高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》

1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6【課標要求】1．了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用；2．理解判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的常用方法、獨立性檢驗中K2的含義及其實施步驟．【核心掃描】1．能夠根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表及求K2.(重點)2．獨立性檢驗的基本思想和方法．(難點)高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6自學(xué)導(dǎo)引1．分類變量和列聯(lián)表

(1)分類變量 變量的不同“值”表示個體所屬的

，像這樣的變 量稱為分類變量．

(2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個分類變量的

，稱為列聯(lián)表．不同類別頻數(shù)表高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6②2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6想一想：如何理解分類變量？提示(1)這里的“變量”和“值”都應(yīng)作為“廣義”的變量和值來理解．例如：對于性別變量，其取值有“男”和“女”兩種，這里的“變量”指的是“性別”，這里的“值”指的是“男”或“女”．因此，這里說的“變量”和“值”不一定是取具體的數(shù)值．(2)分類變量是大量存在的．例如：吸煙變量有吸煙與不吸煙兩種類別，而國籍變量則有多種類別．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》62．獨立性檢驗a＋b＋c＋d

高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6具體步驟①根據(jù)實際問題的需要，確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α.然后查表確定

.②利用公式計算隨機變量K2的

.③如果

，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷

不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中

支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”臨界值k0觀測值kk≥k0犯錯誤的概率沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》63.獨立性檢驗臨界值表P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6想一想：在K2運算時，在判斷變量相關(guān)時，若K2的觀測值k＝56.632，則P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001，哪種說法是正確的？提示兩種說法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為兩變量相關(guān)；而P(K2≥10.828)≈0.001的含義是在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為兩變量相關(guān)．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6名師點睛1．在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》62．獨立性檢驗的基本思想

(1)獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機變量K2的含義，可以通過P(K2≥6.635)≈0.01來評價假設(shè)不合理的程度，由實際計算出k2≥6.635，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度約為99%.高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6(2)在實際問題中要記住以下幾個常用值：①k＞6.635有99%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；②k＞3.841有95%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；③k＞2.706有90%的把握認為“X與Y有關(guān)系”；④k≤2.706就認為沒有充分證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”．(3)反證法原理與獨立性檢驗原理的比較反證法原理：在假設(shè)H0下，如果推出一個矛盾，就證明了H0不成立．獨立性檢驗原理：在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》63．兩個分類變量相關(guān)性檢驗方法利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法是：①根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②計算隨機變量K2的觀測值k.③如果k≥k0，就推斷“X與Y”有關(guān)系，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6題型一有關(guān)“相關(guān)的檢驗”【例1】某校對學(xué)生課外活動進行調(diào)查，結(jié)果整理成下表： 試用你所學(xué)過的知識進行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛總計男生212344女生62935總計275279高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6且P(K2≥7.879)≈0.005即我們得到的K2的觀測值k≈8.106超過7.879，這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005，即在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6【變式1】

為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對某年級學(xué)生作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)： 判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？成績優(yōu)秀成績較差總計興趣濃厚的643094興趣不濃厚的227395總計86103189高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6題型二有關(guān)“無關(guān)的檢驗”【例2】為了探究學(xué)生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學(xué)生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？

[思路探索]要在選報文、理科與對外語有無興趣之間有無關(guān)系作出判斷，可以運用獨立性檢驗的方法進行判斷．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6解列出2×2列聯(lián)表理文總計有興趣13873211無興趣9852150總計236125361高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6規(guī)律方法運用獨立性檢驗的方法：(1)列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)公式計算K2的觀測值k.(2)比較k與k0的大小作出結(jié)論．高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6【變式2】

某教育機構(gòu)為了研究人具有大學(xué)專科以上學(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對待教育改革態(tài)度的關(guān)系，隨機抽取了392名成年人進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 對于教育機構(gòu)的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論．支持教育改革情況學(xué)歷積極支持教育改革不太贊成教育改革總計大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷39157196大學(xué)?？埔韵聦W(xué)歷29167196總計68324392高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6題型三獨立性檢驗的基本思想【例3】

某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表： 甲廠分組[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)頻數(shù)12638618292614高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6乙廠分組[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)頻數(shù)297185159766218高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．甲廠乙廠總計優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品總計高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6【變式3】

下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：

(1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；

(2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時的差異．得病不得病總計干凈水52466518不干凈水94218312總計146684830高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6得病不得病總計干凈水55055不干凈水92231總計147286高中數(shù)學(xué)《1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用》6誤區(qū)警示因未理解P(K2≥k0)的含義而致錯【示例】

某小學(xué)對232名小學(xué)生調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：180名男生中有98名有多動癥，另外82名沒有多動癥，52名女生中有2名有多動癥，另外50名沒有多動癥，用獨立性檢驗方法判斷多動癥與性別是否有關(guān)系？

[錯解]由題目數(shù)據(jù)列出如下列聯(lián)表：多動癥