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文檔簡介
2025屆河南省許平汝九校聯(lián)盟高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.設,則()A. B. C. D.3.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差4.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.6.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.117.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點,使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.8.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.9.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.10.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.11.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.1912.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點,,使得,且的中點在軸上,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為________.14.在三棱錐P-ABC中,,,,三個側面與底面所成的角均為,三棱錐的內切球的表面積為_________.15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結果是______.16.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設,則在區(qū)間上的取值范圍為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設,分別為這200人得分的平均值和標準差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機會,得分不低于的可獲得2次抽獎機會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀念品A的概率為,抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者,記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學期望,并估算此次紀念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)18.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項和為,且,.(1)求.(2)設,求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知橢圓:()的左、右頂點分別為、,焦距為2,點為橢圓上異于、的點,且直線和的斜率之積為.(1)求的方程;(2)設直線與軸的交點為,過坐標原點作交橢圓于點,試探究是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時.①求函數(shù)在處的切線方程;②定義其中,求;(2)當時,設,(為自然對數(shù)的底數(shù)),若對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使得成立,求的取值范圍.21.(12分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點,AC與BE的交點為O.(1)設H是線段BE上的動點,證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結合的思想,屬于基礎題.2、D【解析】
結合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性的應用,屬于基礎題.3、D【解析】
ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應的信息,對學生分析問題的能力有一定要求.4、C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當a=2時,化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關系.5、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.6、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎題目.7、B【解析】
由可得;由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.8、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結構是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結構求出其體積.9、D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當直線過點時,目標函數(shù)取得最大值,最大值為3;當直線過點時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.10、D【解析】
根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結果.【詳解】,故可得.故選:D.【點睛】本題考查集合的混合運算,屬基礎題.11、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時,a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時,要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系,從而可簡化與數(shù)列相關的方程,本題屬于難題.12、D【解析】
根據(jù)中點在軸上,設出兩點的坐標,,().對分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設,,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因為,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域為,故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運算能力,屬于較難的題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點個數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個零點.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質和函數(shù)的零點,屬于基礎題.14、【解析】
先確定頂點在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側面三角形的高,利用各個面的面積和乘以內切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設頂點在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內心,內切圓半徑.三個側面與底面所成的角均為,,,的高,,設內切球的半徑為R,∴,內切球表面積.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐內切球的表面積問題,考查學生空間想象能力,本題解題關鍵是找到內切球的半徑,是一道中檔題.15、1【解析】
該程序的功能為利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案.【詳解】模擬程序的運行,可得:,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,此時滿足條件,退出循環(huán),輸出的值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結論,屬于基礎題.16、【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉化為關于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,;(2)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布表計算出平均數(shù),進而計算方差,從而X~N(65,142),計算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個取值對應的概率,列出分布列,計算期望,進而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點睛】本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯位相減,即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項公式是基礎,準確計算求和是關鍵,易錯點是在“錯位”之后求和時,弄錯等比數(shù)列的項數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.19、(1)(2)是定值,且定值為2【解析】
(1)設出點坐標并代入橢圓方程,根據(jù)列方程,求得的值,結合求得的值,進而求得橢圓的方程.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得點的橫坐標,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得,由此化簡求得為定值.【詳解】(1)已知點在橢圓:()上,可設,即,又,且,可得橢圓的方程為.(2)設直線的方程為:,則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得:,由,可得,聯(lián)立直線與橢圓的方程可得:,即,即.即為定值,且定值為2.【點睛】本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法,考查橢圓中的定值問題的求解,考查直線和橢圓的位置關系,考查運算求解能力,屬于中檔題.20、(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①時,,,利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根據(jù)若對任意給定的,,在區(qū)間,上總存在兩個不同的,使得成立,得到函數(shù)在區(qū)間,上不單調,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切線方程為.②,.令,則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),當時,函數(shù)單調遞增;當時,,函數(shù)單調遞減∵,,所以,函數(shù)在上的值域為.因為,,故,,①此時,當變化時、的變化情況如下:—0+單調減最小值單調增∵,,∴對任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個不同的,使得成立,當且僅當滿足下列條件,即令,,,當時,,函數(shù)單調遞增,當時,,函數(shù)單調遞減所以,對任意,有,即②對任意恒成立.
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