初中幾何9大模型（1）：半角模型

初中幾何9大模型（1）：半角模型重要幾何模型1--半角模型模型特點(diǎn)倍長中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形如圖①：（1）∠2=1/2∠AOB；（2）OA=OB。如圖②：連接FB，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。典型例題1如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=1/2∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)SAA證明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根據(jù)∠EAF

=1/2∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可證明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【解析】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，易證△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=1/2∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，易證△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．典型例題2問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長線上時，請你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，連接OD，證明△CDO≌△ANO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，證明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD，仿照（1）的方法解答．【解析】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD，∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，易證△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，易證△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）補(bǔ)全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD，在△CDO和△ANO中，易證△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，易證△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．典型例題3如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點(diǎn)，且始終∠MAN＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段BC、DC上時，請直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長線上時，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長線交于點(diǎn)P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長．分析典型例題4-5已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH＝AB；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【分析】（1）由三角形全等可以證明AH＝AB，（2）延長CB至E，使BE＝DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH＝x，則MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．典型例題6（1）如圖1，將∠EAF繞著正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交BC于E，交CD于F，連接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的長度是方程x2﹣5x+6＝0的兩根，請直接寫出EF的長；（2）如圖2，將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交CB的延長線于E，交DC的延長線于F，連接EF．若AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，∠EAF∠BAD，請直接寫出EF與DF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長．①EF的長為：5；②數(shù)量關(guān)系：EF＝DF﹣BE．【分析】（1）先證明△ABE≌△ADM，再證明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可；（2）先證明△ADM≌△ABE，再證明△EAF≌△MAF，即可；（3）直接計(jì)算△CEF的周長＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．（3）由上面的結(jié)論知：DF＝EF+BE；∵BC