數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義上冊(cè)（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第18講任意角和弧度制,三角函數(shù)的概念含答案及解析

第18講任意角和弧度制,三角函數(shù)的概念1．任意角、角的分類(lèi)：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫(xiě)成．2.弧度制：①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，，是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，為半徑．③用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一個(gè)角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為，則，．知識(shí)點(diǎn)2．三角函數(shù)的定義1.任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作；（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作.它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知識(shí)點(diǎn)3．扇形的弧長(zhǎng)及面積公式(1)弧長(zhǎng)公式在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱(chēng)為弧長(zhǎng)公式，其中的單位是弧度．(2)扇形面積公式，【題型一：任意角的概念】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）鐘表的分針在1.5小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了（）A．180° B．-180° C．540° D．-540°2．（河北張家口·）某學(xué)校大門(mén)口有一座鐘樓，每到夜晚燈光亮起都是一道靚麗的風(fēng)景，有一天因停電導(dǎo)致鐘表慢10分鐘，則將鐘表?yè)芸斓綔?zhǔn)確時(shí)間分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（咸陽(yáng)百靈學(xué)校高一月考）若將鐘表調(diào)快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)角為（）A． B． C． D．4．（全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）將分針撥快30分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．5．（江蘇宿遷·）小亮發(fā)現(xiàn)時(shí)鐘顯示時(shí)間比北京時(shí)間慢了一個(gè)小時(shí)，他需要將時(shí)鐘的時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）A． B． C． D．【題型二：終邊相同的角的集合】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（）A．510° B．150° C．-150° D．-390°2．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））在0°~360°范圍內(nèi)，與－690°角的終邊相同的角是（）A．150° B．210° C．30° D．330°3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（）A．17° B．107° C．197° D．287°4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在－360°到0°內(nèi)與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°【題型三：象限角】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（）A．510° B．150° C．-150° D．-390°2．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））在0°~360°范圍內(nèi)，與－690°角的終邊相同的角是（）A．150° B．210° C．30° D．330°3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（）A．17° B．107° C．197° D．287°4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．【題型四：弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式】1．（全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)（文））已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校）已知扇形的半徑為2，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A．1 B．2 C． D．43．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．4．（白沙黎族自治縣白沙中學(xué)高一期中）扇形的半徑為1，圓心角的弧度數(shù)為2，則這個(gè)扇形的周長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．以上都不對(duì)5．（全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中，，為的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm26．（上海高一課時(shí)練習(xí)）若的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積為（）A． B． C． D．7．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知弧度數(shù)為的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）A． B． C． D．8．（江西省樂(lè)平中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，一把折扇完全打開(kāi)后，扇面的兩條弧，的弧長(zhǎng)分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．9．（上海寶山·高一期末）我國(guó)扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．10．（全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【題型五：任意角的三角函數(shù)定義】1．（北京市第一四二中學(xué)高三月考）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．（重慶市第七中學(xué)校高三月考）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．（九龍坡·重慶市育才中學(xué)）已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，則角所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高一期中）角的終邊落在射線上，則的值為（）A． B． C． D．7．（河南（文））已知角的終邊在直線上，則（）A． B． C． D．8．（綏德中學(xué)高一月考）是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)，且，則的值為（）A． B． C． D．9．（全國(guó)）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．10．（河南高一期末（文））已知，角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．

第18講任意角和弧度制,三角函數(shù)的概念1．任意角、角的分類(lèi)：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫(xiě)成．2.弧度制：①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，，是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，為半徑．③用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一個(gè)角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為，則，．知識(shí)點(diǎn)2．三角函數(shù)的定義1.任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作；（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作.它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知識(shí)點(diǎn)3．扇形的弧長(zhǎng)及面積公式(1)弧長(zhǎng)公式在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱(chēng)為弧長(zhǎng)公式，其中的單位是弧度．(2)扇形面積公式，題型一：任意角的概念1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）鐘表的分針在1.5小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了（）A．180° B．-180° C．540° D．-540°【答案】D【詳解】根據(jù)順時(shí)針為負(fù)角，則分針在1.5小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了，故選：D2．（河北張家口·）某學(xué)校大門(mén)口有一座鐘樓，每到夜晚燈光亮起都是一道靚麗的風(fēng)景，有一天因停電導(dǎo)致鐘表慢10分鐘，則將鐘表?yè)芸斓綔?zhǔn)確時(shí)間分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分針需要順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即弧度數(shù)為.故選：A.3．（咸陽(yáng)百靈學(xué)校高一月考）若將鐘表調(diào)快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：將鐘表的分針撥快5分鐘，則分針順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)角為，故選：C4．（全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）將分針撥快30分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】將分針撥快30分鐘，則分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，所以分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是.故選：A5．（江蘇宿遷·）小亮發(fā)現(xiàn)時(shí)鐘顯示時(shí)間比北京時(shí)間慢了一個(gè)小時(shí)，他需要將時(shí)鐘的時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】時(shí)鐘上一圈的弧度是，共12個(gè)刻鐘，每個(gè)刻鐘相隔，現(xiàn)在時(shí)鐘顯示時(shí)間比北京時(shí)間慢了一個(gè)小時(shí)，小亮需要將時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，故他需要將時(shí)鐘的時(shí)針旋轉(zhuǎn).故選：B.題型二：終邊相同的角的集合1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（）A．510° B．150° C．-150° D．-390°【答案】D【詳解】與330°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，故選：D2．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））在0°~360°范圍內(nèi)，與－690°角的終邊相同的角是（）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【詳解】令，則，令，得，故選：C3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（）A．17° B．107° C．197° D．287°【答案】D【詳解】與角終邊相同的角可表示為，令得.故選：D.4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，故選：C5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在－360°到0°內(nèi)與角1250°終邊相同的角是().A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【詳解】與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－，∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°題型三：象限角1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（）A．510° B．150° C．-150° D．-390°【答案】D【詳解】與330°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，故選：D2．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））在0°~360°范圍內(nèi)，與－690°角的終邊相同的角是（）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【詳解】令，則，令，得，故選：C3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（）A．17° B．107° C．197° D．287°【答案】D【詳解】與角終邊相同的角可表示為，令得.故選：D.4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，故選：C5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在－360°到0°內(nèi)與角1250°終邊相同的角是().A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【詳解】與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－，∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°題型四：弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式1．（全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)（文））已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數(shù)是，設(shè)圓的半徑為r，則由扇形面積公式得：，而，解得，所以該扇形所在圓的半徑為2.故選：B2．（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校）已知扇形的半徑為2，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，面積是2，所以，解得，故選：A3．（銀川三沙源上游學(xué)校高一月考（文））扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)樯刃蔚闹行慕菫?20°，即因?yàn)樯刃蔚闹行慕菫?，又半徑為，所以扇形的面積為.故選：A.4．（白沙黎族自治縣白沙中學(xué)高一期中）扇形的半徑為1，圓心角的弧度數(shù)為2，則這個(gè)扇形的周長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】由扇形周長(zhǎng)公式：，而，∴這個(gè)扇形的周長(zhǎng)是.故選：B5．（全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中，，為的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】B【詳解】解：扇環(huán)的面積為．故選：B6．（上海高一課時(shí)練習(xí)）若的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】若的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則可得半徑為2，所以這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積.故選：A.7．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知弧度數(shù)為的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榛《葦?shù)為的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，所以扇形半徑，因此圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是故選:B8．（江西省樂(lè)平中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，一把折扇完全打開(kāi)后，扇面的兩條弧，的弧長(zhǎng)分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，圓心角是.則，解得，所以陰影部的面積為，故選：A9．（上海寶山·高一期末）我國(guó)扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個(gè)半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，則，，則，所以扇面的面積.故選：.10．（全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選：D．題型五：任意角的三角函數(shù)定義1．（北京市第一四二中學(xué)高三月考）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，，，∴．故選：D．2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（