浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月統(tǒng)測(cè)試題含解析

Page15浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月統(tǒng)測(cè)試題考生須知：1．全卷分試卷和答題卷?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卷上交。2．試卷共6頁(yè)，有4大題，22小題．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。3．請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫在試卷上無效。選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．若（i是虛數(shù)單位），則（）A．B．1C．D．3．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，須要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用X表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則X的數(shù)學(xué)期望和方差分別是（）A．B．C．D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作橢圓的切線l，PM垂直于直線l且與x軸交于點(diǎn)M，若M為的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．6．在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，整臑的外接球的體積為，則陽(yáng)馬體積的最大值為（）A．B．C．D．47．已知在三角形ABC中，，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，，其中，點(diǎn)P，Q分別為MN，BC的中點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．8．已知，且，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．用分層隨機(jī)抽樣法從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成果（滿分150分）中抽取一個(gè)容量為120的樣本，其中男生成果的數(shù)據(jù)有80個(gè)，女生成果的數(shù)據(jù)有40個(gè)，將這80個(gè)男生的成果分為6組，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）A．男生成果的樣本數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻率為0.015B．男生成果的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為97C．男生成果的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為118D．女生成果的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為91，則總樣本的平均數(shù)為9510．如圖，正方體，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A．三棱錐的體積為定值B．直線DM與平面所成角的最大值為C．D．點(diǎn)M到平面與到平面ACD的距離之和為定值11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過A，B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為．設(shè)直線l的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是（）A．有可能為直角B．C．Q為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，的最小值為D．過F點(diǎn)作傾斜角的角平分線FP交拋物線C于P點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），則存在，使12．已知連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則（）A．B．C．在上至少有2個(gè)零點(diǎn)D．非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線上。13．在的綻開式中，的系數(shù)為____________．14．已知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為____________．15．已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則正整數(shù)的最大值為____________．16．，則b的最大值是____________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知是公比為2的等比數(shù)列，為正項(xiàng)數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記．求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）證明：；（2）若CD為的角平分線，交AB于D點(diǎn)，且．求a的值．19．（12分）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，D不重合），．（1）證明：；（2）若點(diǎn)P在平面ABCD的射影為點(diǎn)H，設(shè)的中點(diǎn)為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，平面PBD與平面CDE的夾角為，求此時(shí)DH的長(zhǎng)度．20．（12分）2024年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊(duì)參與，其中歐洲球隊(duì)有13支，分別是德國(guó)、丹麥、法國(guó)、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時(shí)、荷蘭、塞爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士．世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)入淘汰賽階段時(shí)，競(jìng)賽必須要分出輸贏．淘汰賽規(guī)則如下：在競(jìng)賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出輸贏，競(jìng)賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽．在加時(shí)賽分出輸贏，競(jìng)賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依舊相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最終的輸贏．點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段．第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（非必要無需踢滿5輪），前5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得競(jìng)賽的成功．其次階段：假如前5輪還是平局，進(jìn)入“突然死亡”階段，雙方依次輪番踢點(diǎn)球，假如在該階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則接著下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，競(jìng)賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的成功．下表是2024年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的競(jìng)賽結(jié)果：淘汰賽競(jìng)賽結(jié)果淘汰賽競(jìng)賽結(jié)果1/8決賽荷蘭美國(guó)1/4決賽克羅地亞巴西阿根廷澳大利亞荷蘭阿根廷法國(guó)波蘭摩洛哥葡萄牙英格蘭塞內(nèi)加爾英格蘭法國(guó)日本克羅地亞半決賽阿根廷克羅地亞巴西韓國(guó)法國(guó)摩洛哥摩洛哥西班牙季軍賽克羅地亞摩洛哥葡萄牙瑞士決賽阿根廷法國(guó)注：“阿根廷法國(guó)”表示阿根廷與法國(guó)在常規(guī)競(jìng)賽及加時(shí)賽的比分為，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中阿根廷戰(zhàn)勝法國(guó)．（1）請(qǐng)依據(jù)上表估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出輸贏的概率．（2）依據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并通過計(jì)算推斷是否能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“32支決賽圈球隊(duì)闖人8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)闖入8強(qiáng)未闖入8強(qiáng)合計(jì)（3）若甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘競(jìng)賽未分出輸贏，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)．已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為p，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，求在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲隊(duì)在第一階段獲得競(jìng)賽成功的概率（用p表示）．參考公式：a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知雙曲線的焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)．A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB交雙曲線E于點(diǎn)C，D（不同于A，B）．（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線CD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．22．（12分）已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性，（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．恒成立．①求a的取值范圍；②證明：2024學(xué)年其次學(xué)期浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三2月統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678答案BCADCBBA1．B，選B．2．C，即．選C．3．A由可知，所以，當(dāng)時(shí)，不成立．所以選A．4．D設(shè)事務(wù)A表示甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，B表示乙在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，，A，B相互獨(dú)立，，，，，．∴選D．5．C，令，得，．選C．6．B設(shè)的外接球半徑為r，則．．又，體積的最大值為，選B．7．B，則，當(dāng)時(shí)，，選B．8．A，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而，選A．題號(hào)9101112答案BCDACDABDAC9．BCD男生成果在內(nèi)的頻率為0.3，A錯(cuò)誤；男生成果的平均數(shù)為，B正確；男生成果的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，C正確；總樣本的平均數(shù)為，D正確．10．ACD對(duì)于選項(xiàng)A，M在平面內(nèi)，平面與平面間的距離為體對(duì)角線的，∴三棱錐的體積為定值，A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，直線DM與平面，所成的角最大，此時(shí)，B錯(cuò)誤．平面，又平面，，C正確．到平面的距離為，M到平面ACD的距離為，∴M到兩個(gè)平面的距離之和為，是定值．D正確．11．ABD．．當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，為直角，A正確．由等面積法可知成立，∴B正確．，最大值為，C不正確．，令，則，令，在上單調(diào)遞減，∴存在，D正確．12．AC由題意得，兩邊求導(dǎo)得，即，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．為奇函數(shù)，則，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．為和的一個(gè)周期，，∴A正確．，∴B錯(cuò)誤．由，得在上至少有2個(gè)零點(diǎn)．∴C正確．，周期為3，的圖象關(guān)于對(duì)稱，，，，，，，，D錯(cuò)誤．13．240，故，即，所以，即的系數(shù)為240．14．由已知得直線l過定點(diǎn)，曲線C表示的下半圓，由圖形得斜率m的取值范圍是．15．7，∴直線為圖象的對(duì)稱軸．，的對(duì)稱點(diǎn)為，，．又在上單調(diào)，．，．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)，則正整數(shù)的最大值為7．16．，變形得．問題等價(jià)于直線在與之間，如圖所示．當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)b獲得最值．設(shè)l與的切點(diǎn)為，l與的切點(diǎn)為，由公切線得，得得，發(fā)覺為的一個(gè)解．令，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而的兩根居于兩側(cè)．已得一根為，所以另一根大于，由圖形分析知，當(dāng)時(shí)，b的最大值為．17．解：（1）由題可得，3分由，推得，累積得，得，又．6分（2）由題可得，令的前n項(xiàng)和為．，，相減得，．令的前n項(xiàng)和為，則．綜上，．10分18．（1）證明：由題意得，2分．5分（2）解：法一．為的平分線，且，．7分為銳角三角形，，9分．，化簡(jiǎn)得，代入，得．12分法二．在中，．12分19．（1）證明：連接AP，在半圓柱中，因?yàn)槠矫鍼AD，所以，又因?yàn)锳D是直徑，所以，則平面PAB．所以．5分（2）解：依題意可知，以線段AD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面CDE的法向量為，所以則令，則．7分設(shè)平面PBD的法向量為，所以則令，則，所以．8分因?yàn)槠矫鍼BD與平面CDE所成的銳二面角為，所以，令，則，平方得，即，又由可解得或（舍去），所以，點(diǎn)P在平面ABCD的射影為點(diǎn)，因此DH的長(zhǎng)度為．12分20．解：（1）由題意知卡塔爾世界杯淘汰賽共有16場(chǎng)競(jìng)賽，其中有5場(chǎng)競(jìng)賽通過點(diǎn)球大戰(zhàn)決出輸贏，所以估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出輸贏的概率為．3分（2）下面為列聯(lián)表：歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)進(jìn)入8強(qiáng)538未進(jìn)入8強(qiáng)81624合計(jì)131932零假設(shè)支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無關(guān)．．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即不能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．7分（3）方法一．不妨假定踢滿第一階段的5輪．因?yàn)榍皟奢唭申?duì)比分為，若甲隊(duì)在第一階段獲得競(jìng)賽成功，則后3輪有6種比分，，所以甲在第一階段獲得競(jìng)賽成功的概率．12分方法二．假定競(jìng)賽進(jìn)行到隨意輪，兩隊(duì)均完成該輪踢點(diǎn)球（實(shí)際競(jìng)賽過程中，只要能確定某隊(duì)獲勝，無需兩隊(duì)均完成某輪踢點(diǎn)球）兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得競(jìng)賽成功，則后3輪有5種可能的比分，．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，，，當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有兩種狀況，，當(dāng)后3輪比分為時(shí)，，當(dāng)后3輪比分為時(shí)，，當(dāng)后3輪比分為時(shí)，．綜上，甲在第一階段獲得競(jìng)賽成功的概率方法三．依據(jù)實(shí)際競(jìng)賽進(jìn)程，假定點(diǎn)球大戰(zhàn)中由甲隊(duì)先踢．兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得競(jìng)賽成功，則后3輪有5種可能的比分，．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，甲乙兩隊(duì)均需踢滿5輪，．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下3種狀況：345345345甲√√甲√×甲×√√乙××乙××乙××則．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下6種狀況：345345345甲√√×甲√√×甲√×√乙√××乙×√×乙√××345345345甲√×√甲×√√甲×√√乙×√×乙√××乙×√×則．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下2種狀況：345345甲√√√甲√√√乙√×乙×√則當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下1種狀況：345甲√√√乙√√×則．綜上，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得競(jìng)賽成功的概率．21．解：（1）法一．由解得．4分法二．左右焦點(diǎn)為，，，∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分（2）設(shè)CD的方程為，聯(lián)立消去x得，，，，5分AC的方程為，令，得，BD的方程為，令，得，7分，10分解得或，即或（舍去）或（舍去），∴CD的方程為，∴直線CD過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．12分方法二．設(shè)CD的方程為，