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2025屆山東省德州市夏津一中高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲2.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.3.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或4.設(shè),,,則()A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若直線(xiàn)l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線(xiàn)與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線(xiàn)與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與l平行D.α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l相交7.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.548.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo),現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧,要求每個(gè)貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種9.已知x,y滿(mǎn)足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.10.如圖,雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B.C. D.11.在中,為邊上的中點(diǎn),且,則()A. B. C. D.12.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線(xiàn)垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線(xiàn)段 B.與BE是異面直線(xiàn)C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線(xiàn)上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.14.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________.15.已知實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________.16.已知函數(shù)為偶函數(shù),則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.18.(12分)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).(1)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的面積.19.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線(xiàn)段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最???20.(12分)已知不等式對(duì)于任意的恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足.求證.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式:;(2)求證:.22.(10分)已知,均為正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和分別為,,且,,,當(dāng),時(shí),,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng),甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線(xiàn)性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線(xiàn)性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率的求解,涉及雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.4、A【解析】
先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達(dá)式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當(dāng)時(shí),.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運(yùn)算求解能力與推理能力,屬于中等題.6、D【解析】
通過(guò)條件判斷直線(xiàn)l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線(xiàn)l不平行于平面α,且l?α可知直線(xiàn)l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系,直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系,難度不大.7、C【解析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.8、B【解析】
分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的斜率為,所以?xún)芍本€(xiàn)垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力,屬于??碱}.10、A【解析】
易得,過(guò)B作x軸的垂線(xiàn),垂足為T(mén),在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過(guò)B作x軸的垂線(xiàn),垂足為T(mén),故,又所以,即,所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題,在作雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.11、A【解析】
由為邊上的中點(diǎn),表示出,然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點(diǎn),,故選:A【點(diǎn)睛】在三角形中,考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】
分別根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理以及異面直線(xiàn)的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線(xiàn)交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線(xiàn)平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線(xiàn)平面,即點(diǎn)是線(xiàn)段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線(xiàn),正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)椋瑒t到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得,并求出對(duì)應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,由拋物線(xiàn)的定義得,解得,此時(shí).因此,拋物線(xiàn)上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線(xiàn)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、-1【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí),通過(guò)平移即可求z的最大值.【詳解】作出實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線(xiàn)yx,由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)yx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線(xiàn)yx的縱截距最小,此時(shí)z最?。桑肁(﹣1,﹣1),此時(shí)z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題16、【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程,化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù),所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線(xiàn)PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(),設(shè)直線(xiàn)PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(1)的值為或.(2)【解析】
(1)分類(lèi)討論,當(dāng)時(shí),線(xiàn)段與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為,當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),能取得最小值,利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式即可求解;當(dāng)時(shí),線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.(2)由題意可得軸且設(shè),則,代入拋物線(xiàn)方程求出,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題,,若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn),即時(shí),設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為,則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),的最小值為,此時(shí)若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn),即時(shí),則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),的最小值為:,此時(shí)綜上,實(shí)數(shù)的值為或.因?yàn)?,所以軸且設(shè),則,代入拋物線(xiàn)的方程解得于是,所以【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的焦半徑公式、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系中的面積問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,則,化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍),(2)設(shè)BP=t,則,,設(shè),,令f'(t)=0,因?yàn)?,得,?dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因?yàn)楹愠闪?,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因?yàn)閥=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),α+β取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)法一:,,得,則,由此可得答案;法二:由題意,令,易知是偶函數(shù),且時(shí)為增函數(shù),由此可得出答案;(2)由(1)知,,即,結(jié)合“1”的代換,利用基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】解:(1)法一:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取
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