新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊

第2課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【課標(biāo)解讀】1.進(jìn)一步嫻熟駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．2．會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題．3．理解an與Sn的關(guān)系，能依據(jù)Sn求an.新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點(diǎn)】要點(diǎn)一數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對隨意數(shù)列{an}，Sn與an的關(guān)系可以表示為an＝________要點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組an≥0，an+1≤0確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn(2)因?yàn)镾n＝d2n2＋(a1－d2)n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有________值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有________值；且n取最接近對稱軸的自然數(shù)時(shí)，S批注用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要留意的是：n∈N*.【夯實(shí)雙基】1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和肯定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù)．()(2)對于數(shù)列{an}，肯定有關(guān)系式an＝Sn－Sn－1.()(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn肯定同時(shí)存在最大值和最小值．()(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0，則該數(shù)列Sn肯定有最小值，d<0，則該數(shù)列Sn肯定有最大值．()2．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2＋2n，則a5＝()A．－21 B．11C．27 D．353．若數(shù)列{an}中，an＝43－3n，則Sn的最大值n＝()A．13 B．14C．15 D．14或154．一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放了120支，這個(gè)V形架上共放了________支鉛筆．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－2n2＋3n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？[聽課記錄]【方法總結(jié)】已知Sn求an的一般步驟鞏固訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋12n題型2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例2某地去年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天新感染者人數(shù)增加40.從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門實(shí)行措施，使該種病毒的傳播得到有效限制，每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)削減10.(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？[聽課記錄]【方法總結(jié)】遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列學(xué)問聯(lián)系，建立數(shù)列模型，詳細(xì)解決要留意以下兩點(diǎn)：①抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．②深化分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.鞏固訓(xùn)練2[2024·山東安丘高二期中]《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．意思是：有996斤棉花要給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第1個(gè)孩子起先，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子分完為止，則第1個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)為()A．48B．65C．82D．99題型3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例3在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為____________．[聽課記錄]變式探究1將本例中“a1>0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為____________．變式探究2將本例中“a1>0，S3＝S11”換為“a1>0，a2022＋a2023>0，a2022·a2023<0”，求使Sn>0成立的最大自然數(shù)n.【方法總結(jié)】1.在等差數(shù)列中，求Sn的最值的2種常用方法2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法鞏固訓(xùn)練3(1)(多選)[2024·江蘇常州高二期末]已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，則()A．S5＜S9 B．該數(shù)列的公差d＜0C．a(chǎn)7＝0 D．S11＜0(2)已知等差數(shù)列5，427，347，…的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最大的序號第2課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一S1Sn－Sn－1要點(diǎn)二(1)最大最小(2)最小最大[夯實(shí)雙基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由Sn＝n2＋2n得S5＝52＋2×5＝35，S4＝42＋2×4＝24，所以a5＝S5－S4＝35－24＝11，故選B.答案：B3．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤433，又n∈N*，∴n＝14.故選答案：B4．解析：從下向上各層所放鉛筆數(shù)依次為1，2，3，…，120，從下向上各層所放鉛筆數(shù)是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以共放了鉛筆1＋2＋3＋…＋120＝120×答案：7260題型探究·課堂解透例1解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．鞏固訓(xùn)練1解析：依據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－[(n－1)2＋12(＝2n－12當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋12×1＝3∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－12故數(shù)列{an}是以32例2解析：(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)a1＝40，公差d＝40的等差數(shù)列，所以9月10日的新感染者人數(shù)為a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，所以9月11日的新感染者人數(shù)為a11＝400－10＝390(人)；(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)和為：S10＝1040+4009月份后20天流感病毒的新感染者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)b1＝390，公差d1＝－10的等差數(shù)列，所以后20天新感染者人數(shù)和為T20＝20×390＋2020所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100人．鞏固訓(xùn)練2解析：依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為a1，則由題意得，d＝17，S8＝8a1＋8×7d2＝996，解得故選B.答案：B例3解析：解法一：函數(shù)法由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝-213a1.從而Sn＝d2n2＋(a1－d2)因?yàn)閍1>0，所以－a1故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．解法二：通項(xiàng)變號法由解法一可知，d＝－213a1要使Sn最大，則有a即a解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．答案：7變式探究1解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋nn-12×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大．答案：12或13變式探究2解析：∵a1>0，a2022＋a2023>0，a2022·a2023<0，∴{an}表示首項(xiàng)是正數(shù)，公差d為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列．∴a2022>0，a2023<0.且|a2022|>|a2023|，∴a2022＋a2023＝a1＋a4044>0，∴S4044＝4044a又∵a1＋a4045＝2a2023＜0，∴S4045＝4045a1∴使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4044.鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由S5<S6可得，S6－S5＝a6>0,S6＝S7得S7－S6＝a7＝0，由S7>S8得S8－S7＝a8<0，所以等差數(shù)列{an}的公差d<0，故選項(xiàng)B正確．所以a1，a2，a3，a4，a5，a6為正，a7＝0，從第8項(xiàng)起均為負(fù).故選項(xiàng)C正確．所以S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，故選項(xiàng)A不正確．S11＝a1+a11故選BC.(2)方法一：由題意