2023考研：考點(diǎn)精講一本通（數(shù)二版）

2023

考研數(shù)學(xué)

考點(diǎn)精講一本通

目錄

高等數(shù)學(xué)篇

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)................................................................2

第：章一元函數(shù)微分學(xué)................................................................23

第二章不定積分.......................................................................47

第四章定枳分及其應(yīng)用................................................................56

第五章常微分方程.....................................................................70

第六章中值定理.......................................................................78

第七章多元函數(shù)微分學(xué).................................................................84

第八章..重積分.......................................................................99

第九章無窮級數(shù)（數(shù)學(xué)一、二）........................................................109

第十章數(shù)一專題......................................................................122

線性代數(shù)篇

第一章行列式........................................................................156

第一章矩陣..........................................................................165

第二章向量..........................................................................183

第四章方程組........................................................................190

第五章特征值........................................................................200

第六章.：次型........................................................................215

概率統(tǒng)計(jì)篇（數(shù)一數(shù)三）

第一章隨機(jī)事件及其概率..............................................................228

第.?章一維隨機(jī)變量及其分布.........................................................238

第二章一維隨機(jī)變量及其分布.........................................................252

第四章隨機(jī)變量及其分布.............................................................266

第五章人數(shù)定律與中心極限定理.......................................................274

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與參數(shù)估計(jì)...................................................277

f=)

等

\數(shù)\

學(xué)

第一章函數(shù)、帔限與連續(xù)

本章我*綱要妻］

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、

力極限之間的關(guān)系.

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

7.掌握極限存在的兩個法則，并會利用求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小局的比較方法，會用等價(jià)無窮小量

求極限.

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

考點(diǎn)復(fù)盤清單

迤型清單一刷二刷三刷

【考點(diǎn)1】無窮小屋

【考點(diǎn)2】泰勒公式

【考點(diǎn)3］洛必達(dá)法則

【考點(diǎn)4】四則運(yùn)兌

【考點(diǎn)5】函數(shù)極限讓兌

【考點(diǎn)6】左右開弓法

【考點(diǎn)7］已知極限求其中待定參數(shù)

【芍點(diǎn)8］己知個極限求另?個極限

【考點(diǎn)9】數(shù)列極限定義與性質(zhì)

【考點(diǎn)：10】數(shù)列極限計(jì)算

【考點(diǎn)11】函數(shù)的連續(xù)性

【考點(diǎn)12】函數(shù)的間斷點(diǎn)

大綱考點(diǎn)精講

第一節(jié)無窮小及其階

J無窮小量

1.定義若!唾/3=o,則稱/(X)為工->□時的無窮小.

2.無窮小量比階

設(shè)lim/Q)=0,limg(x)=0,則lim上廣=/.

(1)若/=0,稱/(1)是g(x)的高階的無窮小，汜以/(x)-o[g(x)]

(2)若/=oo,稱./")是g(x)的低階無窮小.

(3)若/=1,稱〃工)與g(x)互為等價(jià)無窮小,記作/Q)?g(x).

(4)若/二八0,稱J。)與g(x)互為同階無窮小.

3.常見等價(jià)無窮小

當(dāng)戈->0時，有：

sinx-x,arcsinx?x,tanx?x,arctanx-x,

ln(l+x)-x,e'-l?x,1-cosx~—x2,?ax.

心【解題大招】

I【例1.1】確定下列無窮小的等價(jià)無窮小.

(1)當(dāng)人-—>0時，x+2A*2+—J3~;

(2)當(dāng)”->0時，sinx2+-1+In(1+x')-.

rrr,—r的「in('+sin月)

［例1.2】--------

f)Incosx

1-Jcosx)(1-VCOSJV)???(1-Jcosx)

I【例1.3】計(jì)算lim

x>0(1-cosx)n!

4.高階無窮小運(yùn)算法則

設(shè)也〃為正整數(shù)，則:

（1）加減低階吸收原則o(xm)±o(xn)=o“),/=min|m,n}

（2）乘法疊加原則0(/)-o(xn)=o(”)，o(xn)=o(x,n+n)

<3）數(shù)乘無關(guān)原則o(xni)=o(kxn,)=ko(xm)，(左WO)

【注】泰勒公式的完美搭檔！

［【例1.4］（1）0，）-。（父）=；0，）一g3）=

(2)o，)?o，)=—；》、0（<3）=

(3)?(/)=。（-^^二

O

考點(diǎn)2泰勒公式［必記】

「【例1.5】常用等價(jià)無窮小公式(需熟記)

當(dāng)K->0時，

(1)x-sinx~;(2)X-arcsinx~

(3)x-tanx?;(4)x-arctanx?

(5)x-ln(l+x)~.

I【例1.6］當(dāng)x->。時，x-sinxcosxcos2x與ud為等價(jià)無窮小，則。二

I【例1.7】當(dāng)入，->0時。e'+M(l-x)-l與為同階無窮小.則“二

tan(tanx)-sin(sinx)

I[001.8]求極限lim

tanx-sinx

第二節(jié)函數(shù)極限計(jì)算

考點(diǎn)清單

考點(diǎn)3洛必達(dá)法則

考點(diǎn)4四則運(yùn)算深藏不漏的高手

考點(diǎn)5匕種未定式的極限計(jì)算

心【解題大招】

(1)+型未定式

l+-x2-V1+X2

I【例1.9】求極限出口廠」——-----

^0(cosx-evjsinx2

^tanx_^urvtanx

「例3°】求極限㈣產(chǎn)河工？

Jl+tanx-Jl+sinx

［【例1.11】求極限lim

x->0xln(l+x)-x2

(2)8-8型未定式

ICOS?X

[【例1.121Um

2

X—?()、sin'xX

(1A

【例1.13】求極限lim|x-InIT—].

X->CC?X)

(3)藝型未定式

oo

[【例1.14】(1)求極限J㈣(a+x+x'-J1一x+x].

(2)求極限lim(Jl+x+x?-Jl-x+x，)

(4)r型未定式

[(1501.15]計(jì)算極限嗎(cos2x+2xsinx)e二

1

^ex+e2十…十/，

「【例1.16】求極限lim，其中「是給定的自然數(shù).

x->0n

/vlX

(1+力

k例1.17】計(jì)算極限lim

XT。

(5)(boo型未定式

［【例1.18】求極限1皿xln|x.

(6)0°,8°型未定式.

「一/[\sinx

k例1.19]求極限lim-

考點(diǎn)6左右開4法求極限

心【解題大招】

e,/x+2

k例1.20】求極限！則sin.r

Jl+x+\Jl-x-2_

----7=^-----，x>0

Vl+x2-1

【【例1.21］已知〃x)=?

1且嘰/(x)存在，則求。的值.

(I+xp-eC

--------,x<0

考點(diǎn)7已知極限求其中待定參量

心【解題大招】

S1UA

［【例1.22］若lim(cosx-h)=5t貝ija=_______,b=

x

xrOQ_a

例索3］若時皆i一肛則片--------,g

I【例L24】設(shè)1而"0+"絲+'"2=2,則Q二，b=

10X

考點(diǎn)8已知極限求另外一個極限

心【解題大招】

k例1.25］若㈣｝皿1+刈：2叭x)=i,則阿1上也包=

第三節(jié)數(shù)列極限

考點(diǎn)1數(shù)列極限定義

叫￡=彳。任給￡〉0,存在正整數(shù)N,當(dāng)〃〉N時，就有民一/<￡.

心【解題大招】

[【例1.26】(2例5年)設(shè)｛兌｝是數(shù)列，下列命題中不無硼的是().

(A)limx”=。，貝ijlim.0“+]=lim與“=a

limlim

(B)rlti-MmCWrt-〃K+Ci=^2，n/?=?-a>X，則^n=。.

(C)linu”=a,則皿“==a.

D—>xn->xw->x>

(D)山叫=limx加?=〃,則\mx?=a.

［【例1.27】下列命題中錯誤的是().

(A)若!吧工存在，則則I”存在.(B)若則I”存在，則勤凡存在.

(C)若亶產(chǎn)-0,則!吧同=。.（D）若岫|=0,則!吧天=0

考點(diǎn)2收斂數(shù)列的性質(zhì)

(1)唯一性

(2)有界性

(3)保號性

【【例1.28］設(shè){%},{"},￡}均為非負(fù)數(shù)列，且出嗎=°,!叫〃甘，［呼〃=°°,貝必

有().

(A)為〈”對任意〃成立.(B)“<C〃對任意n成立.

(C)極限lim%〃不存在.(D)極限］啜￡不存在.

/J—X3U〃一>X'

考點(diǎn)3數(shù)列極限計(jì)算

1,連續(xù)化處理（歸結(jié)原理.）

2.夾逼準(zhǔn)則

若存在N>0,當(dāng)〃〉N時，日!也4=!吧2〃=。，則!吧

⑥【解題大招】

12n

「【例1.29】lim---------+----------H----1--------

"f8〃'+〃+1，？+〃+2/+〃

「【例1.30】求極限lim行方伍力,c〉0).

/J-HO

,2Y

「【例1.31】(莫斯科經(jīng)濟(jì)學(xué)院1975年競賽題)求/(%)=吧/+1+|—X(x>0).

%,

3.單調(diào)有界必有極限

單調(diào)增有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減有下界的數(shù)列必有極限.

心【解題大招】

［【例1.32】設(shè)為=10/2=師或〃=12…證明數(shù)列｛%｝有極限，并求此極限

,11

I【例1.33】設(shè)〃|=2,a,+l=-an+—,〃=1,2,…則

,Ian

(I)證明極限存在.

(II)求該數(shù)列的極限.

x

［【例1.34】設(shè)數(shù)列&〃｝滿足°＜現(xiàn)＜兀，?+i=sinx?（n=l,2,---）.

證明：（1）證明!叫/存在，并求該極限；

I

（II）計(jì)算

第四節(jié)連續(xù)與間斷

考點(diǎn)1函數(shù)連續(xù)的定義

心【解題大招】

【例1.35】設(shè)函數(shù)/")有連續(xù)得導(dǎo)函數(shù)，/(°)=0，/'(0)=〃,若函數(shù)

[/(-)+asinx0

F(.r)=x''在x=0處連續(xù)廁常數(shù)/=.

A,x=0.

Incos(x-l)

,x工1,

[【例1.36】設(shè)函數(shù)/。)=<17由色間函數(shù)/(X)在x=l處是否連續(xù)？若不

[1,X=l.

連續(xù)修改函數(shù)在X=1處的定義使之連續(xù).

考點(diǎn)2I

(1)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)；

(2)(四則運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)函(x),g(x)在點(diǎn)/連續(xù),則/()土g(x),/(?、?

41(g(xN。)都在點(diǎn)為連續(xù)；

g|x)

(3)(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)尸/加(切是由函數(shù)歹=/(〃)與〃=g")復(fù)合而

成，若〃=g(x)在》=不)處連續(xù)，月.g(%)=Wo,而/=〃〃)在〃=4處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)

y=/[g(x)]在％=%處連續(xù);

X2+1,\x\^C

［【例1.37】設(shè)函數(shù)=??在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，則C二

府'M>°

1(01］1,38］若/(x)在X=0處連續(xù)，貝“可!/，T)；哂/(丁7)=

考點(diǎn)3函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

心【解題大招】

［【例1.39】(2005年)設(shè)函數(shù)=二Z-,則().

ex-1-1

(A)x=0,%=1都是/(x)的第?類間斷點(diǎn)

(B)x=0,尤=1都是/(X)的第二類間斷點(diǎn).

(C)x=0是/*)的第?類間斷點(diǎn)，尤=1是/*)的第二類間斷點(diǎn).

(D)x=0是/〃)的第二類間斷點(diǎn)，是"x)的第?類間斷點(diǎn).

|【例；40】(2020年)函數(shù)/(x)=上的第二類間斷點(diǎn)的個數(shù)為().

(eA-l)(x-2)

(A)1(B)2(C)3(D)4

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

本章日立至要刃;

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平

面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)致描述一些物理量,

理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

式.了解微分的四則運(yùn)算法則和?階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分.

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

4.會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的

導(dǎo)數(shù).

5.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握

函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

8.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近

線，會描繪函數(shù)的圖形.

9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑.

考點(diǎn)復(fù)盤清單

題型清單—刷二刷三刷

【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)定義

【考點(diǎn)2】導(dǎo)數(shù)計(jì)算（句合、隙、分段、參數(shù)、反）

【考點(diǎn)3】高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算

【考點(diǎn)4】切線方程、法線方程

【考點(diǎn)5】微分的定義、幾何意義

【考點(diǎn)6】函數(shù)的單調(diào)性

【考點(diǎn)7】極俏4最俏

【考點(diǎn)8】凹凸性4拐點(diǎn)

【考點(diǎn)9】曲線漸近線

【考點(diǎn)10］曲率（數(shù)?、-）

大綱考點(diǎn)精講

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義

I導(dǎo)數(shù)的定義

心【解題大招】

【例2.1】已知/(x)=arcsinr，=”,求/'⑼.

V1+SillX

I【例2.2】設(shè)/(x)可導(dǎo)，廠(》)=/(工)(l+|sin》l),若使尸(%)在x=。處可導(dǎo)，則(

(A)/(0)=0(B)/r(0)=0

(C)/(0)+/'(0)=0(D)/(0)-,f(0)=0

考點(diǎn)2單側(cè)導(dǎo)數(shù)

心【解題大招】

——pxvO

1+靛

I【例2.3】已知函數(shù)/(x)n0,x=0,wi)r(o)=

2x八

----,x>0

l+ex

1-COSX

x>0,

［【例2.4】設(shè)/'(x)=，&其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則/(X)在X=0處().

x-g(x),燼0.

(A)極限不存在(B)極限存在但不連續(xù)

(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

I【例2.5】設(shè)函數(shù)/(x)=g3|x7o|,其中g(shù)(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，證明/(力在點(diǎn)xo

可導(dǎo)的充分必要條件是g(%)=0.

|【例2.6】函數(shù)=-2)不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是().

(A)3.(B)2.

(C)1.(D)0.

考點(diǎn)3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，則/(無)在點(diǎn)xo處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)

y=/(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)xo處可導(dǎo).

考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的推廣定義

心【解題大招】

［【例2.7】設(shè)函數(shù)/(X)在x=0處連續(xù),日」而"2=1,則().

XTOJ-

(A)〃0)=0且￡(0)存在.(B)/'(0)=1且￡(0)存在.

(C)/(0)=0且〃0)存在.(D)/'(0)=1且才(0)存在.

［【例2.8】設(shè)/(x)在工二。的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，則/(x)在工二。處可導(dǎo)的.個充分條

件是().

(A)lim〃［/(。+5-/⑷］存在(B)網(wǎng)/@+2?！ā碧锎嬖?/p>

(C)lim/S+人—)存:在(D)lim瓜匕32存在

A->O2hh

/（4+3力）-/（。-2萬）

I【例2.9】設(shè)/'⑷存在，則照

h

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

考點(diǎn)1必備知識

1.導(dǎo)數(shù)表（默寫）

2.求導(dǎo)法則

|/(x)±g(x)]=/Q)二g'(x)

[7(x)?g(x)1=/'(x)g(x)+/'(x)g'(6

/'(x)gG)-/(x)g'(x)

(g(x)w。)

gYM

攵合函數(shù)求導(dǎo)

II例2.10】設(shè)函數(shù)gQ)可微，/?a)=e"g?"(x)=l,g'(l)=2,則g。)等于().

(A)In3-1.(B)-ln3-l.

(C)-lr2-l.(D)ln2-l.

已知，=/（含）/（X）.n,dy,

I【例2.11】=arcsinJC-

ax

［【例2.12］設(shè)y=(l+siju)。則了二,

考點(diǎn)3隱函數(shù)求導(dǎo)

|【例2.13】（2009年，數(shù)二，4分）設(shè)y=.”（用是由方程個+e3=x+l確定的隱函

數(shù)，則

考點(diǎn)4參數(shù)方程確定函數(shù)求導(dǎo)（數(shù)?、二）

x=arctailt,

，例2.14】（2015年，數(shù)二，4分）

y=3t+t\

考古5分段函數(shù)求學(xué)

心【解題大招】

［【例2.15］已知/㈤=HmYx"+/"+『"(x>0),求/'(x).

[[15IJ2J6]（2021年）已知/（x）=要?，求/"（好?

1"I人

考點(diǎn)6反函數(shù)的求導(dǎo)

心【解題大招】

,dx|

［【例2.17］已知y=/("其反函數(shù)為工=廣(歹),證明加=7,疝7=-而

考點(diǎn)7高階導(dǎo)數(shù)

心【解題大招】

［【例2/8】(2007年，數(shù)二/數(shù)三，4分)設(shè)函數(shù)y二」一，則/)(0)二

2x+3

I【例2.19】函數(shù)歹=ln(l-2x)在工=0處的〃階導(dǎo)數(shù)”⑻(0)=.

【例2.20】設(shè)V=x2e2x,則嚴(yán)=.

[【例2.21】已知函數(shù)/■)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且/(幻=[/*)]2,則當(dāng)〃為大于2的

正整數(shù)時，/")的n階導(dǎo)數(shù)/〃&)=.

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)幾何意義及切線、法線方程

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的兒何意義

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處導(dǎo)數(shù)/'(%)存在，則在;L何上/'(%)表示曲線y=/(x)在

點(diǎn)(?%，/(%))處的切線的斜率.

［【例2例2】設(shè)/*）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件物/⑴一,則曲線y=/&）

4人

在點(diǎn)（1,/。））處的切線斜率為（）.

（A）2（B）-1（C）-（D）-2

2

考點(diǎn)2切線方程、法線方程

切線方程：y-fM=r(x^x-xl.)

法線方程:丁一/(%)=/)(/Qo)*o)

[[1502,23]曲線sin(xy)+hi(y-x)=x在點(diǎn)(0J)處的切線方程為

［【例2.24】曲線與曲線V=〃lnx（。wO）和切，則〃二（）.

(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.

第四節(jié)微分的定義

考古1微分的定義

設(shè)函數(shù)y=/⑴在點(diǎn)/處有增量Ar時，如果函數(shù)的增量

緲=/（/+?）-/日）

可表示為綠=4\x+o（Ax）

其中小。）為與加?無關(guān)，。心）是加-0時比Ar高階的無窮小，則稱/⑴在X。處可微，

并把Ay中的線性主要部分4?稱為/（x）在X。處的微分，記作力，即

dy=A\x.

考點(diǎn)2微分的計(jì)算

I【例2.25］設(shè)y=ln（l+3一,）,則dy=.

「【例2.26】設(shè)tan.y=x+y,則力=

考點(diǎn)3微分的兒何意義

［【例2.27】設(shè)函數(shù)丁二/（%）具有二階導(dǎo)數(shù)，且八外>0,PM>0,加為自變量

.X在毛處的增量，切與?分別為在點(diǎn)小處對應(yīng)的增量與微分，若盤>0則（）.

（A）0<dy<Ay.（B）0<Ay<dy.

（C）Ay<dy<0.（D）dy<Ay<0.

第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的微分學(xué)應(yīng)用

考占函數(shù)的單調(diào)性

（1）對于DXE/,若/'（x）>0（或<0）,則/卜）在/內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）;

（2）對于Vxe/,若/'（幻之0（或40）,則/卜）在/內(nèi)單調(diào)不減（單調(diào)不增）.

心【解題大招】

【例2.28】設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，目/'(0)>0,則存在b>0,使得().

(A)/(外在(06)內(nèi)單調(diào)增加.

(B)/(X)在(一50)內(nèi)單調(diào)減少.

(C)對任意的XE(0?),W/W>/(0).

(D)對任意的工￡(一夕0),有7(X)>7(0).

「【例2.29】已知函數(shù)/⑴一階可導(dǎo)，且/〃(》)>0.設(shè)F(x)=八x：,證明：F(x)

x-a

在5,+8)上單調(diào)遞增.

I【例2.30］證明：(1)ex-\>X,XER

(2)x>ln(l+x),x>-l

考點(diǎn)2函數(shù)的極值

1.極值定義設(shè)函數(shù)/（1）在（〃,力）內(nèi)有定義，沏是（〃“，）內(nèi)的某一點(diǎn)，則

如果點(diǎn)X0存在?個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任?點(diǎn)心HX。），總有/（'）＜/（/），則

稱/（X。）為函數(shù)/⑺的一個極大值，稱X0函數(shù)/⑺廣勺?個極大值點(diǎn)；

如果點(diǎn)X0存在個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的仟點(diǎn)心工與），總有/3＞/（%），則

稱/（%）為函數(shù)/（注）的一個極小值，稱X0為函數(shù)/（1）的個極小值點(diǎn).

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn).

2.極值存在的必要條件

設(shè)函數(shù)/（》）在刈處叮導(dǎo)，ILxo為/（》）的?個極值點(diǎn)，則=

3.極值存在的充分條件

第一充分條件：設(shè)函數(shù)/卜）在幾處連續(xù)，在飛的去心鄰域。（/）內(nèi)可導(dǎo)，且/'（X）在

天兩側(cè)異號，則/為極值點(diǎn)，則

I。如果在（X。-必見）內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有/'（X）＞O,而在（0,Xo+b）內(nèi)的任一點(diǎn)X處,

有則/（%）為極大值，與為極大值點(diǎn)；

2。如果在（與-必/）內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有/'（x）＜o(jì),而在（X。/o+M內(nèi)的任一點(diǎn)x處,

有/Q）＞0,則/（%）為極小值，/為極小值點(diǎn).

第二充分條件：設(shè)函數(shù)/（x）在/處有二階導(dǎo)數(shù)，且/'（/）=0,/〃（凡）工0,則

當(dāng)/（.%）＜0時，/（凡）為極大值，X。為極大值點(diǎn).

當(dāng)./（方）＞0時，/（.%）為極小值，與為極小值點(diǎn).

心【解題大招】

【例2.31】設(shè)函數(shù)/(x)在(f欣)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,

則/(幻有().

(A)-一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).

(B)兩個極小值點(diǎn)和?個極大值點(diǎn).

(C)兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).

(D)二個極小值點(diǎn)和個極大值點(diǎn).

:【例2.32】設(shè)/(x)=xsinx+cosx,下列命題中正確的是().

(A)/(0)是極大值，/弓)是極小值.

(B)/(0)是極小值，“9是極大值.

(C)/(0)是極大值,/(中也是極大值.

(D)/(0)是極小值,/吟)也是極小值.

【例2.33】設(shè)函數(shù)〃x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且g"(x)<。，g(x0)=〃是g(x)的極

值，則/(g(x))在.％取極大值的??個充分條件是().

(A)f(a)<0.(B)f\a)>0.

(C)fn(a)<0.(D)fn(a)>0.

考點(diǎn)3函數(shù)的最大值和最小值

(i)求函數(shù)/(M在L⑹上的最值方法：極值點(diǎn)與端點(diǎn)值比較

(2)求實(shí)際問題的最值的方法

首先，建立實(shí)際問題的函數(shù)/(X),其次求/(X)的駐點(diǎn)(一般情況下駐點(diǎn)唯?)，最

后判定駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，從而得到極大值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為最小

值點(diǎn).

I【例2.34】①函數(shù)P=x+2cosx在區(qū)間0,^上的最大值為.

②函數(shù)y=0在(04］上的最小值為.

考點(diǎn)4曲線的㈣H性

1.凹凸性定義：設(shè)兒丫)在區(qū)間/上連續(xù)，若對任意不同的兩點(diǎn)七,乙,恒有

/【巖卜3小)+/㈤］■可卜I「/?)」/(刈:

則稱/㈤在/上是凸(凹)的.

2.凹凸性的判定

設(shè)函數(shù)/(X)在小d上連續(xù)，在(。4)內(nèi)具有?階和二階導(dǎo)數(shù)，在(。㈤內(nèi)

(1)若/。)<0,則曲線y=f(x)在［明”上是凸的；

(2)若ra)>o,則曲線.=/a)在［。向上是凹的.

［【例2.35】設(shè)函數(shù)/")具有2階導(dǎo)數(shù),g(x)二〃0)(l-x)+/(l)x,則在區(qū)間［0』］上

).

(A)當(dāng)/\x)>0時，/(x)^g(x).(B)當(dāng)時，.

(C)當(dāng)/"(x)》0時,/(x)》g(x).(D)當(dāng)/"(x)》0時，-g(x).

考點(diǎn)5曲線的拐點(diǎn)

心【解題大招】

【例2.36】問助為何值時，點(diǎn)(L3)為曲線1=0父+加的拐點(diǎn).

【例2.37】設(shè)函數(shù)/(x)=kO-x)|,則()

(A)x=0是/*)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=/(%)的拐點(diǎn).

(B)x=0不是/(刈的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線＞=/*)的拐點(diǎn).

(C)x=0是/(幻的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)x=0不是/(幻的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

［【例2.38】設(shè)函數(shù)/(X)在(-00,+8)內(nèi)連續(xù),其2

階導(dǎo)數(shù)/"(x)的圖形如本圖所示，則曲線y=f(x)的拐

點(diǎn)的個數(shù)為

(A)0.(B)1.

(02.(D)3.

［【例2.39】設(shè)函數(shù)/（x）在（F，+8）內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)

的圖形如圖所示，則

（A）函數(shù)/（X）有2個極值點(diǎn)，曲線y=/*）有2個拐點(diǎn).

（B）函數(shù)/*）有2個極值點(diǎn)，曲線歹二/*）有3個拐點(diǎn).

（C）函數(shù)/（X）有3個極值點(diǎn)，曲線y=f（x）有1個拐點(diǎn).

（D）函數(shù)/"）有3個吸值點(diǎn)，曲線＞=/（?有2個拐

考點(diǎn)6I

心【解題大招】

1

【【例3.15】曲線y=(2x-l)e，的斜漸近線方程為

［【例3.16】曲線y=arctan」一一',的漸近線有().

(x+l)(x-21)

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

考點(diǎn)7曲率(數(shù)一數(shù)二)

心【解題大招】

-----------\x=t24-7,

【例240】曲線《、上對應(yīng)于，=1的點(diǎn)處的曲率半徑是().

產(chǎn)『+41+1.

(A)(B)2^.(C)10V10.(D)5710.

50100

第三章不定積分

本章妻碇*綱要回

1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

考點(diǎn)復(fù)盤清單

-刷|

題型清單二刷三刷

【考點(diǎn)1】不定積分的概念

【考點(diǎn)2】不定積分的計(jì)算（揍微分法）

【考點(diǎn)3】不定積分的計(jì)算（第一類換元法）

【考點(diǎn)4】不定積分的計(jì)券（分部積分法）

【考點(diǎn)5】不定枳分的計(jì)算（右理分式枳分）

大綱考點(diǎn)精講

第一節(jié)不定積分的概念

OW原函數(shù)9不定積分的概念

設(shè)函數(shù)/（外在區(qū)間/上有定義，若存在尸。）能滿足尸a）=/a）,.則稱

/（X）為/（外在區(qū)間/的原函數(shù)，同時稱“X）在區(qū)間/中的所有原函數(shù)（集合）稱為

/（X）在區(qū)間/的不定積分，記為

即J/（x）cbr=F（x）+C.

其中J稱為積分號，x稱為積分變量，/（尤）稱為被積函數(shù)，/（工）口稱為被積表達(dá)式，

。為積分常數(shù).

［【例3.1】已知）7（工）治=工皿+。，則/（x）=.

|［例3,2］已知/'Onx)=1+x,則f(x)=

考點(diǎn)2原函數(shù)的存在性

設(shè)了（》）在區(qū)間/上連續(xù)，則/（》）在區(qū)間/匕原函數(shù)一定存在.

［注］初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)，例如卜in，）dxjcos，）ckj*,jV'\k等

被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故在考研中我們認(rèn)為這些不定積分不可積.

|【例3.3】證明：若設(shè)/W在區(qū)間/上存在第??類間斷點(diǎn)，則/（x）在區(qū)間/上原函

數(shù)一定不存在.

考點(diǎn)3不定積分的性質(zhì)

1.線性運(yùn)算性質(zhì)

(1)J狂(x)dv=/:j/(x)dv.(2)j[f(x)±g(x)]dr=J/(X)(1Y±jg(x)dr.

2.不定積分與微分的反問題性質(zhì)

(1)JF(X)CLY=F(X)+C(2)jrfF(x)=FCr)+C

I【例3.4】設(shè)。，〃是常數(shù)，且QH1,則下列各式中正確的是()?

(A)jf,(ax+b\lx=f(ax+b)^C.(B)^df(ax+b)dx=af(ax+b)+C.

(C)牛]f+垃改-/(ax+b).(D)f(ax+b)dx=af(ax-b^dx.

第二節(jié)不定積分的計(jì)算

考點(diǎn)1基本積分表【必記】

1.^xndx-

2.f—______

Jx

3.jaxdx-______

4.二______________

5.|cosxdx—

6.|sinxdx—____

12*

7.jsecxdx-—

2

8.jescxdx-_

9.|tanxsecx^Zr=

10|colxescxdx二

11.

12.

13.

14.

15..(a>0)

16.(。>。)

17..(a>0)

18..(a>0)

19..(a>0)

考點(diǎn)2第一類換元積分法（湊微分法）

1.常見的湊微分形式

j/(ax十b)dx=，+十。)

(1)

(2)jsinxf(cosx)dx=-j/(cosx)dcosx

(3)jsin歲(cosx)dr=-j/(cosx)dcosx

(4)j—/(Inx)dx=j/(Inx)dInx

.X

(5)

JXXJXX

j^=f(Vx)dx=j/(Vx)dVx

(6)

fe;/(ex)dr=j/(e')der

(7)

jx"T/0：")(k=Lj7(x〃)dE〃，H

(8)〃0

【例3.5】求下列各不定積分

(1)jcsc2(3x+2)dx

(3)sinx4dv

(5)jxx/1-x~dx

(7)f—eXdx

Jx

arctany[x

(9)dx

(l+x)Vx

［【例3.6】求下列各不定積分

(1)j(xlnx)2(lnx+l)(Zt

Intanx,

(2)―—―~ax

sinxcosx

I【例3.7】求下列各不定積分

(1)f-------dx4

建'+。一,2)

|[例3.8]jsin2xdx,jcos，.以rJcos4xdx,

考點(diǎn)3笫二類換元積分法

1.三角代換

yja2-x2令x=asinf

令x=qtant

Vx2-a2(x>0)令x=asect

2.無理根式換元

y/ax+b令對ax+b=t

［【例3.9】求不定積分J4/一一匕(?>0).

dx

frw3.W]J{a>0)

a2-x^

丘例3“】匕譽(yù)T公

?【例3」2】〕不需北

考點(diǎn)4分部積分法

設(shè)〃。)，l，(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，fjlljj//(x)dv(x)=w(x)v(x)-jV(A-)dW(X).

【【例3.13】求下列不定積分

(1)jxe'dr(2)Jxcosxdr(3)xlnxck(4)xarctanxdv

[【例3.14](l)[h向(2)Jarctanxdx

[【例3.15】J/sinxdx

[(W3.16]J(ln1+2)e'"x,je2v(tanx+1)2Jx

巷點(diǎn)、5有理函數(shù)的積分

(1)有理函數(shù)的相關(guān)定義：

有理函數(shù)是指兩個多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)三三二「小--------7

nt??

Q(x)b()x+〃產(chǎn)+?+￡

(2)定理：若卜.面定義中的0(、)可以被因式分解成

k/22

Q(x)=h()(x-a)???(x-/?)(x+px+q)'…(p-4q<0)

尸(x)_444

---=------1------TH1-+…

Q(x)(x-a)(x-ay------(工一。)

則

(x-b)(x-by

<x+C]?gx+3??<x+Q]]

x2+px+q(x2+px+q)2(x2+px-vqY

I【例318】17Tb

?【例319】

1

[【例3.201Jdx

(1+2x)(1+Y)

第四章定積分及其應(yīng)用

本章考研聲要求［I

1.理解積分卜.限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布?尼茨公式.

2.了解反常積分的概念，會計(jì)算反常積分.

3.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧

長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、

質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值.（數(shù)學(xué)一、二）?

4.會利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積以及函數(shù)的平均值，會利用定

積分求解簡單的經(jīng)濟(jì)問題.（數(shù)學(xué)三）.

考點(diǎn)復(fù)盤清單

題型清單-刷二刷三刷

【考點(diǎn)1】定枳分定義

【考點(diǎn)2】定積分性質(zhì)

【考點(diǎn)3］定積分計(jì)算

【考點(diǎn)4】變雙函數(shù)

【考點(diǎn)5】反常積分

（芍點(diǎn)6】定枳分應(yīng)用（求面枳）

【考點(diǎn)7】定積分應(yīng)用（求班轉(zhuǎn)體體積）

【考■點(diǎn)8】定積分應(yīng)用（求弧氏）

【考點(diǎn)9】定枳分應(yīng)用（求旋轉(zhuǎn)體他而枳）

大綱考點(diǎn)精講

第一節(jié)定