2023高考數(shù)學(xué)?？急乜碱}型清單-上海-試題答案解析

2023年高考數(shù)學(xué)?？急乜碱}型總結(jié)

第一章集合&邏輯&不等式&復(fù)數(shù)&向量

例1：

解析：(1)解法1：常規(guī)解法

全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合力={-1,o,I,2},"=1-3,0,2,3},

則L4={-2,-1,1},：.A^vB={-\,1},故選C.

解法2：交補(bǔ)排除法

;要求的是如⑸可，；?要求的集合里的元素不能含有乃集合中的元素，故排除ABD,故選C.

(2)集合-3X-4V0}=(-1,4),B={-4,1,3,5},則力"B={1,3},故選D.

例2:

解析：(1)集合/={x|1<xV4},Q={x\2<x<3},則PA。={x|2vxV3}.故選B.

1234

（2）:?集合/=（（?,j，）|x,j，WN*,,#={（“，j,）|*+p=8）,

yX

：.A^={（x9y）\[^'x,J￡N?}={（1,7）,（2,6）,（3,

[x+j，=8,

???ACB中元素的個(gè)數(shù)為4.故選C.

例3：

解析：（1）???3￡力，且力G5,13WR,???。=3,故答案為3.

（2）由題意知集合力={xW>1}（真數(shù)位置*—1>0）.

集合V="K力I}（根號(hào)底下的數(shù)大于等于零）所以4U4,故選R.

例4:

解析：(1)由〃，解得“V0或

根據(jù)集合判別法可得““>1”是％2>/'的充分不必要條件故選A.

(2)當(dāng)A=2〃，為偶數(shù)時(shí)，〃=2〃江+“，此時(shí)sina=sin(2〃加+0)=sin/?,

當(dāng)A=2〃+l,為奇數(shù)時(shí)，a=2nn+n-fi,此時(shí)sin”=sin(五一=sin/?,即充分性成立，

當(dāng)sin〃=sin/,則〃=2〃“+/，〃6Z或〃=2〃江+江一/,〃￡Z,

即a=A?r+(T)A/,即必要性成立，則“存在A￡Z使得a=An+(-1)4/T

是弋ina=sin/T的充要條件，故選C.

例5：

北大博士邱崇

曜柘.⑴2T=(2_i)(l_2i)=_5i=柏冼D

解析.(l)i+2i—(l+2i)(l-2i)-1+4—??故選口?

(2)(l+2i)(2-f-i)=2+i+4i+2產(chǎn)=5i,故選B.

(3)由z(l+i)=l-if得z==(i=-i,，z=i.故選D.

例6:

解析：（1）口訣法：因?yàn)閺?fù)數(shù)吊在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，

1-i

所以不為實(shí)數(shù)，根據(jù)實(shí)虛虛實(shí)差為。得，〃二T故選。

（2）Vz=-3+2i,：.z=-3-2i,.??在復(fù)平面內(nèi)￡對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-3,-2），在第三象限.故選C.

（3）=當(dāng)=（.器入）=A+赤，工虛部為小故選以

（4）解法1：常規(guī)解法復(fù)|虹，Zz滿足匐=伍|=2，“+Z2=v^+i.

2

所以%+。|=2,/.\Zi+Z2\=（Z.+4）?口+5=4,?'?8+ZiZ1+ZiZi=4,得jz2+ZiZj=-4.

2

??\zt—zl\=S—ZiZz—%&=12.又由一「2|>0?故島一益|=2，5.故答案為2，5.

解法2：畫圖法結(jié)合題意，復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成向量畫出符合的圖象如右：

設(shè)工=行，京=就.則△/加和△/!”）為等邊三角形.

/.ZABC=30°./.8c=248COS30。=2X2X竽=2V3.

AB

例7:

解析：=3=5+2/.，髀（表卜，

當(dāng)日僅當(dāng)”=|2,J，=3?時(shí)等號(hào)成立故答案為：9（

JQo

例8:

解析（積為定值）：設(shè)/=〃，/=〃，原題轉(zhuǎn)化為5血+〃=1,求</+力的最小值?

由5M—52=1,可得〃=與/，由。"（J,可得〃^（o,4，

E.,r1一力-1+46

則〃+力=

當(dāng)且僅當(dāng)6=/=1/“=》2=而1，可得1+戶的最小值為會(huì)4

北大博士邱崇

解析（和為定值）：4=（5x*+j，2）?4j，2=（5〃+6）?4bA.|［巧=竿①十）尸，

故1+，當(dāng)且僅當(dāng)5“+〃=4〃=2,

I34

即/=亍?X?=而時(shí)取得等號(hào)，可得1y的最小值為-.

例9:

解：①已知a>0,b>0,且a+〃=l,所以（〃+6）2W2a2+2〃，則/+，故A正確.

②利用分析法：要證2"，只須證明〃一力>-1即可，即〃〉〃一1,由于〃>。，力>。，且

a+b=\,所以〃>0,A-l<0,故B正確.

③log2〃+10g2b=log.必&log.（三"）=一2,故C錯(cuò)誤.

④由于“>。，〃>。，且〃+〃=1?利用分析法：要證\不+避成立,只須對(duì)關(guān)系式

進(jìn)行平方,整理得〃+?即2?41■故山區(qū)《；=空，當(dāng)且僅當(dāng)“=〃=3

時(shí)，等號(hào)成立.故D正確.

故選：ABD.

例10:

解：設(shè)5>0,。力2=1,貝。=1+〃2,所以“2=（1+戶）2,：=12〃.

mJ工/—1,（1+從）■>,「（1+―）?一/1+F

則］+而=中+8b22V1T一防一=2、^-.

1一b*J+力2\/^b［

由于力>。，所以一^一=--、T—=彳，（當(dāng)且僅當(dāng)力=i時(shí)，等號(hào)成立）

當(dāng)'=1時(shí)，方="）.故舊hv

所以!+需的最小值為2X^=1?故答案為：L

u0/7L

例11:

北大博士邱崇

解：X>。,J>0,K+2J，=5,

則（x+1）=2號(hào)+/2『+1=駕2=24+6

\/xyVxy7xyy/xy

由基本不等式有：2VH+

當(dāng)且僅當(dāng)2\行=時(shí)，即q=3,x+2?=5時(shí),即

Vxy

時(shí)等號(hào)成立‘故的最帕為瘀.故答案為：心

例12:

解析：因?yàn)閍>0,8>0,且岫=1,

ah.ab,8bat

—~v~—---―——

則云+茄+E2?2ba+b22a2a—hV2

當(dāng)且僅當(dāng)

取等號(hào)，故答案為：4.

例13:

解析：

因?yàn)椤埃?>WR,且〃-3b+6=0,可得：a—3力=-6.

則2"+崇=2”+2!N2/2"12”=2,2。7。=:,當(dāng)且僅當(dāng)2“=2，即“=-3,6=1時(shí)取等號(hào).

因此所求函數(shù)的最小值為.故答案為：.

例14:

北大博士邱崇

證明（常規(guī)解法）：

由題意可得，〃1。臣4+力=1即2〃+力=1,〃>0,b>0,

“。+2力12（\］2）八12a2b

則1nf=萬+工=（萬+2）（2。+〃1A）=萬+了+529?

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)枚忧?a+〃=l即〃=力=：時(shí)取等號(hào)，故選：D.

證明（倒數(shù)二元和最值法）：

由題意可得，〃1。&4+力=1即2a+〃=l,此時(shí)〃=1,〃>0,力>0,

則0:;b=1+：的最小值為:（\^記+，^）?=；X（，2X2+S3⑴2=9.

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)??且2〃+力=1即〃=/>=；時(shí)取等號(hào)，故選：D.

例15:

解析：據(jù)題意1，設(shè)，=*+!,*￡（1,5）,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)總加=4.

x+-X

42929\29\

且當(dāng)x=5時(shí)，x+^=E,故七［4,互卜且當(dāng)蚱［4?歹）時(shí),■為，的單調(diào)增函數(shù).

故〃的取值范圍是卜9.一號(hào)）

例16:

解析：解法1：常規(guī)解法：J

⑴在^力相中,。是48邊上的中點(diǎn),則方=而+而

=而+罰=而+（AC+而）=2CD-刀.故選C.

解法2：特殊圖形法：?I

設(shè)△4FC是以NC為直角的等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為2.

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則力（2,0）,8（0,2）,C（0,0）.

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,所以方二（0,2）,

將ABCD四個(gè)選項(xiàng)代入計(jì)算，只有C選項(xiàng)得（0,2）,故選C.

（2）解法1：常規(guī)解法：

在△/mC中，力。為4c邊上的中線/為/屹的中點(diǎn)，

筋=方一族=筋_=益_:X；（凝+JC）

=毋凝_:就，故選人.

北大博士邱崇

解法2：特殊圖形法:

設(shè)是以N/I為直角的等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為4.

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則4。，0),笈(4,0),C(0,4),

所以。(2,2),故E(1,1),

所以酉=(3.-1),方=(4,0).%=(0,4),

將，5。四個(gè)選項(xiàng)代入計(jì)算，只有A選項(xiàng)得(3,-1),故選A.

解法3：畫圖法(看誰長(zhǎng)的像就選誰)：

在△力5c中，畫出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中的向量，只有A選項(xiàng)和

互向量像，故選A.

例17:

解析：⑴:向量：=(1,2),1=(2,—2),???27+力=(4,2),?“=(1,切，

;〃3+%???；=,,解得”:被答案為今

(2)解法1：常規(guī)解法：;向量；，辦為單位向量，且：，力的夾角為45。，

ff->一、2\2

??a?b=\a\-|6|cos45°=1X1X下一=下一，又A4一力與“垂直，

:(3-S)-a=k\a\l-a-A=0,即〃---怖=。?則A=f?故答案為

解法2：畫圖法：畫出符合題干條件的圖如圖，—“一,.Z/1.方

?,1的夾角為45°,解圖中的直角三角形可得A=容?/」?

一fffI

（3）解法1：常規(guī)解法：?jiǎn)挝幌蛄縜\=\b\=\,ab=1X1XCOS600=-.

對(duì)于A,G+2911+2『=3+2=]?所以0+29與7不垂直；

對(duì)于B,（2^4-S）4=2；4+r=2x|+l=2,所以（27+今與際垂直;

〃-2力）b=ab-2b=方-2=-1,所以（〃-2萬）與力不垂直；

北大博士邱崇

解析：(1)解法1:常規(guī)解法

22

由：,力為單位向量,且而+b\=\f\a+b\=\,可得7+2%?b+b=\,

1+2ah+1=1.所以2〃?力=T.則—b\=u2—2m?h+b2=y/3.

故答案為\丹?C

解法2：畫圖法

因?yàn)閕"為單位向量,且日+%1=1,畫出符合的圖象如圖：

B

則△狗。為等邊三角形，故可得/力4c=30",A

在△/〃(？中.HC=2,8cos300=質(zhì)故笞案為，5?

(2)向量3,工滿足日1=5，向=6,1%=-6,可得】+小=/-2'Zb

=，25-12+36=7.COsV“?〃+b>=——=—^r=—=。丁==?

同|.+臼5X75X735

故選D.

例19:

解析：坐標(biāo)法

如圖，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

翩意可得，4。，0),以2,0),P[x,y),-l<x<3

則方=(x,j，)，AB=(2,。),所以方?方=2x.

故石-標(biāo)的范圍是(-2,6),故選A.

例20:

解析：解法1:等和線法

如圖,連接BO.找到1倍線所在的位置,作B。的平行線.

當(dāng)與圓在另一側(cè)點(diǎn)E相切時(shí)?A+從的值最大?

因?yàn)榕c圓C相切,所以過點(diǎn)E的直線恰好是3倍線.

故選A.

1倍線

北大博士邱崇

解法2:坐標(biāo)法

如圖，以/為原點(diǎn)，以/①，力。所在的直線為x,P軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則40,。），以1,0）,。（。，2）,C（1,2）,

故動(dòng)點(diǎn)?在以點(diǎn)C為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為匚??MC=2,CD=\,

:.BD=V,22+l2=A/5,:?；BCCD=；BDr,:.Y=-^

4

???圓的方程為(X—1尸+(y—2)2=g.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為cos0+l.2/sin。+2).

2A/5

*?AP—XAB+/iAD,:.cos〃+l.：sin。+2

=2(1,O)+〃(O,2)=a,2〃)，

-+-1=z.sin"+2=2〃,

2+〃="5co$4++2=sin(0+0)+2,

其中tan°=2J：-IWsinS+e)01,工1S2+403,

故2+4的最大值為3,故選A.

例21:

解析：解法1：等和線法

首先找到?倍線的位置為AC所在的直線.

過點(diǎn)力作4c的平行線/,則/為A倍線所在的位置?

因?yàn)樵?niPB+?一〃’）記.

所以小+停一〃'）=9=A，所以;周=去因?yàn)橹?9.

所以1?必=6,|力必=3.在Rt△45c中，cosN"5="故由余弦定理得

3IS[X

32=32-|CD|2-2x3X|CD|X-，解得。=0或CO=7■?故答案為。或天~?

_________________________________北大博士邱崇

解法2:坐標(biāo)法如圖.以力為坐標(biāo)原點(diǎn).分別以力",4C所在

直線為',『軸建立平面直角坐標(biāo)系，則8（4,0）,C（0,3）,

由成=niPB+一斤.得而=m（PA+獲）+停一〃'）（國(guó)+就）?

整理得羽=-2m~4B+（2m-3）^C=-2/?（4,0）+（2/?-3）（0,3）=（-8/〃，6加一9）.

由/P=9,得64〃J+（6加-9）2=81,解得〃j=衣或利=0.

當(dāng)機(jī)=。時(shí)，刀=（0,—9）,此時(shí)。與。重合，|。|=0；

27Q—6”，Vv

當(dāng)機(jī)=西時(shí),直線產(chǎn)力的方程知,=\一x，直線5c的方程為彳+}=1

聯(lián)立兩直線方程可得?1=?帆?『=3-2磯即0倍1,墓）.

-?\CD\=J償丫+償-3了=y.A。的長(zhǎng)度是。或3故答案為?；蛩?/p>

例22:

解析：解法1：中點(diǎn)轉(zhuǎn)化式

取MN的中點(diǎn)E,連接OE.

故|泥卜：|赤|=卜由中點(diǎn)轉(zhuǎn)化式得布.蘇=|正「一|泥「=|加「一；?

所以應(yīng)|取最小時(shí)蘇?蘇的值最小,顯然。七±8C時(shí)|。為最小,由題意可得此時(shí)的|。七|=嶗一.

故而?冰的最小值為（￥）.一1=%故答案為三.

解法2:坐標(biāo)法：以8為原點(diǎn)，以BC變軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

???/月=60。，48=3.：.A（^.芋）,*：BC=6,AC（6,0）,

：.D.?.?|MV|=1,設(shè)M(“，O),則N(K+1,0),其中0WxW5,

=/-4*+岑_=J-2）2++當(dāng)x=2時(shí)取得最小值，最小值為搭，故答案為y.

第二章基本初等函數(shù)

例1：

_________________________________________北大博士邱崇

解析：因?yàn)槌酢；?=2.則log.4"=2.則4"=32=9.

則4"=擊=4?故選B.

例2：

解析：把〃。=3.28,7=6代入凡,=1+，，可得/=0.38.

???/(，)=e°w,當(dāng))=0時(shí),/(0)=1,則e°-=2,

兩邊取對(duì)數(shù)得0?38/=In2.解得，=爆"8.故選B.

v.Jo

例3：

解析：函數(shù)J=若T的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)9=/(2=-^7.

?A-I1I1

則/(-幻=-±7=-/W,則函數(shù)J=/(x)為奇函數(shù)，故排除C,D.

解法1:特殊值：又因?yàn)?⑴=2>0,故^除B?故選A.

解法2:值域法：當(dāng)x>0時(shí)，J，=/(x)>0,故排除B,故選A.

例4：

解析：J=/(x)=xcosx+sinx,則/(-x)=-xcosx—sinx=-fM,

???/(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C,D.

當(dāng)X=刷，y=fM=7TCOS7T+sin7T=-IT<0,除R,故選A.

例5：

解析：函數(shù)/(-X)=9三5=-三O=-/(X)，則函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，

IkJX

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，當(dāng)工=?時(shí)，/⑴=e—：>0,排除D.

當(dāng)"一十”時(shí)，〃x)-+8,排除C,故選B.

例6：

解析：解法1：構(gòu)造函數(shù)采用單調(diào)性法

由2*―2『<3_一3-1pJ^2x-yx<2'-X>，令/(x)=2'—

則/G)在R上單調(diào)遞增，且/'(x)</W,

所以工<>,即J-x>0,由于p-x+l>l,故ln(j-x+l)>加1=0.

解法2：取特殊值法

取*=T,J'=0.滿足2'—2y3'-3"此時(shí)加(j，-x+l)=ln2>0,

ln|x-y=In1=0,可排除B,C,D選項(xiàng).故選A.

例7：

解析：,:&=解32=logR飯Vlog34=.

J

b=logs3=logsv/27>log5^25=\.

f=,**?a<c<b.故選A.

例8：

北大博士邱崇

解析：解法I:特殊值法

令x=l,則由已知條件可得3'=2,51=2.所以>，=器,7=器,

,3加2加2?）加9,=51n2ln2B,

從11而=3y==v-r<=2.5?=-z-^r-=-p-r>2,

，八“u，ln3|n3ln3,ln3ln3'

則3j，V2xV5z,故選D.

解法2：常規(guī)法

x,y,二為正數(shù)，令2、=3，=5：=A>l.lgA>0.

則—統(tǒng)-一康

?A3v--J但fi漢-,22工v一-怛-^段,5―,、Ji的L.

?:汴=期>俄=",72=V/32>V/25=^/5.

Algv/3>igy2>也於>0?J3y<2x<5:故選D.

例9：

解析：解法1：常規(guī)法

/(x)=x2-2x+a(eA-'+e-x+,)=(x-1)2+?(ex-'4-e-x+,)-1,

令，=x—1,則p=/十,(/+葭)-1為偶函數(shù).

圖象關(guān)于，=0對(duì)稱，若P=0有唯一零點(diǎn)，

則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，=0時(shí)，J=T+2〃=0.

所以〃=；?故選c.

解法2：幸運(yùn)數(shù)字法

令x=0,得〃=0無答案；令x=l,得”■故選C.

幸運(yùn)數(shù)字法：

只要看到題干特別復(fù)雜，尤其是函數(shù)形式，只需要從x=。、±1、±2……

往后逐個(gè)代入，若是有Ex出現(xiàn)，可代入;或e,遇到和選項(xiàng)一樣的就是答案.

例10：

北大博士邱崇

解析:解法1:數(shù)形結(jié)合法

由g(x)=0得/'(X)=一x一■.

作出函數(shù)/(X)和-x—■的圖象如圖：

當(dāng)直線J=-X一■的截距一,即時(shí),

兩個(gè)函數(shù)的圖象都有2個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn).

故實(shí)數(shù)■的取值范圍是［-1,+8)?故選C.

解法2：特殊值法+數(shù)形結(jié)合法

令〃=0,作出函數(shù)/晨)和刀=-、的圖象如圖：

有兩個(gè)交點(diǎn)滿足題意,排除A.D.

令a=-l,作出函數(shù)/(X)和J，=-x+l的圖象如圖：

有兩個(gè)交點(diǎn)滿足題意,排除B.故選C

例11：

解析：解法1：常規(guī)解法：函數(shù)/(X)=Inx+In(2-x),

：?/(2—x)=In(2—x)+Inx,

即/(x)=/(2-x),即P=/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故選C.

解法2：特殊值法:因?yàn)?(；)=加4+加,./(y)=Iny+Iny,

所以/4)=/(9),故排除A,B選項(xiàng)，C對(duì)；又因?yàn)榘耍?+/臣于0.排除D選項(xiàng).故選C.

例12：

；二2：得2&W(F=-小)，Mx)為奇函數(shù);

解析：解法1：常規(guī)解法：由

由/(x)=ln|2x+11-ln|2x_11=加?j|=加|

??2x+llx-1+2

1+可得內(nèi)層函數(shù)，=1船的圖象如圖.

2x-llx—1

“32(*一引X~2~

在-8-當(dāng)上單調(diào)遞減,在(一：?目上單調(diào)遞增，在(|.+8)上單調(diào)遞減.

又對(duì)數(shù)函數(shù)F=In,是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得./(x)在，8,-會(huì)上單調(diào)遞減.故選D?

解法2：特殊值法/(1)=間2+1|-111|2-1|=加3>0,

/(-I)=ln|-2+11-ln|-2-11=-In3<0,

故/⑴=-r(-D,奇函數(shù)；

/(-2)=In|,故排除ABC.故選D.

例13：

北大博士邱崇

解析：解法1:常姚法

設(shè)XV0,則_K>0,???/(-x)=e-x_],??,設(shè)/(x)為奇函數(shù)，???_<(*)=「一],

即/(x)=-鏟+1.故選D.

解法2：特殊值法

;是奇函數(shù)，???/(-l)=-/(l)/(l)=e-l，故一/(數(shù)二1-e?

代入一1,四個(gè)選項(xiàng)分別為：

A選項(xiàng)e-IWI-e.不符合題意；B選項(xiàng)e+1于1-e.不符合題意；

C選項(xiàng)—e一1芋1一e,不符合題意；D選項(xiàng)—e+1=1—e,符合題意.故選D?

例14：

解析：解法?：常規(guī)解法

函數(shù)#(x)=ln(，JT?-x)滿足以-*)=ln(vT+P+x)

=加丁，------=-In(\/l+x2-x)=-g(x),

\/7\r+x2-x

所以4(X)是奇函數(shù)?函數(shù)/(X)=ln(，TB—*)+1,/w=4.

可得/(")=4=ln(\/l+〃2—.)+1,可得hi(\/l+〃2—a)=3.

則/(-〃)=-ln(，l+〃’一■)+1=7+1=_2.故答案為-2.

解法2:結(jié)論法(奇函數(shù)十常數(shù))

因?yàn)槲竣?加("丁一X)是常見的奇函數(shù).

所以/(X)=In(/F-x)+1滿足奇函數(shù)加常數(shù).

故/(〃)+/(-〃)=2,則/(-“)=-2,故答案為-2.

結(jié)論：常考奇函數(shù)：

/(■*,)=log.(\/X24-1±x)

fM=Iog“茫m或/(x)=log。

*人*i人

/(.r)?'或/(x)=ax-ax

XI?-XC式

fM=gx_a-xst/W=QX].一

/(x)=sinx,/(x)=tanx

1?/(X)=奇函數(shù)：/(-Vo)+/(-Xo)=0,最大值+最小值=o；

2./(x)=奇函數(shù)+a：/(.v0)十/(-x0)=2a,最大值+最小值=2a.

例15：

解析：：函數(shù)〃x)為奇函數(shù)若/⑴=T,則/(T)=1,

又：函數(shù)/(X)在(-8,+8)單調(diào)遞減，—10/(x—2)Wl,

???/⑴W/(x—2)S/(-l),???一IWx—2W1,解得：x￡[l,3],故選D.

例16：

_________________________________北大博士邱崇

解析：解法1:數(shù)形結(jié)合法

???/(X-1)的圖象可由/(X)的圖象向右平移一個(gè)單位得到，

且/(X)是奇函數(shù)，在(-8,0)單調(diào)遞減，八2)=0?

二畫出/(x—1)的草圖如圖，要使x/(x—1)2。，

(x>0.fx^O.

即j/a-l)20,或j/(x-l)S0.

結(jié)合圖象可得實(shí)數(shù)x的取值范圍是卜1,0]U[1,3],故選D?

解法2:特殊值法

???/(x)是奇函數(shù)，在(-8,0)單調(diào)遞減，且/(2)=0,

畫出/G)的大致圖象如圖.

取*=-3,/(-3—1)=/(-4)>0、則-3/(—4)<0、排除B;

取x=4,八4-1)=/(3)<0f則4八3)V0,排除4C,故選D.

例17：

解析：解法1：常規(guī)法

函數(shù)/(x)(xWR)滿足/(-幻=2-/(、)，即為/(x)+/(-x)=2,可得〃x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，

函數(shù)7=皇，即J，=l+!的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，即有(陽，珀為交點(diǎn)，

即有(F,2一凹)也為交點(diǎn)，(必，處)為交點(diǎn)，即有(-X2,2一心)也為交點(diǎn)，

?

則有￡(吃+*)=(X1+")+(*2+y2)+…+(X,”+y?)

i=l

=yKM+J1)+(--V1+2—y,)+(x2+y2)+(一.%+2—y2)

+...+(xm+ym)+(~xm+2—%)]=m,故選B.

解法2：特殊值(函數(shù))法，常取基本初等函數(shù)

據(jù)題意可知/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，可取/(x)=x+1則J=三」與J，=x+1的交點(diǎn)

,

分別為(1,2)和(-1,0),機(jī)=2.所以￡(H+J，?)=I+2—1+0=2=〃,，故選B.

/=1

抽象函數(shù)適用模型的初等函數(shù)

正比例函數(shù)/(#公"丈0)

/(")=/("⑺鴕《;)=雋

票函數(shù)/3二尸

/(*1y)=/(*)/(>)it/(xy)=久;；

指數(shù)函數(shù)/*)?*(?><>1)

/(號(hào))二/(X)+/⑺切：,)=/(X)f(y)

對(duì)數(shù)函數(shù)/(K)用第X(">。，且"￡|)

/(-x)+/(x)=b/(*)

例18：

_________________________________北大博士邱崇

解析：'；f(l-X)=/(I+X),???函數(shù)圖象關(guān)于X=1對(duì)稱,

又??"(*)是奇函數(shù)”?周期丁=4(1—0)=4.??"⑴=2,

???/(2)=/(0)=0,/(3)=/(1-2)=/(-I)=-/⑴=一2,/(4)=/(0)=0,

則/⑴4-/(2)4-/(3)+/(4)=2+0-2+0=0,

則/⑴+/(2)4-/(3)+…+/(50)=12[/⑴4-/(2)4-/(3)+/(4)]+/(49)4-/(50)

=/(1)+/(2)=2+0=2，故選C.

例19：

解析：因?yàn)?")為奇函數(shù)，所以/(。)=e。+〃e。=0,得〃=-1?

函數(shù)/(*)=+〃e，,導(dǎo)數(shù)./\x)=e-ae"，

若/(x)是R上的增函數(shù)，則/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(X)=「一。丁20在R上恒成立，

變形可得：“We?'恒成立,分析可得,即。的取值范圍為(一②，0],

故答案為：7；(F，。]?

例20：

解析：技巧雙括號(hào)不等式問題

根據(jù)常見奇函數(shù)q(x)=i?(QTi-x)是奇函數(shù)，

所以“幻1=Rn("+1一￡)1是偶函數(shù)?又因?yàn)樽鰔)=/是偶函數(shù)，

所以/(X)=|l?(，^Ti-x)l+x■是偶函數(shù),故/<2硝>/(|a+l|),即|2。|,

變形可得：4〃2>〃2+%+1,即露2-2〃-1>0,解可得：〃<-；或“>1,

即■的取值范圍為卜8.-U(1,+8).故選D.

技巧雙括號(hào)不等式問題：

1?題干中給定復(fù)雜函數(shù)解析式(多半為加和，對(duì)數(shù)函數(shù)+指數(shù)函數(shù)/二次函數(shù)

求/(M土"〃)W(2)A的參數(shù)問題，

2.原函數(shù)具有奇偶性，且至少單側(cè)單調(diào)?

例21：

_________________________________________北大博士邱崇

解析：由奇函數(shù)可得八。)=0,由f(2—x)=/(x)+/(2),

令x=2可得/(2)=0,貝曠(2-幻=/(x),/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

所以八幻是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)與.xBe［0,1］,且占羊x■時(shí).

都有/(”?—,所以/(外在區(qū)間［0,1〕上單調(diào)遞增?

根據(jù)以上信息可畫出函數(shù)/(X)的草圖如圖所示：

人.

■^8(\y<4~-i\y2\^/46\y/8x

選取A,易得八11十/(刃=…=/(ZlH7)十/(ZUI刃=U,

/(2)=/(4)=????=/(2018)=/(2020)=0,

所以/⑴+/(2)+”3)+…?+7(2020)=0,A正確?

選項(xiàng)B,直線、=-5是函數(shù)j，=/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，B正確.

選項(xiàng)C,函數(shù)T=/(x)在［-7,7］上有7個(gè)零點(diǎn)，C不正確?

選項(xiàng)D,函的，=/(x)在17,-5］上為減函數(shù)，D正確?

故選：ABD.

例22：

解：由已知可得］+小￡「兇=0.95%解得eD似一刃=5,

兩邊取對(duì)數(shù)有-0.236-53)=-加19,解得/飛66,故選C.

例23：

解：把心=3.28,7=6代入&=1+”,可得r=0.38,???/(，)=e°w,

當(dāng)，=0B寸，/(。)=1,則?！闳?2,兩邊取對(duì)數(shù)得0.38，=加2.解得，=照=1.8.故選B.

V.3O

例24：

解：由題意，尸點(diǎn)初始速度為10。故。點(diǎn)的速度也為io7.

當(dāng)尸在靠近4點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)：，?io?=io?g)親，解得、=10?加5，

當(dāng)尸在二等分點(diǎn)時(shí)：解得x=10'ln2,

所以經(jīng)過的時(shí)間為［10B［ln2-ln!)］^10B=ln1.故選D.

例25：

北大博士邱崇

解：(1)?入=+???y越大*越小，了=/(X)是單調(diào)遞減函數(shù),A>o,

當(dāng)40歹080時(shí)#最大為85,于是只需令100—135?(；)\>95,解得.v>3.

故道路密度x的取值范圍為(3,40).

(2)把x=80,i，=50代入羽=/(x)=-A(x-40)+85中，得50=-A?40+85,

100.r-135-(|V-x,0<x<40,

7

(--(x-40)x4-85x,40sxs80.

當(dāng)0VxV40時(shí),g單調(diào)遞增,4<100X40-135X(；)X40%4000;

當(dāng)40sxs80時(shí),g是關(guān)于x的二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為x=耳，此時(shí)4有最大值,

為一[x(殍)'+120X竿=^|^>4000.

綜上,車輛密度q的最大值為若一?

28800

答：(1)若交通流量95,道路密度x的取值范圍是(3,40);(2)車輛密度夕的最大值為

例26：

“…、4a』5x10010

解：(I)由題目/=而二而=三?

(2)設(shè)總損失和，,則),=滅火材料、勞務(wù)津貼+車輛、器械和裝備費(fèi)+森林損失費(fèi).

y=125tx+100x+60x(500+100。

=125“提+1。。*+30。?！?60D00

x-2

=314504-100(x-2)+要與

231450+2，100?62500=36450.

當(dāng)且僅當(dāng)100(x—2)=要當(dāng)，即*=27時(shí)j有最小值36450.

答：(1)，與x的函數(shù)關(guān)系式是/=北；(2)派27名消防隊(duì)員前去救火，才能使總損失最少.

第三章三角函數(shù)與解三角般

例1:

f_3①

解析(常規(guī)解法)：<cos”4,又〃為第二象限角，

[sin%+cos2a=1②

則sina>0,cosa<0,聯(lián)立①②，sin2a+—sin2a=1,

34

解得sin”=—.cosa=-—,貝|)sina+cosa=-q?故選C.

______________________________________北大博士邱崇

解析（勾股定理）：＜ana=-1?如圄?所以〃=3,b=4,則c=5.

又〃為第二象限角，sina>0,cos?<0,

341

故sina=—.cosa=--,則sin”+cos?=--,故選C.

例2：

解析（1的妙用）：

cos■〃一§in?〃=1-43

cos20=cos*〃—sin'Z?=

sin2^+cos2^?1+tan2/7TT4=一g

tan/9-12-11

1+tan，=1+2=3

例3：

解析：因?yàn)閟in?（[+?）=：,

與+2翻=；+白加2〃=弓

2—ycos

4iJJO

解得sin2a=；,故答案為:.

例4：

解析（和差公式法）：

因?yàn)椋ǎ?$20。8§25。-sinZ/sinZqucosQOo+ZS0）=卓,故選A.

例5：

解析（和差公式法）：

由2tan，一ta?+.）=7,得2tan°—魯鬻J=7.

即2tan，-2taiP夕一tan。-1=7—7tan〃，

得2tan2〃-8tan，+8=0,即tan?，-4tan"+4=0,

即（tan。一2尸=0,則tan〃=2,故選D.

例6：

解析（和差公式+輔助角公式）：??sin〃+sin（〃+5）=l,

sinO+]sin〃+=1，即,sinO+^^cos。=1,

得，〃空

3&cos+sin”5,得（

=1sin6+g，故選B.

例7：

北大博士邱崇

解析⑴：2sin2?=cos2/z4-1,

4sinacosa=2cos2a—H-l=2cos2a,/.2sina=cosa,

又sin?”+cos%=1,..sin2a+4sin2a=1,又“￡(0,冗).

sina—7].故選8.

(2)：coslx=1—2sin2x=g

例8：

解析：

由3cos2a—8cosa=5,得3(2cos%—1)—8cosa—5=0,

即3cos2a—4cosa—4=0,解得cos”=2(舍),或cosa=—.

a€(0,n).則sina=-cos2a==.故選A.

J

例9：

解析(常規(guī)解法)：

f(x)=cosx—sinx=y/lcos(,F),

由24江&*+弓02〃兀+兀，A￡Z,

得24九一1Sx&2〃7t+手.keZ,

即/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［2ATT—；,2〃元+普］.4￡Z,

又「/(x)在［一嘰上單調(diào)遞減，因此［一〃,§卜府一千?2〃五+誓

易得。的最大值為半故選A.

解析(特殊值法)：

f(x)=cosx—sinx=\J1coslx+-j

當(dāng)〃二三，函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，故。<與?故選A.

例10：

解析(常規(guī)解法)：.?』=杯,親2=字是函數(shù)/(犬)=sinwx(w>0)

兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，「"Xz一詞對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的半周期，

.?.，=2當(dāng)_京)=兀=答.-2,故選4

______________________________________北大博士邱崇

解析（技巧解法）:皆一筌卜耳?則3=2,故選：4

例11：

解析（常規(guī)解法）：/（x）=sin|x|是一個(gè)偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，可排除D選項(xiàng)；

/（x）=cos|x|與j=co3x的圖像保持一致，的周期為27r,可排除C選項(xiàng)；

fM=Isin2x|在弓處取得最大值,不可能在區(qū)間（弓,三）單調(diào)遞增,可排除B.

故選A.

解析（結(jié)論法?特殊值）：由表格及口訣：降毒絕對(duì)減半今排除。?

代入特殊值：力中./圖=0<1=/圖；呂中/圖

可知8不可能單增?故選：A.

例12：

解析（常規(guī)解法）：

由圖象可得最小正周期小于九一（一竽）=等.

大于2X1-等）=掌，排除A,D;

由圖象可得《等）=cos（-3?/一看）=0,

c.■■47r.7T,.itz

即為一$3+不=A7r+彳,keZ,

若選B,即有0=分=今■由一等乂呈+5="+，

~T

可得A不為整數(shù)，排除B;

若選C,即有。=器=9.由一答'9+5="+/,可得,成立.

~T

故選：C

解析（相位對(duì)應(yīng)法）：

-警+尹-%解得"同，所以7=管=竽

故選：C?

例13：

北大博士邱崇

解析（相位對(duì)應(yīng)法+直接分解）：

由圖象知函數(shù)的周期r=2X（答一看卜加，即襦=%即㈤=2.