利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在

北師大版·普通課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·必修1章函數(shù)的應(yīng)用4.1函數(shù)與方程利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在2021/6/271重點與難點理解函數(shù)零點的概念，掌握函數(shù)零點的判定方法。重點難點

探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的存在性，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)判別函數(shù)零點的個數(shù)

2021/6/272設(shè)問激疑，創(chuàng)設(shè)情景探究（一）：函數(shù)零點的概念設(shè)計意圖:將教材后面例題提前，開門見山，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)零點的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。那么，到底該方程有沒有根，有幾個根，根在什么區(qū)間內(nèi)？帶著重重疑問導(dǎo)出課題。

引入：求下列方程的根．062ln=-+xx

2021/6/273利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在

2021/6/274(1)y=x2-2x-3與x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1與x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3與x2-2x+3=0問題1：求出表中一元二次方程的實數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的簡圖，并寫出函數(shù)圖象與x軸交點的坐標(biāo)。啟發(fā)引導(dǎo)，形成概念

yx0－12112方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函數(shù)函數(shù)的圖象方程的實數(shù)根x1=－1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸的交點(－1,0)、(3,0)(1,0)無交點x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..y=x2－2x+3xy0－132112543

設(shè)計意圖：從學(xué)生所熟悉的二次函數(shù)問題入手，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，比較全面的把一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)圖像聯(lián)系起來，進(jìn)而推廣到一般情形。2021/6/275問題2:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點和相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何關(guān)系?xyx1x20xy0x1xy0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象判別式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函數(shù)的圖象與x軸的交點有兩個相等的實數(shù)根x1=x2沒有實數(shù)根(x1,0),(x2,0)(x1,0)沒有交點兩個不相等的實數(shù)根x1、x2讓學(xué)生自主得出結(jié)論:

二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實數(shù)根。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過填表，畫圖，經(jīng)歷了由特殊到一般的過程，讓學(xué)生能自主的得出結(jié)論：二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實數(shù)根。從而形成概念。2021/6/276啟發(fā)引導(dǎo)，形成概念概念1、函數(shù)零點的概念：

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。2021/6/277簡單運用，鞏固練習(xí)練一練設(shè)計意圖：形成概念后，通過實例理解概念，使學(xué)生清晰地認(rèn)識到，函數(shù)零點是具體的自變量的取值，而不是一個點。

3,2,1

)(

)0,3(),0,2(),0,1(

)(2,1

)(

1

)()

()3)(2)(1()(.1----+-=DCB

Axxxxf的零點為函數(shù)例2021/6/278用一用設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固函數(shù)零點的求法，并滲透二次函數(shù)以外的函數(shù)零點問題．進(jìn)一步體現(xiàn)方程與函數(shù)的關(guān)系．

練習(xí)1：求下列函數(shù)的零點：)44lg()(2-+=xxxf2021/6/279

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，有些函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，這正是方程與函數(shù)思想的重要之所在。以下三個結(jié)論有怎樣的相關(guān)性？想一想2021/6/2710設(shè)計意圖：引入生活實例，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，學(xué)生通過動手畫圖，會自主的發(fā)現(xiàn)，無論圖像怎么畫，一定會有零點，從幾何直觀上感覺和認(rèn)識零點的概念，并能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零點的判定方法，起到承上啟下的作用。練習(xí)2：下圖是焦作市2月份的某一天從0點到12點的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補(bǔ)充成一個完整的函數(shù)圖象。思考：這段時間內(nèi)，是否一定有某個時刻的氣溫為0度？為什么？氣溫為0度的時刻就是圖象與X軸交點橫坐標(biāo)，從函數(shù)角度來說就是函數(shù)的零點(時間)(氣溫)(時間)(氣溫)畫一畫2021/6/2711探究（二）：零點存在性原理討論探究，揭示原理設(shè)計意圖：從學(xué)生耳熟能詳?shù)纳顚嶋H問題入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究熱情。引入生活實例：（小馬過河）問題1：觀察下列兩組畫面,請你推斷一下哪一組一定能說明小馬已經(jīng)成功過河？ⅠⅡ2021/6/2712設(shè)問1：如果將河流抽象成x軸，將小馬前后的兩個位置抽象為A、B兩點。請問當(dāng)A、B與x軸滿足怎樣的位置關(guān)系時，AB間的一段連續(xù)函數(shù)圖象與x軸一定有交點（即小馬的運動軌跡一定經(jīng)過小河）？并畫出函數(shù)圖像。設(shè)問2：結(jié)合所畫圖像，試用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述小馬在什么情況下一定成功過河呢？觀察學(xué)生所畫的圖像，大致可以分為以下兩類：

當(dāng)A、B兩點在x軸的兩側(cè)時，可能會出現(xiàn)以下情形：

AxBABxxAB2021/6/2713設(shè)計意圖：學(xué)生通過畫圖，大部分不難發(fā)現(xiàn)，第Ⅰ組能說明小馬在行程中一定成功過河（因為A、B兩點在x軸的兩側(cè)），而第Ⅱ組中小馬在行程就不一定成功過河（因為A、B兩點在x軸的同側(cè)）。學(xué)生通過觀察圖像，在老師的引導(dǎo)下，能自主地得出結(jié)論：當(dāng)A、B兩點在x軸的兩側(cè)時，一定有零點，可以用f（a）·f（b）<0表示；通過親自動手畫圖，還能從幾何直觀上感覺和認(rèn)識零點存在的條件：1、圖像必須是連續(xù)的；2、兩端點必須是異號的。為形成定理做好了鋪墊。當(dāng)A、B兩點在x軸的同側(cè)時，可能會出現(xiàn)以下情形：

xABxABxAB2021/6/2714

零點的存在性原理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)?f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.

原理2021/6/2715鞏固深化，發(fā)展思維問題二：該函數(shù)有幾個零點？問題一：能否確定零點區(qū)間？回到引入.62ln)(.2的零點的個數(shù)求函數(shù)例-+=xxxf設(shè)計意圖：定理形成后，直接應(yīng)用定理解決引入時所留下的問題，首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生感受到定理的作用以及學(xué)習(xí)的必要性。2021/6/2716練一練

練習(xí)3.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下，對應(yīng)表2021/6/2717問題：請同學(xué)們思考、交流一下，這節(jié)課學(xué)習(xí)到了什么？在解題方法上你有什么收獲？

教師提出問題學(xué)生歸納概括師生共同完善歸納整理，整體認(rèn)識課堂小結(jié)兩知識點三種思想函數(shù)零點的概念函數(shù)零點存在性定理數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程的思想化歸與轉(zhuǎn)化的思想設(shè)計意圖：為了對本節(jié)課所學(xué)的知識有一個系統(tǒng)、完整的認(rèn)識。引導(dǎo)學(xué)生從零點的概念與零點的判定方法，以及本節(jié)課所體現(xiàn)的三種數(shù)學(xué)思想方面進(jìn)行總結(jié)。2021/6/2718課后反饋，作業(yè)布置作業(yè)：設(shè)計意圖:作業(yè)由易到難。必做題是鞏固本節(jié)所學(xué)知識。選做題是知識的延伸，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用。研究性題拓展學(xué)生思維。體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想，不僅提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，而且使各層次的學(xué)生都能找到自己的學(xué)習(xí)區(qū)，進(jìn)一步促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。必做題1．教材