新教材2025版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算學(xué)生用書(shū)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

1．1.1空間向量及其運(yùn)算[課標(biāo)解讀]1.經(jīng)驗(yàn)由平面對(duì)量推廣到空間向量的過(guò)程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)驗(yàn)由平面對(duì)量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程.3.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義．教材要點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一空間向量的概念1．在空間中，把具有________和________的量叫做空間向量，向量a的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的________或________．空間向量也用有向線段表示，有向線段的________表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作AB，其模記為|a|或|AB|.2．幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義及表示零向量起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做________，記為0單位向量________的向量稱(chēng)為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度________而方向________的向量，稱(chēng)為a的相反向量，記為－a相等向量方向________且模________的向量稱(chēng)為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．假如空間中一些向量的基線________________，則這些向量叫做________或________狀元隨筆平面對(duì)量的有關(guān)概念和約定，能否將它們從平面推廣到空間？[提示]只要去掉“在平面內(nèi)”的限定，平面對(duì)量的概念與約定都可以原封不動(dòng)地推廣到空間中．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律空間向量的運(yùn)算加法a＋b＝OA減法a－b＝OA數(shù)乘當(dāng)λ＞0時(shí)，λa＝QP＝λOA；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa＝MN＝λOA加法與數(shù)乘運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b＝b＋a；(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb狀元隨筆空間兩個(gè)向量的加減法與平面內(nèi)兩個(gè)向量的加減法完全一樣嗎？[提示]完全一樣．凡涉及空間兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面對(duì)量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三空間向量的夾角假如〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，記作________．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四兩個(gè)向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝________交換律a·b＝________安排律(a＋b)·c＝________學(xué)問(wèn)點(diǎn)五兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?________②若a與b同向，則a·b＝________；若反向，則a·b＝________．特殊地，a·a＝________或|a|＝a③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝________④|a·b|≤|a|·|b|基礎(chǔ)自測(cè)1.下列命題中，假命題是()A．同平面對(duì)量一樣，隨意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B．兩個(gè)相反向量的和為零向量C．只有零向量的模等于0D．空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等2．等邊△ABC中，AB與BC的夾角是________，CB與AB的夾角是________．3．在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量AA1與CC1是________向量，向量AC與4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．題型1空間向量的概念及簡(jiǎn)潔應(yīng)用例1下列說(shuō)法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，肯定有AB+AD方法歸納(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件．(2)嫻熟駕馭空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1(1)給出下列命題：①零向量沒(méi)有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC＝A1③若向量a與向量b的模相等，則a＝b.其中正確命題的序號(hào)是________．(2)下列四個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若a，b滿意|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號(hào)為()A．①②③B．④C．③④D．①④題型2空間向量的加、減法運(yùn)算【思索探究】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點(diǎn)？[提示](1)空間中隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，因此，它們的加減法運(yùn)算類(lèi)似于平面對(duì)量的加減法．(2)若兩個(gè)空間向量的始點(diǎn)相同，則這兩個(gè)向量即為平面對(duì)量．求這兩個(gè)向量之和時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮平行四邊形法則．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)，因此為便于記憶，常把這個(gè)和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．例2如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)AA'(2)AA'狀元隨筆一般地，起點(diǎn)相同三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？[提示]起點(diǎn)相同的三個(gè)不共面的向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量，也稱(chēng)平行六面體法則．方法歸納(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即A1A(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，OB+(3)空間向量的減法運(yùn)算也可以看成是向量的加法運(yùn)算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空間隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，而平面對(duì)量滿意加法交換律，因此空間向量也滿意加法交換律．(5)空間向量加法結(jié)合律的證明：如圖，(a＋b)＋c＝(OA+AB)＋BC＝OB+BC＝OC，a＋(b＋c)＝OA＋(AB+所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(變結(jié)論)利用本例圖，化簡(jiǎn)AA'(2)(變結(jié)論)利用本例圖，求證：AC+AB'題型3空間向量的夾角例3如圖所示是一個(gè)正方體，求下列各對(duì)向量的夾角：(1)AB與A1C1；(2)AB(3)AB與A1D1；(4)AB狀元隨筆空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？[提示]隨意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面對(duì)量夾角的定義一樣．方法歸納(1)空間向量夾角范圍同兩平面對(duì)量夾角范圍一樣，即[0，π].(2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．(3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，求下列各對(duì)向量的夾角：(1)AB與BC；(2)AB與CD；(3)AB與DE；(4)AB與EF；(5)AB與FA；(6)AB與BE.題型4數(shù)量積運(yùn)算例4如圖所示，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：(1)OA·OB；(2)EF·CB；(3)(OA+OB)·(狀元隨筆依據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，求出每組向量中每個(gè)向量的模以及它們的夾角，留意充分結(jié)合正四面體的特征．方法歸納1．要牢記公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．在求兩個(gè)向量夾角時(shí)，要留意向量的方向，如〈EF，CB〉＝〈跟蹤訓(xùn)練4已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)．試計(jì)算：1BC2BF3EF題型5利用數(shù)量積求夾角、模、解決垂直問(wèn)題【思索探究】空間向量數(shù)量積的性質(zhì)有什么作用？[提示](1)向量模的應(yīng)用：式子|a|＝a·(2)向量夾角的應(yīng)用：空間中兩條直線(特殊是兩條異面直線)的夾角，可以通過(guò)求出這兩個(gè)向量的夾角而求得．(3)兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a在b上的投影的數(shù)量|a|cos〈a，b〉與b的長(zhǎng)度的乘積；要明確向量a在向量b上的投影仍是一個(gè)向量，其數(shù)量為|a|cos〈a，b〉＝a·(4)數(shù)量積的應(yīng)用：兩非零向量a，b，若a·b＝0，則兩向量對(duì)應(yīng)的直線相互垂直．例5(1)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．(2)如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，從同一頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的長(zhǎng)都等于1，且彼此的夾角都是60°，求對(duì)角線AC1和BD1的長(zhǎng)．狀元隨筆(1)先求BA1·AC，再由夾角公式求cos〈BA1，AC〉，并由此確定(2)把向量AC1和BD1用已知向量AB、AD、AA方法歸納1．利用數(shù)量積求異面直線所成角(或余弦值)的方法：2．求兩點(diǎn)間的距離或某條線段的長(zhǎng)度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最終利用|a|2＝a·a，通過(guò)向量運(yùn)算去求|a|，即得所求距離．3．證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)推斷兩直線是否垂直．4．證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再推斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練5如圖所示長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點(diǎn)，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：(1)BC'·AE(2)B'D·易錯(cuò)點(diǎn)本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是零向量的概念的應(yīng)用，以及向量夾角的概念．(1)空間向量夾角范圍同兩平面對(duì)量夾角范圍一樣．即[0，π].(2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．第一章空間向量與立體幾何1．1空間向量及其運(yùn)算1．1.1空間向量及其運(yùn)算新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一1．大小方向模長(zhǎng)度長(zhǎng)度2．零向量模為1相等相反相同相等同向等長(zhǎng)相互平行或重合共線向量平行向量學(xué)問(wèn)點(diǎn)三非零∠AOB〈a，b〉[0，π]相互垂直a⊥b學(xué)問(wèn)點(diǎn)四2．λ(a·b)b·aa·c＋b·c學(xué)問(wèn)點(diǎn)五a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2a[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個(gè)向量稱(chēng)為相反向量；隨意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．答案：D2．答案：120°60°3．答案：相等相反4．解析：∵cos〈a，b〉＝a·bab＝∴〈a，b〉＝120°.答案：120°課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：|a|＝|b|，說(shuō)明a與b模長(zhǎng)相等，但方向不確定；對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B(niǎo)正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有AB+AD＝AC答案：B跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)①正確；②正確，因?yàn)锳C與A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a綜上可知，正確命題為①②.(2)對(duì)于①：長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對(duì)于②：向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于③：不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，故③錯(cuò)；只有④正確．答案：(1)①②(2)B例2解析：(1)AA'-CB＝AA'-(2)AA'+AB+B'C'＝(向量AD'、AC跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)結(jié)合加法運(yùn)算AA'+A'B故AA'(2)證明：長(zhǎng)方體的六個(gè)面均為平行四邊形．∵AC＝AB+AD，AB'∴AC+AB'+AD'＝(AB+又∵AA'＝CC'，∴AB+AD+AA'＝AB∴AC+AB'例3解析：(1)由于A1C1與AC的方向相同，所以〈2〈AB，3〈AB，4〈AB，跟蹤訓(xùn)練3答案：(1)60°(2)120°(3)180°(4)120°(5)60°(6)120°例4解析：(1)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則|OA|＝|OB|＝1.△OAB為等邊三角形，∠AOB＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12(2)由于E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，所以EF綊12AC于是EF·CB＝|EF||CB|cos〈EF，＝12|CA|·|CB|cos〈AC＝12×1×1×cos〈AC＝12×1×1×cos120°＝－1(3)(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(OA+＝OA2＋OA·OB－2OA·OC+OB·OA+＝1＋12－2×12+跟蹤訓(xùn)練4解析：如圖，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則|a|＝|ca·b＝b·c＝c·a＝0.1BC·ED＝AD＝b·12c-a+b＝|2BF·AB＝(AA1-AB+12AD)·(AB

+AA1)＝(c－a＋123EF·FC＝12AA1-＝12c-a+1＝12(－a＋b＋c)·(12b＋＝－12|a|2＋14|b|例5解析：1∵BA1＝BA+AA1＝BA+BB1，AC＝BC-BA，且BA∴BA1·AC＝－又|AC|＝2，BA1＝1+2∴cos〈BA1，AC〉＝BA1∵異面直線所成角的范圍是0，∴異面直線BA1與AC所成角