2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)知春分校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)知春分校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，共40分。1.已知集合A={x∣?1<x<3},B=x∣x2≥4，則A.?1,+∞ B.?1,2

C.?∞,?2∪?1,+∞ 2.設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)a?2i2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于虛軸上，則a=(

)A.?4 B.?1 C.1 D.43.設(shè)a,b∈R，且a>b，則(

)A.1a<1b B.tana>tan4.設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，若a1=2,aA.6 B.8 C.12 D.145.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,E,F分別是DD1A.6 B.25 C.6.在?ABC中，∠B=60°,b=7,a?c=2A.332 B.32 C.7.設(shè)函數(shù)f(x)=x+mx?2?(m∈R)的定義域為(?1,2)，則“?3<m≤0”是“f(x)在區(qū)間(?1,2)內(nèi)有且僅有一個零點”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)a，b是非零向量，則“a<b”是“a?bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，用Q表示產(chǎn)量，L表示勞動投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為Q=AKαLβ，其中A>0,K>0,L>0,0<α<1,0<β<1.當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉淼?A.存在α<12和β<12，使得Q不變

B.存在α>12和β>12，使得Q變?yōu)樵瓉淼?倍

C.若αβ=14，則Q最多可變?yōu)樵瓉淼?10.在?ABC中，AB=AC=42，當(dāng)λ∈R時，AB+λBC的最小值為4.若AM=MB,APA.2 B.4 C.25 二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.函數(shù)fx=1xln12.已知等差數(shù)列an的公差為2,Sn為其前n項和，且a2,a4,a8成等比數(shù)列，則13.設(shè)ω>0，函數(shù)fx=sinωx.若曲線y=fx關(guān)于直線x=π614.設(shè)函數(shù)fx①若a=?2，則fx的最小值為

②若fx有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是

．15.一般地，對于數(shù)列an，如果存在一個正整數(shù)t，使得當(dāng)n取每一個正整數(shù)時，都有an+t=an，那么數(shù)列an①對于數(shù)列an，若ai∈②若an滿足：a2n=a2n+2③若an為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)M，使得a④已知數(shù)列an的各項均為非零整數(shù)，Sn為其前n項和，若存在正整數(shù)M，使得Sn其中所有正確判斷的序號是

．三、解答題：本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.已知函數(shù)fx=2asinx(1)求a的值及fx(2)若m≤fx≤M對x∈[0,π2]恒成立，求17.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1(1)求證：EF//平面ACC(2)若點P是棱BB1上一點，且直線AP與平面BEF所成角的正弦值為15，求線段18.在?ABC中，BC=4,AC=(1)求∠B；(2)若D為BC邊上一點，再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使?ABD存在且唯一確定，求?ABD的面積．條件①：∠ADB=π條件②：AD=2條件③：?ABD的周長為3+注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19.如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//DC,??∠ABC=90°,??AB=2DC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，E是(1)求證：DE//平面PBC；(2)已知AB=BC=2，PB=PC，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四棱錐P?ABCD唯一確定，求二面角E?BD?C的余弦值．條件①：AP=22；條件②：AP⊥BC；條件③：直線AP與平面ABCD所成角的正切值為注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．20.已知函數(shù)fx=eax(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)求fx(3)當(dāng)x1<x2且x1?21.已知an是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于k∈N?，定義集合Bk=i∈N?∣a(1)若an=2n，寫出(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，求數(shù)列a(3)設(shè)集合S=s∣s=n+an,n∈N?,T=參考答案1.C

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.A

8.A

9.D

10.C

11.0,1∪12.8

；n13.3(答案不唯一，滿足ω=6k+3，k∈N即可)

14.?2

；?∞,?115.②③

16.解：(1)fx由于fπ6=所以fx=3(2)當(dāng)x∈0,π2故當(dāng)2x?π6=π2當(dāng)2x?π6=?π6時，f因此M≥1,m≤?2，

故m的最大值為?2，M的最小值為1．

17.解：(1)如圖，取線段BC的中點H，連接FH,EH，

因E,F分別為AB,B1C1的中點，故有EH//AC,

因為EH?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1，

所以EH//平面ACC1A1，

同理又EH∩FH=H，EH,FH?平面EHF，

則平面EHF//平面ACC1A1，

因EF?平面EHF，則(2)如圖，分別以BC,BA,BB則A(0,2,0),B(0,0,0),B1(0,0,2),E(0,1,0),F(1,0,2)，

設(shè)點P(0,0,z),BP=λBB1，則于是AP=(0,?2,2λ)，EB=(0,?1,0),EF=(1,?1,2)，

設(shè)平面BEF的法向量為n=(a,b,c)，

依題意得，|cos??n,AP?|=|2λ5

18.解：(1)cosB=A(2)若選條件①：∠ADB=π由∠ADB=π4，∠B=π3，AB=1，故sin∠BAD=此時三角形唯一確定，符合要求，S?ABD若選條件③：?ABD的周長為3+由AB=1，故AD+BD=2+則cosB=12即有2+3?BD2=B此時三角形唯一確定，符合要求，S?ABD不能選條件②，理由如下：若選條件②：AD=2由AD=223，∠B=π3，AB=1，設(shè)點則S?ABC=1此時d2=3故該三角形不唯一，故②不符合要求．

19.證明：(1)取PB的中點F，連接CF,EF，因為E是PA的中點，所以EF//AB,AB=2EF．又因為AB//DC,AB=2DC，所以EF//DC且EF=DC，所以四邊形CDEF為平行四邊形，所以DE//CF，又因為DE?平面PBC，CF?平面PBC，所以DE//平面PBC；

解：(2)取BC的中點O，連接PO，因為PB=PC，所以PO⊥BC，又因為側(cè)面PBC⊥底面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，PO?平面PBC，所以PO⊥平面ABCD，如圖，在平面ABCD中，作Oy//BA，則PO⊥BC,??PO⊥Oy,??Oy⊥BC，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

選條件①：連接AO，在Rt?ABO中，因為AB=2，BO=1，所以AO=在Rt△PAO中，因為AP=22，AO=所以A(?1,2,0),B(?1,0,0),C(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,所以BE=設(shè)平面EDB的法向量是m=(x,y,z)則m?BE令x=1，則y=?2,??z=3，于是因為PO⊥平面ABCD，所以n=(0,0,1)是平面BDC所以cosm由題知，二面角E?BD?C為鈍二面角，所以其余弦值為?選條件②：因為AP⊥BC,PO⊥BC,AP∩PO=P,AP,PO?平面OPA，所以BC⊥平面OPA，又OA?平面OPA，所以O(shè)A⊥BC，而AB⊥BC，AB,AO?平面ABCD，所以AB與AO平行或重合，這與AB∩AO=A矛盾，所以條件②不符合．選條件③：連接AO，因為PO⊥平面ABCD，所以∠PAO是直線AP與平面ABCD所成角，所以tan∠PAO=在Rt?ABO中，因為AB=2,??BO=1，所以AO=在Rt△PAO中，因為AO=5,??下同選條件①．

20.解：(1)a=1時，fx=exx所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為y?e=0，即(2)fx的定義域為x|x≠0，f′所以在區(qū)間?∞,0和0,1a上在區(qū)間1a,+∞上所以fx的增區(qū)間1a,+∞(3)當(dāng)x1<x2且令gx=fx設(shè)?x所以在區(qū)間?∞,0上?′x在區(qū)間0,+∞上?′x所以?x>?0所以gx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0當(dāng)0<x1<x2當(dāng)x1<x2<0綜上所述，當(dāng)x1<x2且

21.

(1)依題意，B1=i∈N?∣2故得b1(2)由題可知a1≥1，所以B1若a1=m≥2，則所以b2=0,b所以a1設(shè)dn=an+1?假設(shè)存在k∈N?使得設(shè)ak=t，由ak+1由ak=t<t+1<t+2≤ak+1得所以對任意n∈N?都有所以數(shù)列an是等差數(shù)列，a(3)因為對于n∈N?,所以n+bn≤n+先證明S∩T=?．假設(shè)S∩T≠?，設(shè)正整數(shù)p∈S∩T．