2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷專(zhuān)題：一元二次方程根的判別式(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷專(zhuān)題：一元二次方程根的判別式(含答案)-2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷專(zhuān)題：一元二次方程根的判別式(含答案)-專(zhuān)題：一元二次方程根的判別式◆課前預(yù)習(xí)1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況可用b2－4ac來(lái)判定，b2－4ac叫做________，通常用符號(hào)“△”為表示．（1）b2－4ac>0方程_________；（2）b2－4ac=0方程_________；（3）b2－4ac<0方程_________．2．使用根的判別式之前應(yīng)先把方程化為一元二次方程的________形式．◆互動(dòng)課堂（一）基礎(chǔ)熱點(diǎn)【例1】不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2－5x+3=0；（2）x2+2x+2=0；（3）3x2+2=4x；（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．解析：從根的判別式入手．答案：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（4）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【例2】若關(guān)于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．解析：由于x2的系數(shù)含字母，且題目中并未指明方程是否是一元二次方程，因此要分兩種情況討論：（1）m2－1=0；（2）m2－1≠0．答案：m≥－．（二）易錯(cuò)疑難【例3】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）如果等腰△ABC有一邊長(zhǎng)a=4，另兩條邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)．解析：（1）考慮根的判別式；（2）分a為底和腰兩種情況討論：若a為底，則b=c，那么方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若a為腰，則b，c中有一個(gè)與a相等，那么方程必有一根為4．答案：（1）△=（2k－3）2≥0；（2）10．點(diǎn)撥：分類(lèi)討論是一種常用的解題思想與方法．（三）中考鏈接【例4】已知關(guān)于x的方程x－2（m+1）x+m2=0．（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？（2）為m選取一個(gè)合適的整數(shù)，使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)根．答案：（1）m≥－；（2）如取m=0，得x1=0，x2=2．名師點(diǎn)撥1．使用判別式之前一定要先把方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问剑?．如果說(shuō)方程有實(shí)數(shù)根，那么應(yīng)包括有兩個(gè)不等實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根兩種情況，此時(shí)b2－4ac≥0，注意不要忽略等號(hào)．3．△=b2－4ac是指一元二次方程的根的判別式，只有當(dāng)所研究的方程為一元二次方程時(shí)方能使用．◆跟進(jìn)課堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判別式△=________．2．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為_(kāi)______，此時(shí)方程的根為_(kāi)_______．4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x－1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．5．若關(guān)于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．6．下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）．A．x2+2x－1=0B．x2+2x+3=0C．x2+x+1=0D．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有實(shí)數(shù)根，則k的最小整數(shù)是（）．A．－1B．0C．1D．28．下列一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根的方程是（）．A．x2－x+1=0B．x2－2x+3=0C．x2+x－1=0D．x2+4=09．如果關(guān)于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）．A．k<1B．k≠0C．k<1且k≠0D．k>110．關(guān)于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情況是（）．A．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根◆漫步課外11．關(guān)于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的解．12．已知a、b、c分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀．13．等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2－10x+m=0的兩根，求m的值．14．如果關(guān)于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程（m－5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情況．◆挑戰(zhàn)極限15．已知關(guān)于x的方程（n－1）x2+mx+1=0①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）求證：關(guān)于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程①的一個(gè)根是－，求方程②的根．答案:1．412．m≤5且m≠03．2，x1=x2=14．k<－15．m≤且m≠06．C7．B8．C9．C10．A11．m=2，x1=1，x2=12．Rt△13．m=25或1614．當(dāng)m=5時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)m>4且m≠5時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根．15．略專(zhuān)題：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系◆課前預(yù)習(xí)1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．2．如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是__________．◆互動(dòng)課堂（一）基礎(chǔ)熱點(diǎn)【例1】設(shè)方程4x2－7x－3=0的兩根為x1，x2，不解方程，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）（x1－3）（x2－3）；（3）；（4）│x1－x2│．解析：由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1+x2=，x1x2=－，將所求代數(shù)式變形為用x1+x2，x1x2表示的形式．答案：（1）．（二）易錯(cuò)疑難【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4k－3=0。（1）求證：無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)a=，且兩條直角邊長(zhǎng)b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)．解析：對(duì)于（1）應(yīng)證明△恒為正，對(duì)于（2）由條件可得方程兩根的平方和為31，可考慮用根系關(guān)系來(lái)解．答案：（1）△=（2k－3）2+4>0，（2）7+．點(diǎn)撥：根系關(guān)系在很多方面（包括幾何方面）均有廣泛的應(yīng)用，值得認(rèn)真體會(huì)．名師點(diǎn)撥學(xué)習(xí)和使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意定理的前提條件：

1．是在一元二次方程的條件下，即注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0．2．是在有實(shí)數(shù)根的條件下，即△≥0．◆跟進(jìn)課堂1．如果方程x2+px+q=0的兩根分別為－1，+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x2－5x－6=0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則x12+x22=_______．3．已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程a2x2－（2a－3）x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如果=－2，那么a的值是_______．4．已知關(guān)于x的方程x2－3x+m=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則m的值為_(kāi)_____．5．已知方程x2+3x－1=0的兩個(gè)根為α、β，那么=_______．6．設(shè)方程x2+x－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則的值為（）．A．1B．－1C．D．7．對(duì)于方程x2+bx－2=0，以下觀點(diǎn)正確的是（）．A．方程有無(wú)實(shí)數(shù)根，要根據(jù)b的取值而定B．無(wú)論b取何值，方程必有一正根，一負(fù)根C．當(dāng)b>0時(shí)，方程兩根為正；b<0時(shí)，方程兩根為負(fù)D．∵－2<0，∴方程兩根肯定為負(fù)8．已知一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程x2－8x+7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）．A．5B．3C．5D．99．已知α、β滿(mǎn)足α+β=5，且αβ=6，則以α、β為兩根的一元二次方程是（）．A．x2+5x+6=0B．x2－5x+6=0C．x2－5x－6=0D．x2+5x－6=010．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩異號(hào)實(shí)數(shù)根的條件是（）．A．>0B．<0C．>0D．<0◆漫步課外11．設(shè)x1，x2是方程2x2+4x－3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（3）；（4）（x1－x2）2．12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，滿(mǎn)足=1，求m的值．13．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+nx+m=0的兩根，求m，n的值．14．已知關(guān)于x的方程x2－2kx+k－=0的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．◆挑戰(zhàn)極限15．已知x1，x2是一元二次方程2x2－2x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）如果x1，x2滿(mǎn)足不等式7+4x1x2>x12+x22，且m為整數(shù)，求m的值．答案:1．－2，12．373．4．25．－116．A7．B8．C9．B10．D11．（1）－（2）3（3）－（4）1012．m=－313．m=－1，n=－314．k>15．（1）m≤－（2）m=－2或m=－1專(zhuān)題訓(xùn)練1一元二次方程的解法1．按指定的方法解下列方程．（1）（2x-1）2-32=0（直接開(kāi)平方法）；（2）3x2+4x+1=0（配方法）；（3）6x2-5x-2=0（公式法）；（4）x2-1=3x-3（因式分解法）．2．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2+x-6=0；（2）49（x-3）2=16（x+6）2；（3）（x-2）（x+3）=66；（4）（x+1）2=3x+2．3．用三種不同的方法解方程3x2-5x=2．4．若方程3x2-5x+k=0的一個(gè)根是-1，求k的值及另一個(gè)根．5．如果方程x2-6x-k-1=0與x2-kx-7=0僅有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求k的值和相同的根．6．若α是方程x2+x-1=0的根，求代數(shù)式2000α3+4000α2的值．7．如果m是介于12與60之間的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0的兩個(gè)根也是整數(shù)，求m的值及這兩個(gè)整數(shù)根．8．已知：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，且a·b·c≠0，求a+b+c的值．9．已知x2+x-6是多項(xiàng)式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的一個(gè)因式，求a、b的值．答案:1．解：（1）（2x-1）2-32=0，整理，得（2x-1）2=64，開(kāi)平方，得2x-1=±8，2x=1±8，x=．所以x1=，x2=．（2）3x2+4x+1=0，移項(xiàng)，得3x2+4x=-1．方程兩邊同時(shí)除以3，得x2+x=-．配方，得x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=±，x+=±，x=-±所以x1=-+=-，x2=--=-1．（3）6x2-5x-2=0，因?yàn)閍=6，b=-5，c=-2．b2-4ac=（-5）2-4×6×（-2）=25+48=73．所以x==．即x1=，x2=．（4）原方程可化為：x2-1-3x+3=0（x+1）（x-1）-3（x-1）=0，（x-1）（x+1-3）=0，即x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．點(diǎn)撥：注意每一種解法的步驟和格式，必要的文字?jǐn)⑹鼋^不能少．2．解：（1）方程兩邊同時(shí)乘以4，得x2+10x-24=0，即（x+12）（x-2）=0，x+12=0或x-2=0，所以x1=-12，x2=2．（2）原方程可化為[7（x-3）]2=[4（x+6）]2，所以7（x-3）=±4（x+6），即7（x-3）=4（x+6）或7（x-3）=-4（x+6），所以x1=15，x2=-．（3）原方程可化為：x2+x-72=0，（x+9）（x-8）=0，即x+9=0或x-8=0，所以x1=-9，x2=8．（4）原方程可化為：x2-x-1=0，因?yàn)閍=1，b=-1，c=-1，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，所以x=，所以x1=，x2=．點(diǎn)撥：對(duì)于方程（1），出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)系數(shù)，分解因式的話不容易觀察，套用公式計(jì)算量太大，因此，先把分?jǐn)?shù)系數(shù)化為整數(shù)，即在方程兩邊同時(shí)乘以4后，用因式分解法就比較方便．方程（2）可采用直接開(kāi)平方法，也可采用因式分解法．方程（3）是十分容易出錯(cuò)的一個(gè)方程，一定要先整理成一般形式再求解，方程（4）與方程（3）相同，也要先化成一般形式后，再選擇方法．3．解法一：配方法：方程兩邊同時(shí)除以3，得x2-x=，配方，得x2-x+（）2=+（）2，即（x-）2=，x-=±，x=±．所以x1=+=2，x2=-=-．解法二：公式法：移項(xiàng)，得3x2-5x-2=0因?yàn)閍=3，b=-5，c=-2，b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=25+24=49，所以x=，即x1=2，x2=-．解法三：因式分解法：移項(xiàng)，得3x2-5x-2=0．（x-2）（3x+1）=0，即x-2=0或3x+1=0，所以x1=2，x2=-．點(diǎn)撥：通過(guò)對(duì)同一道題的不同解法的比較，我們發(fā)現(xiàn)因式分解法是比較簡(jiǎn)便的方法，一個(gè)方程若能用因式分解法求解，就不要再選擇其他解法了．公式法是解一元二次方程的最后一法．在其他方法失效的情況下，可選用此法．配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，但是用這種方法解方程，過(guò)程太復(fù)雜，一般情況下不采用．4．解：依題意：3×（-1）2-5×（-1）+k=0，k=-8．當(dāng)k=-8時(shí)，3x2-5x-8=0，（x+1）（3x-8）=0，x+1=0或3x-8=0，所以x1=-1，x2=．所以k的值是-8，方程的另一個(gè)根是．點(diǎn)撥：利用方程根的定義，把-1代入方程求出k的值，然后把k的值代入方程，求出方程的另一個(gè)根．拓展：此題也可應(yīng)用本章第三節(jié)探究到的知識(shí)求解．設(shè)方程的另一個(gè)根是x，則-1+x1=，所以x1=．又因?yàn)?1·x1=，所以-1×=，k=-8．所以方程的另一個(gè)根是，k的值是-8．5．解：設(shè)相同的根為x，則有：x2-6x-k-1=0①，x2-kx-7=0②．①-②得（k-6）x-k+6=0．（k-6）（x-1）=0，所以k=6或x=1．當(dāng)k=6時(shí)，原來(lái)的兩個(gè)方程是同解方程，它們的解完全相同．不合題意，故k=6舍去；當(dāng)x=1時(shí)，代入①，得k=-6，所以k的值為-6，相同的根為1．點(diǎn)撥：設(shè)出相同的根，代入后解方程即可．6．解：依題意：α2+α-1=0，所以α2+α=1，α2=1-α．所以2000α3+4000α2=2000α（α2+2α）=2000α（α2+α+α）=2000α（1+α）=2000（α+α2）=2000．點(diǎn)撥：把條件等式適當(dāng)變形，整體代入求值．7．解：x==m+1±，因?yàn)閤1，x2都是整數(shù)，所以（2m+1）必是完全平方數(shù)，由于12<m<60，所以25<2m+1<121．因?yàn)椋?m+1）是奇數(shù)，所以只能是2m+1=72或2m+1=92．解之得m1=24，m2=40．當(dāng)m=24時(shí)，x1=32，x2=18；當(dāng)m=40時(shí)，x1=50，x2=32．點(diǎn)撥：先用公式法求出方程的根，再利用整數(shù)的性質(zhì)及m的取值范圍進(jìn)行討論．8．解：設(shè)相同的根為x，則：ax2+bx+c=0①，bx2+cx+a=0②，cx2+ax+b=0③，①+②+③，得（a+b+c）（x2+x+1）=0．又因?yàn)閤2+x+1=（x+）2+>0，所以a+b+c=0．點(diǎn)撥：類(lèi)似于第5題，請(qǐng)作比較，找到解這一類(lèi)題的規(guī)律．9．解：依題意：當(dāng)x2+x-6=0時(shí)多項(xiàng)式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1=0．即：當(dāng)x1=-3，x2=2時(shí)，上述多項(xiàng)式的值為0．把x1=-3，x2=2代入，可得關(guān)于a、b的方程組解得a=16，b=3．點(diǎn)撥：欲求a、b的值，關(guān)鍵在于列出關(guān)于a、b的方程組．因此，根據(jù)因式分解的意義可使問(wèn)題得以解決．

專(zhuān)題訓(xùn)練2一元二次方程在平面圖形中的應(yīng)用1．在直角三角形中，兩條直角邊的差為7，斜邊長(zhǎng)為13，求它的周長(zhǎng)和面積．2．一個(gè)梯形的上度與高相等，下底比上底的2倍多1，面積是40，求梯形的中位線的長(zhǎng)．3．在△ABC中，AB=AC，周長(zhǎng)為20，且（BC+1）2=AB，求△ABC的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．4．一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m．（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？5．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由．6．如圖所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航．一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦．（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）7．東西和南北街道交于點(diǎn)O，甲沿東西道由西向東走，速度為4m/s，乙沿南北道由南向北走，速度是3m/s，當(dāng)乙通過(guò)O點(diǎn)后，又繼續(xù)前進(jìn)50m，甲剛好通過(guò)O點(diǎn)，當(dāng)甲、乙相距85m，求兩人的位置（假設(shè)街道足夠長(zhǎng)）．8．如圖所示，若把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的四個(gè)角（陰影部分）剪掉，得四邊形A1B1C1D1，試問(wèn)怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原正方形面積的，請(qǐng)說(shuō)明理由．（寫(xiě)出證明及計(jì)算過(guò)程）答案:1．解：設(shè)較短的直角邊長(zhǎng)為x，則較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為（x+7）．根據(jù)勾股定理，列方程x2+（x+7）2=132整理，得x2+7x-60=0，解得x1=5，x2=-12．由于三角形的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，故將x2=-12舍去．所以三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13．則周長(zhǎng)為5+12+13=30，面積為×5×12=30．點(diǎn)撥：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)勾股定理可列出方程．2．解：設(shè)梯形的上底為x，則下底為2x+1，高為x．根據(jù)梯形的面積公式，可列方程：（2x+1+x）·x=40整理，得3x2+x-80=0，解得x1=5，x2=-．由于梯形的上底不能為負(fù)數(shù)，故將x2=-舍去．所以梯形的上底為5，下底為11，則中位線長(zhǎng)為×（5+11）=8．點(diǎn)撥：欲求梯形的中位線，由梯形的中位線定理，需先求出它的上底和下底，依題意設(shè)上底為x，則由梯形的面積可列方程．3．解：設(shè)底邊BC為x，則腰長(zhǎng)AB=．因?yàn)椋˙C+1）2=AB，所以（x+1）2=．整理，得2x2+5x-18=0，解得x1=2，x2=-，由于三角形的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，故舍去x2=-．所以△ABC的底邊BC=2，腰長(zhǎng)AB=AC=9．點(diǎn)撥：題目中已經(jīng)給出了等量關(guān)系式，只需設(shè)出一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)即可，既可以設(shè)出底邊，也可以設(shè)出腰長(zhǎng)．4．解：依題意，梯子的頂端距墻角=8（m）（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m．設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，根據(jù)勾股定理，列方程：72+（6+x）2=102，整理，得x2+12x-15=0，解得x1≈1.14，x2≈-13.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m．（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm，根據(jù)勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+1）2=100．整理，得x2-16x+13=0．解得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m．（3）設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm．根據(jù)勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+x）2=102整理，得2x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=2．所以梯子頂端向下滑動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m．點(diǎn)撥：解決這類(lèi)實(shí)際生活問(wèn)題，首先要依據(jù)題目敘述的生活環(huán)境，畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形．其次，找準(zhǔn)與題意適應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)．最后解出的結(jié)果要同實(shí)際情況相吻合，否則應(yīng)舍去．本題中，把梯子本身看作一條線段，直立的墻面與水平的地面三者構(gòu)成一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理，建立起數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解一元二次方程，使問(wèn)題得以順利解決．拓展：此題可與函數(shù)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，不妨假設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm，底端相應(yīng)地向外滑動(dòng)ym，怎樣求出y與x的函數(shù)關(guān)系呢？能否利用這個(gè)關(guān)系式解決題目中的問(wèn)題呢？請(qǐng)同學(xué)們探究一下．5．解：因?yàn)椤螩=90°，所以AB===10（cm）．（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．依題意，AP=xcm，PC=（6-x）cm．CQ=2xcm，則·（6-x）·2x=8．整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半，依題意：（6-x）·2x=××6×8．整理，得x2-6x+12=0．由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻．點(diǎn)撥：題目中出現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，并且不止一個(gè)．因此，分析這些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況變成解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在根據(jù)題意求出第一個(gè)問(wèn)題的解后，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)解都符合題意，需要特別指出的是當(dāng)x=4時(shí)，點(diǎn)Q即運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)也就隨之停止了．第二個(gè)問(wèn)題以探究的形式出現(xiàn)，我們解決這類(lèi)問(wèn)題的方法一般都是先假設(shè)符合條件的值存在，在條件的指引下去求值，若能求出值并且符合題意，則存在；若求不出值，或求出的值不符合題意，則不存在．本題求不出x的值，故不存在．6．解：（1）F位于D的正南方向，則DF⊥BC．因?yàn)锳B⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，所以DF=AB=100海里，所以，小島D與小島F相距100海里．（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2，整理，得3x2-1200x+100000=0，解得x1=200-≈118.4，x2=200+（不合題意，舍去）．所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里．點(diǎn)撥：題目綜合性較強(qiáng)，涉及到了等腰三角形中各邊之間的關(guān)系．7．解：設(shè)甲通過(guò)O點(diǎn)后t秒時(shí)，甲、乙的位置分別是A、B，則OA=4t，OB=50+3t，依題意，有（4t）2+（50+3t）2=852．整理，得t2+12t-189=0，解得t1=9，t2=-21．當(dāng)t=9時(shí)，OA=36，OB=77，當(dāng)t=-21時(shí)，OA=-84，OB=-13．所以甲、乙分別在通過(guò)O點(diǎn)后又前進(jìn)36m，77m或者兩人未通過(guò)O點(diǎn)，分別在距O點(diǎn)84m，13m的位置時(shí)，兩人的距離是85m．點(diǎn)撥：欲求兩人的位置，就需求出兩人運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，所以，可以通過(guò)設(shè)出間接的未知數(shù)即運(yùn)動(dòng)時(shí)間來(lái)解決，需要特別注意的是，題目中的負(fù)解不能舍去．8．解：剪法為：當(dāng)AA1=BB1=CC1=DD1=或時(shí)，四邊形A1B1C1D1為正方形，且其面積S=，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，因?yàn)锳A1=BB1=CC1=DD1，所以A1B=B1C=C1D=D1A，所以△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1，所以D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，所以∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1，所以∠AA1D1+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°．所以四邊形A1B1C1D1為正方形，設(shè)AA1=x，則AD1=1-x，因?yàn)檎叫蜛1B1C1D1的面積S=，所以S△AA1D1=，即x（1-x）=，解得x1=，x2=．當(dāng)AA1=時(shí)，AD1=，當(dāng)AA1=時(shí)，AD1=，所以當(dāng)AA1=BB1=CC1=DD1=或時(shí)，四邊形A1B1C1D1仍為正方形且其面積是原正方形面積的．點(diǎn)撥：解題的關(guān)鍵在于說(shuō)明陰影部分和原正方形面積之間的關(guān)系，所以，首先去證明四個(gè)陰影部分的三角形全等，然后，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，列出方程，即可求解．專(zhuān)題訓(xùn)練3一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用1．將進(jìn)價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，該商品每漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為了賺取8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)進(jìn)貨量應(yīng)為多少元？2．王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢(qián)第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率．（假設(shè)不計(jì)利息稅）3．農(nóng)民李大爺響應(yīng)中央發(fā)出的退耕還林還草的號(hào)召，主動(dòng)在承包的荒山上種植了44棵蘋(píng)果樹(shù)，2005年采摘時(shí)，先隨意采摘5棵樹(shù)上的蘋(píng)果．稱(chēng)得每棵樹(shù)上的蘋(píng)果的質(zhì)量如下：（單位：kg）3534393537（1）估計(jì)李大爺2005年的蘋(píng)果產(chǎn)量為多少kg？（2）李大爺說(shuō)這44棵樹(shù)2003年共收蘋(píng)果1100kg，若近幾年蘋(píng)果產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，試預(yù)測(cè)到2008年蘋(píng)果的產(chǎn)量是多少kg？4．某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)每戶(hù)居民如果一個(gè)月的用電量不超過(guò)A度，那么這戶(hù)居民這個(gè)月只需交10元用電費(fèi)；如果超過(guò)A度，則這個(gè)月除了仍要交10元用電費(fèi)外，超過(guò)部分還要按每度元交費(fèi)．（1）該廠某戶(hù)居民2月份用電90度，超過(guò)了規(guī)定的A度，則應(yīng)交電費(fèi)_________元（用A表示）；（2）下表是這戶(hù)居民3月，4月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）電費(fèi)（元）3802544510根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A是多少？5．某商場(chǎng)A型冰箱的售價(jià)是2190元，每天耗電量為1千瓦時(shí)，最近商場(chǎng)又進(jìn)回一批B型冰箱，其售價(jià)比A型冰箱高出10%，但每天耗電量卻為0.55千瓦時(shí)，為了減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定對(duì)A型冰箱降價(jià)銷(xiāo)售，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）已知A型冰箱的進(jìn)價(jià)為1700元，商場(chǎng)為保證利潤(rùn)率不低于3%，試確定A型冰箱的降價(jià)范圍（利潤(rùn)率=×100%）．（2）如果只考慮價(jià)格和耗電量，那么商場(chǎng)將A型冰箱的售價(jià)打幾折時(shí)，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)兩種冰箱才一樣合算（兩種冰箱的使用期均為10年，每年365天，每千瓦時(shí)電費(fèi)按0.4元計(jì)算）？6．有三個(gè)梯子，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的．每個(gè)梯子的扶桿長(zhǎng)（即梯長(zhǎng)）、頂檔寬、底檔寬如圖22-4所示并把橫檔與扶桿榫合處稱(chēng)作聯(lián)結(jié)點(diǎn)（如點(diǎn)A）．（1）通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)充填寫(xiě)下表：梯子種類(lèi)兩扶桿總長(zhǎng)（m）橫檔總長(zhǎng)（m）聯(lián)結(jié)點(diǎn)（個(gè)）五步梯42.010七步梯九步梯（2）一個(gè)梯子的成本由材料費(fèi)和加工費(fèi)組成，假定加工費(fèi)以每個(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)1元計(jì)算，而材料費(fèi)中扶桿的單價(jià)與橫檔的單價(jià)不相等（材料損耗及其他因素忽略不計(jì)）．現(xiàn)已知一個(gè)五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一個(gè)九步梯的成本．7．據(jù)《鎮(zhèn)江日?qǐng)?bào)》報(bào)道，我市在全面建設(shè)小康社會(huì)的25項(xiàng)指標(biāo)中，有15項(xiàng)完成了序時(shí)進(jìn)度，其中10項(xiàng)已達(dá)到小康指標(biāo)值．（1）完成序時(shí)進(jìn)度的指標(biāo)占全部指標(biāo)的_______%；已達(dá)小康指標(biāo)值的指標(biāo)占全部指標(biāo)的________%．（2）某校研究性學(xué)習(xí)小組，對(duì)我市居民家庭年收入及人均住房建筑面積進(jìn)行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)繪制成圖1、圖2．①圖1中，家庭年收入的眾數(shù)為_(kāi)_____美元；家庭年收入的平均數(shù)為_(kāi)______美元．②小康指標(biāo)規(guī)定城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民人均住房建筑面積應(yīng)分別在35m2和40m2以上．觀察圖形，從2002年到2004年城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民人均住房建筑面積的年平均增長(zhǎng)率分別為（）A．0.1和0.2B．0.2和0.3C．0.2和0.4D．0.3和0.4③若人均住房建筑面積的年平均增長(zhǎng)率不變，那么到2007年城鎮(zhèn)居民人均住房建筑面積能否達(dá)到小康指標(biāo)值？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．(1)(2)8．下表數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局《國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》．2001～2004年國(guó)內(nèi)汽車(chē)年產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)表2001年2002年2003年2004年汽車(chē)/萬(wàn)輛233325.1444.39507.41其中轎車(chē)/萬(wàn)輛70.4109.2202.01231.4（1）根據(jù)上表將圖補(bǔ)充完整；（2）請(qǐng)你寫(xiě)出三條從統(tǒng)計(jì)圖中獲得的信息．（3）根據(jù)2004年汽車(chē)的年產(chǎn)量和目前銷(xiāo)售情況，有人預(yù)測(cè)2006年國(guó)內(nèi)汽車(chē)年產(chǎn)量應(yīng)上升至650萬(wàn)輛．根據(jù)這一預(yù)測(cè)，假設(shè)這兩年汽車(chē)年產(chǎn)量平均年增長(zhǎng)率為x，則可列出方程_____________．2001～2004年國(guó)內(nèi)汽車(chē)年產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖答案:1．解：設(shè)應(yīng)漲價(jià)x元，依題意，列方程，得（50+x-40）（500-10x）=8000．整理，得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30．當(dāng)x=10時(shí)，500-10x=500-10×10=400（個(gè)）當(dāng)x=30時(shí)，500-10x=500-10×30=200（個(gè)）答：當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨400個(gè)，或售價(jià)定為80元，進(jìn)貨200個(gè)．2．解：設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x，依題意，可列方程：[1000（1+x）-500]（1+0．9x）=530．整理，得90x2+145x-3=0．解得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63．由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2≈-1.63舍去所以第一次存款的年利率約是2.04%．點(diǎn)撥：弄清兩個(gè)問(wèn)題，一是第二次存款時(shí)的本金，二是第二次存款時(shí)的利率．3．解：（1）200