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文檔簡介
遼寧省阜新市阜蒙縣育才高級中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為,高為,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1803.設(shè)直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.14.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點,測得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.5.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.6.己知拋物線的焦點為,準線為,點分別在拋物線上,且,直線交于點,,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.67.若集合,,則A. B. C. D.8.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.49.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.010.在精準扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種11.a(chǎn)為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.112.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從中任意摸取3個小球,每個小球被取出的可能性相等,則取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.14.已知向量,,若向量與向量平行,則實數(shù)___________.15.已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.16.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),滿足.則不等式的解集為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在三棱錐中,,,,點為中點.(1)求證:平面平面;(2)若點為中點,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.19.(12分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點,點,直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.20.(12分)如圖,三棱臺的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.22.(10分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因為正四棱錐底邊邊長為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.2、A【解析】
因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由已知,設(shè).可得.于是可得,進而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5、D【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
作,垂足為,過點N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點,即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因為,所以為線段的中點,所以F到l的距離為.故選:D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.7、C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或,,所以,故選C.【點睛】本題考查集合的交運算,屬于容易題.8、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。9、B【解析】
作出可行域,平移目標直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當時,故選:B【點睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)題意,分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理問題,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
,選B.12、D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個小球,有種情況,所以取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.14、【解析】
由題可得,因為向量與向量平行,所以,解得.15、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準線方程,得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準線,漸近線,雙曲線的右準線與漸近線的交點,交點在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,是基本知識的考查,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再將所求不等式變形為,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè),則,設(shè),則.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減;當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為上的奇函數(shù),則,,則不等式等價于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點睛】本題主要考查不等式的求解,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析.(2)【解析】
(1)通過證明平面,證得,證得,由此證得平面,進而證得平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)因為,所以平面,因為平面,所以.因為,點為中點,所以.因為,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)以點為坐標原點,直線分別為軸,軸,過點與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標系,則,,,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面的一個法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)由,利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果;(2)由正弦定理,,利用三角形內(nèi)角和定理可得,由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù),屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.19、(1)(1)不存在,理由見解析【解析】
(1)利用離心率和過點,列出等式,即得解(1)設(shè)的方程為,與橢圓聯(lián)立,利用韋達定理表示中點N的坐標,用點坐標表示,利用韋達關(guān)系代入,得到關(guān)于k的等式,即可得解.【詳解】(1)由題意,可得解得則,故橢圓的方程為.(1)當直線的斜率不存在時,,不符合題意.當?shù)男甭蚀嬖跁r,設(shè)的方程為,聯(lián)立得,設(shè),則,,,即.設(shè),則,,,則,即,整理得,此方程無解,故的方程不存在.綜上所述,不存在直線使得.【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了弦長和中點問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.20、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點,可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面的一個法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點為,連結(jié).由是三棱臺得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點,∴,∴.∵平面平面,且交線為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點,則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),則,,,,∴,,.設(shè)平面的一個法向量為.由可得,.令,則,,∴.設(shè)與平面所成角為,則.【點睛】本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線線垂直的證明,及線面角的求法,考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計算求解能力,屬于中檔題.21、(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因為圓E為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓(點不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因為,故四邊形為平行四邊形.當直線l的斜率不存在時,則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點D在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的
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