn)。，且點(diǎn)。

的橫坐標(biāo)為

5

（I）求直線/2的函數(shù)解析式；

（2）求△ACO的面積；

（3）若點(diǎn)E在直線/|上，尸為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，試探究：是否存在以點(diǎn)氏C,E,

“為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【變式2】（2023春?九龍坡區(qū)期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)產(chǎn)2A-+4的圖

象分別交x軸，y軸于A,B兩點(diǎn),將aAOB繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CO。（點(diǎn)A與

點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)。對應(yīng)）.

（1）直接寫出直線CZ）的解析式；

（2）點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)七'作EF//y軸交直線AB于點(diǎn)3作EG//X軸交直線

AB于點(diǎn)G,當(dāng)EF+EG=AZ）時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2,若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線CD上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).且

以O(shè),M,N,尸為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫

出其中一種求解點(diǎn)N坐標(biāo)的過程.

模型18：一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例18］已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線八：），=-x+2與x軸、1y軸分別交于人、B兩

點(diǎn)，直線/2經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C（0,-4）.

（1）求直線〃的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)P為直線人上的一個動點(diǎn)，若△布C的面積等于9時，請求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)如圖2,將△4BC沿著x軸平移，平移過程中的△AEC記為△48iCi.請問在平面

內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使得以4、。、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)。

的坐標(biāo).

【變式1］如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y=—3與直線CD：y=hx-2

2x+

相交于點(diǎn)M(4,〃)，分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A,B,C,D.

yk

(i)求直線CD的解析表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)P是直線。。上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為20時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)直線上有一點(diǎn)F,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一點(diǎn)N,使得以為一邊，以點(diǎn)8,

D,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x-趣交x軸于點(diǎn)4,交y軸于點(diǎn)B,直線)=

■3/3交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.

4

(1)如圖1,連接8C,求△8C。的面積：

(2)如圖2,在直線j=-總計(jì)3上存在點(diǎn)E,使得/ABE=45°,求點(diǎn)七的坐標(biāo)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。E,過點(diǎn)E作C。的垂線交)，軸于點(diǎn)尸，點(diǎn)P在

直線方上，在平面中存在一點(diǎn)Q,使得以O(shè)E為一邊，O,E,P,。為頂點(diǎn)的四邊形為

菱形，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例19](2023秋?順德區(qū)月考)如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A(0,5),B(10,

0）兩點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段04上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O,3重合），過點(diǎn)3作垂足

為立以Eb為邊作正方形當(dāng)點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式1］（2023春?耶陽區(qū)期末）直線丁=2丫+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)兒點(diǎn)。在

x軸的正半軸.匕△A6C面積為11.

（1）求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：

（2）如圖1,過點(diǎn)C的直線CO交1y軸于點(diǎn)D,若NOCD=NOBC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2,r為線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)G在），軸上，以FG為邊,向右作正方形尸GQP,

點(diǎn)。落在直線8c上，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

【變式2】（2023春?天橋區(qū)期末）已知一次函數(shù)的圖象尸?魯+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)

A,點(diǎn)8,與直線)，=思交于點(diǎn)C,過點(diǎn)3作x軸的平行線/,點(diǎn)P是直線/上的一個動

4

點(diǎn)?

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)若SMOC=S△BCP,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)E是直線上的一個動點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使四邊形4PE尸是正

專題10一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）

船網(wǎng)模型速覽

模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）

模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型11:一次函數(shù)過定點(diǎn)問題

模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題

模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

模型16:一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型17:一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型18：一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型解密

【技巧點(diǎn)睛1】鉛錘法求三角形面積

【技巧點(diǎn)睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題，有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑：

①知底求高、轉(zhuǎn)化線段；

②圖形割補(bǔ)、面積和差；

③平行交軌、等積變換。

【技巧點(diǎn)睛3】處理線段問題

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若線段與y軸平行，線段的長度時端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差（上減下，

不確定時相減后加絕對值），若線段與x軸平行，線段的長度時端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差（右減左，

不確定時相減后加絕對值）；

（2）線段相關(guān)計(jì)算注意使用”化斜為直〃思想。

【技巧點(diǎn)睛4】角度問題

（1）若有角度等量關(guān)系，不能直接用時，我們要學(xué)會角度轉(zhuǎn)化，比如借助余角、補(bǔ)角、外

角等相關(guān)角來表示，進(jìn)行一些角度的和差和角度的代換等，宜到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。

（2）遇450角要學(xué)會先構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造“三垂直”全等模型，一般情況下

是以已知點(diǎn)作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)。

【技巧點(diǎn)睛5】最值問題

（1）求線段和最值，可以從“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大『第

三邊，兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮；

（2）注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用，將不可用線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成我們熟悉的模型

【技巧點(diǎn)睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題

1、找點(diǎn)方法：

①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，

此時，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B

構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形

（原理：圓上半徑相等）

②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓,

此時，圓上的點(diǎn)(除E點(diǎn)外)與A、B

構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形

(原理：圓上半徑相等)

③做AB的垂直平分線，此時，直線上的點(diǎn)(除F點(diǎn)外)與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的

等腰三

角形(原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)

2、求點(diǎn)方法：

222

(1)列出PA?、PB\AB?表達(dá)式(運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式：AB=(XA-xB)+(yA-yB))

(2)分類討論:當(dāng)A為頂點(diǎn)時:PA2=AB2

當(dāng)B為頂點(diǎn)時：PB2=AB2

當(dāng)P為頂點(diǎn)時:PA』PB2

三、直角三角形存在性問題

若AABC是直角三角形，則分三種情況分類討論：ZA=90°,NB=90°,ZC=90°,然

后利用勾股定理解題。

【技巧點(diǎn)睛6】四邊形存在問題

1.坐標(biāo)系中的平行四邊形：

(1)對邊平行且相等：

+%―工8+

~~2~~~2-

(2)對角線互相平分:即力、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合.

》+汽_%+為

22

以上兩條可統(tǒng)一為:

xA+xc=xB+xD

X+XX+X

bfafx^xc=xD+xB2-21,C=BD

=%一%H+Nc_%+為1"+%=%+%

2~2

總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等

方法歸納：1、列出四個點(diǎn)坐標(biāo)2、分三組對角線討論列方程組，解方程組3、驗(yàn)證點(diǎn)是

否符合題意

亶|典例精講

模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)

【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板A8C放在第一象限，斜靠在兩條

坐標(biāo)軸上，NACB=90°,且A(0,4),點(diǎn)C(2,0),軸于點(diǎn)E,一次函數(shù))=

x+b經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)￡>.

(1)求證：△AOg^CEB：

(2)求△A4。的面枳.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：???△A8C是等腰直角三角形

/.ZACB=90°,AC=BC

???NACO+N8CE=90°

BELCE,：.ZBCE+ZCBE=90°

???NACO=NCBE

△NOC9XCEB

(2)解：,:△AOgXCEB

：,BE=OC=2,CE=OA=4

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,2)

又一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)4(6,2)

：,2=6+b

：.b=-4

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0，-4）

???|4。|=4+4=8

在△A8。中，AD邊上高的長度就是4點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值.

.?.SA/WQ=』X8X6=24

2

???4ABD的面枳為24.

【變式1]（2023秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線小y=kx+\交），軸于

點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)8（4,0）,過點(diǎn)E（2,（））的直線6平行于y軸，交直線人于點(diǎn)。，

點(diǎn)P是直線6上一動點(diǎn)（異于點(diǎn)。），連接附、PB.

（1）求直線G的解析式:

（2）設(shè)。（2,〃?），求△A8P的面積S的表達(dá)式（用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)6?時，S=2/〃-1：當(dāng)mV小時，S=1-2m；

22

【解答】解：⑴?.?直線八：y=kx+\交x軸于點(diǎn)8（4,0）,

???0=軟+1.

；?直線八：y=-—x+1；

4

_11x=2

⑵由產(chǎn)工"1得：1，

x=2y=7

：,D(2,—).

2

?:P(2,m),

；.S=AX|4-OpPD=—X|/W-A|X4=|2W-1|.

222

當(dāng)〃？>[|寸，s=2m-1；

2

當(dāng)〃?V』時，S=1-2fn；

2

模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例2】如圖1,在平直直角坐標(biāo)系戈0y中，直線y=b+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A(-

L0),B(0,2),過點(diǎn)C(2,0)作x軸的垂線，與直線48交于點(diǎn)￡>.

圖1圖2

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是線段C。上一動點(diǎn)，直線8E與工軸交于點(diǎn)F.若^B。尸的面積為8,求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；

【答案】(1)(2,6)；

\(2)F(-5,0)或(3,0).

【解答】解：(1)I?點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),

，直線AB的解析式為y=2x+2,

VCDlxffl,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,

；?y=6,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(2,6)；

(2)設(shè)尸(加,0)有兩種情況;

①當(dāng)尸在C點(diǎn)右側(cè)時，

VD(2,6),A(-1,0),B(0,2),OC_Lx軸.

/.S^ADF=-AF*DC=—(〃?+l)X6=3(w+1),SAABF=-AF*OB=—(/n+l)X2=

2222

m+/.

,**SdBDF=8,

:.SMDF=S&ABF+S2BF，HP：3(m+1)=m+1+8

.?.〃?=3.

：,F(3,0)；

②當(dāng)尸點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時，

???點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),C(2,0),D(2,6).

：.S/\ADF=-AFXCD=—(-I-w)X6=-3-3川，S^ABF=—AFXOB=—(-1

2222

-〃?)X2-=-1-m,

S^BDF=S^ADF~SA.ABF=8,

/.-(-3-3〃z)-(-1-/n)=8,解得：m=-5,

:?F(-5,0)；

綜上所述：F(-5,0)或(3,0).

【變式1】如圖①，直線y=h+〃與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與)，軸交于點(diǎn)B,與直線y=-

2x交于點(diǎn)C(〃，-4).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式：

(2)點(diǎn)尸在)，軸匕若△P8C的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【答案】(1)C(2,-4)；y=2.v-8：

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,-14)；

【解答】解：(1)???點(diǎn)C(a,-4)在直線y=上,

/.-2a=-4,

解得a=2,

：.C(2,-4),

將4(4,0),C(2,-4)代入直線丁=日+小得：

解得。=2,

b=-8

???直線A8的解析式為：)，=2x-8；

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,〃)，

???直線A8的解析式為：)，=2x-8,

；?B(0,-8),

???8P=|p+8],

???△P5C的面積為6,C(2,-4),

；?S△尸8。=4乂2|〃+8|=6,

2

：,p=-2或-14,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,-14)；

模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A（?4,0）,與），軸交于點(diǎn)8

(0,2),已知點(diǎn)C(-2,0).

(1)求直線/的表達(dá)式:

且△4OP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo);

（2）點(diǎn)。坐標(biāo)為（4,4）或（-4,4

33

【解答】解：（1）設(shè)直線/的解析式為＞＞，="+4把八、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到,

解得，乙，

b=2

，直線I的表達(dá)式為），=藪計(jì)2；

已知點(diǎn)C(-2,0).

：?OB=2,OC=2,

設(shè)「(p,2〃+2),

2

???S"8=得X2X|〃|=|p|,

S^COP=—X2X|—p+2|=|-^-p+2|.

,/ABOP和△COP的面積相等，

???k1p+2|=|p|,解得p=4或-

No

，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(4,4)或(?生—)；

33

【變式1】如圖，直線1\的解析式為y=-3x+3,且人與1軸交于點(diǎn)。，直線/2經(jīng)過點(diǎn)A(4,

0)、8(3,R),直線八、/2交于點(diǎn)C.

2

(1)求直線/2的解析式：

(2)求△A。。的面積；

(3)試問：在直線/2上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得△A。。與△AOC的面積相

等？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴設(shè)直線/2的解析式是尸質(zhì)+從

4k+b=0

根據(jù)題意得:3

3k+b=--

乙

k=f

解得：，

b=-6

則直線/2的解析式是尸步6；

(2)在)，=?3；1+3中，令y=0,解得：x=l.

則。的坐標(biāo)是(1,0).

根據(jù)題意得：，y=7x-6,

y=-3x+3

解得：，

則C的坐標(biāo)是(2,-3),

則AD=4-1=3,

1Q

S_M/)r=±AOX3=N：

22

（3）點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是3,把y=3代入y=2?6,得x=6.

2

則。的坐標(biāo)是（6,3）.

【變式2】（2023秋?東港市期中）如圖1,在平面宜角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)），=丘+力的

圖象交y軸于點(diǎn)4（0,3）,交x軸于點(diǎn)8（-4,0）.（1）求直線4B的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直線〃垂直平分OB交AB于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線〃上一動點(diǎn)，且在

點(diǎn)。的上方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為〃?.

①利用圖1位置,用含m的代數(shù)式表示AABP的面積S；

②當(dāng)?shù)拿娣e為7時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

③在②的條件下，在y軸上找到點(diǎn)Q,使得△A8Q與△/IBP面積相等，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：

④連接OP,與交于點(diǎn)，，當(dāng)△AO"與的面積相等時，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo).

(2)①2〃?-3；

②（-2,5）；

③。（0,學(xué)）（0,J），

乙乙