數(shù)學一輪復習基礎講義上冊（適合藝術生、基礎生一輪復習）第17講導數(shù)的應用（利用導數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問題）含答案及解析

第17講利用導數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問題一般地，若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．若，使成立，則只需；若，使成立，則只需．由此構造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．1．（山西柳林·高二期中（理））已知函數(shù).（1）當時，恒成立，求的取值范圍；（2）若為負實數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性.2．（廣東東莞·高二期末）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對任意的都有成立，求的取值范圍.3．（江蘇秦淮·南京一中高二期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（重慶市南坪中學校）設函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）如果函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求的取值范圍．5．（全國高二專題練習）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，均有不等式成立，求的最大值．6．（全國高三專題練習）已知函數(shù)(為實數(shù)).（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.7．（安徽安慶·高三月考（文））已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．8．（河北邢臺·高二月考）已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，，求的取值范圍．9．（安徽高二月考（理））已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.10．（江西南昌·（文））已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

第17講利用導數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問題一般地，若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．若，使成立，則只需；若，使成立，則只需．由此構造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．1．（山西柳林·高二期中（理））已知函數(shù).（1）當時，恒成立，求的取值范圍；（2）若為負實數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）答案見解析.【詳解】解：（1）當時，的定義域為，則，由得，1-0+減函數(shù)極小值0增函數(shù)恒成立，所以.（2）的定義域為，，①，即時，由得：或，由得：.所以在，上遞增，在上遞減；②，即時，，所以在上遞增；③，即時，由得：或，由得：.所以在，上遞增，在上遞減，綜上可知：當時，在，上遞增，在上遞減；當時，在上遞增；當時，在，上遞增，在上遞減.2．（廣東東莞·高二期末）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對任意的都有成立，求的取值范圍.【答案】（1）極大值，極小值；（2）.【詳解】（1）因為，所以，.令，解得或，當，即或；當，即，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.所以，時，有極大值，.當時，有極小值.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.又，，.所以時，，.因為對任意的都有成立，所以.3．（江蘇秦淮·南京一中高二期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；的極大值為，極小值；（2）【詳解】解：（1）因為所以，令，解得：或，令，解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；故的極大值為，極小值；（2）由（1）知在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，，，，對，恒成立，，即，．4．（重慶市南坪中學校）設函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）如果函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當時，，，則，又，∴所求切線方程為，即；（2）依題意，恒成立，即，設，則.①當時，，因此在上單調(diào)遞減，而，所以不成恒成立，不能滿足題意；②時，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得最小值，即，而，解得∴．5．（全國高二專題練習）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，均有不等式成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）∵，∴，又，∴所求切線方程為，即．（2）當時，，即恒成立，設，，當時，，遞減；當時，，遞增．∴，∴，的最大值為．6．（全國高三專題練習）已知函數(shù)(為實數(shù)).（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當時，，.由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為.（2）由題得，若恒成立，則，即恒成立.令，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，故的取值范圍為.7．（安徽安慶·高三月考（文））已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）時，，，曲線在點，（1）處的切線斜率:（1），故曲線在點，（1）處的切線方程為：，所求切線方程為：；（2），①當即時，，在，上為單調(diào)增函數(shù)，此時，（1），解得：，與矛盾，不符合題意，②當即時，，，的變化如下：，，0遞減極小值遞增此時，，解得：，與矛盾，不符合題意，③當即時，，在，上為單調(diào)減函數(shù)，解得：，又，，綜上：實數(shù)的取值范圍是．8．（河北邢臺·高二月考）已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，，求的取值范圍．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【詳解】（1）．在和上，，單調(diào)遞增．在上，，單調(diào)遞減．綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，，．所以在上，．又．所以在上，，，即．因為，，，所以解得．故的取值范圍是．9．（安徽高二月考（理））已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【詳解】解：（1）令，即，則，函數(shù)與有公共點，即有解.令，則.令，當時，，所以，當時，，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且當時，所以.（2）不等式恒成立,即恒成立.則時，成立，解得，由題意求滿足條件的整數(shù)最小值,下面驗證是否滿足題意.當時，令，且在上單調(diào)遞增.又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當時，不等式成立.故整數(shù)的最小值為10．（江西南昌·（文））已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答