云南省昆明市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月大聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)（含答案）

絕密★啟用前2025屆高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A． B． C． D．3．蘇州荻溪倉(cāng)始建于明代，曾作為古代官方桹倉(cāng)，圓筒桹倉(cāng)簡(jiǎn)約美觀、儲(chǔ)存容量大，在糧食儲(chǔ)存方面優(yōu)勢(shì)明顯，如圖（1）．某校模型制作小組設(shè)計(jì)圓筒糧倉(cāng)模型時(shí)，將糧倉(cāng)的屋頂近似看成一個(gè)圓錐，如圖（2）．若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知，且滿足，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．46．下列函數(shù)，滿足“對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，都有”的是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且．將曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是9B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則C．20張彩票中只有2張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0．5，則的最小值為6D．已知數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個(gè)數(shù)，則這8個(gè)數(shù)的方差10．已知函數(shù)在處取得極值，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．有3個(gè)零點(diǎn)C．在上的最小值為D．在R上恒成立11．如圖，已知圓，過(guò)原點(diǎn)作射線交圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)），交直線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），再以為圓心、線段的長(zhǎng)為半徑作圓與射線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．設(shè)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．C．曲線的方程為D．過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線必與拋物線相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)______．13．甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒(méi)有平局，各局比賽的結(jié)果互不影響．約定當(dāng)一方勝的局?jǐn)?shù)比另一方多兩局時(shí)即可獲勝，比賽結(jié)束．設(shè)最終比賽局?jǐn)?shù)為，則_______．14．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作軸的垂線，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的周長(zhǎng)為，求的面積．16．（15分）如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，為橢圓上兩點(diǎn)（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為12．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值．18．（17分）如圖，在三棱錐中，平面，，分別是，的中點(diǎn)，，，．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若點(diǎn)，分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．19．（17分）設(shè)數(shù)列是一個(gè)無(wú)限數(shù)列，若對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)，不等式對(duì)每一個(gè)大于的正整數(shù)都成立，則稱是階友好數(shù)列．（1）若，證明：是2階友好數(shù)列，但不是1階友好數(shù)列．（2）若是1階友好數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：①；②．1PAGE第7頁(yè)2025屆高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1234567891011DBACBCAAACDBCABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）【解析】（1）由題意及余弦定理，得，（2分）所以．（3分）由，得．（5分）又，所以．（6分）（2）由（1），得，（8分）所以．又，所以，，，（11分）所以的面積．（13分）說(shuō)明：第（1）問(wèn)：1．寫出余弦定理給1分，寫出給1分．2．3分段指寫出．3．5分段指寫出．4．6分段指寫出．第（2）問(wèn)：1．8分段指寫出．2．11分段指寫出，，．3．13分段指寫出的面積．16．（15分）【解析】（1）由題意，得（3分）解得（4分）所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（5分）（2）由（1），知，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，由及對(duì)稱性，知，（6分）所以．（7分）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，則．（8分）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)其方程為，由得，，（9分）設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得（10分）所以（11分），（12分），（13分）所以．（14分）綜上，為定值．（15分）說(shuō)明：第（1）問(wèn)：1．3分段指列出關(guān)于a，b，c的方程組與不等關(guān)系．2．4分段指求出a，b，c的值．3．5分段指寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．第（2）問(wèn)：1．6分段指寫出．2．7分段指寫出等式．3．8分段指當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出．4．9分段指當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，得到，．5．10分段指根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出6．11分段指寫出．7．12分段指寫出．8．13分段指寫出．9．14分段指當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，寫出．10．15分段指寫出綜上，為定值．17．（15分）【解析】（1）的定義域?yàn)?，?分）當(dāng)時(shí)，，（2分）易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3分）所以．（4分）（2）令，則在上恒成立．求導(dǎo)，得，（6分）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，不符合題意，舍去．（8分）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，（10分）只需即可．（11分）設(shè)，則，（12分）所以在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以．（14分）又，所以的最大值為-1．（15分）說(shuō)明：第（1）問(wèn)：1．1分段指寫出的定義域?yàn)椋?．2分段指寫出．3．3分段指寫出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．4．4分段指寫出．第（2）問(wèn)：1．6分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)，同時(shí)對(duì)分子因式分解，若求導(dǎo)正確但沒(méi)有因式分解也給1分．2．8分段指寫出當(dāng)時(shí)不符合題意的情形．3．10分段指寫出當(dāng)時(shí)，求出．4．11分段指寫出只需即可．5．12分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)，同時(shí)得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)．6．14分段指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到．7．15分段指根據(jù)得到的最大值為-1．18．（17分）【解析】因?yàn)椋?，，是的中點(diǎn)，所以，（1分）兩邊平方，得，即，得，所以．（2分）又平面，所以，，兩兩垂直．如圖，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．（3分）（1）易得，，所以，（4分）所以．（5分）（2）由題意，知平面的一個(gè)法向量是．（6分）易得，．設(shè)平面的法向量是，則即（7分）令，得，所以平面的一個(gè)法向量是，（8分）所以，（9分）由圖，知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（10分）（3）因?yàn)辄c(diǎn)N，Q分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以．（12分）設(shè)，，則，所以，（14分）所以，（16分）所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，為．（17分）說(shuō)明：第（1）問(wèn)：1．1分段指寫出．2．2分段指寫出．3．3分段指建立空間直角坐標(biāo)系并正確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．4．4分段指寫出．5．5分段指寫出．第（2）問(wèn)：1．6分段指寫出平面的一個(gè)法向量是．2．7分段指寫出即3．8分段指寫出平面的一個(gè)法向量是．4．9分段指寫出．5．10分段指寫出二面角的余弦值為．第（3）問(wèn)：1．12分段指寫出．2．14分段指寫出．3．16分段指寫出，若沒(méi)有正確配方給1分．4．17分段指寫出取得最小值為．19．（17分）【解析】（1）因?yàn)?，所以要證是2階友好數(shù)列，只需證不等式對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，（1分）只需證對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，（2分）只需證，即對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，（4分）這是顯然成立的，所以是2階友好數(shù)列．（5分）又，，，所以，所以不是1階友好數(shù)列．（6分）（2）因?yàn)槭?階友好數(shù)列，所以對(duì)每一個(gè)大于1的正整數(shù)都成立，即對(duì)每一個(gè)大于1的正整數(shù)都成立．（10分）令．①由上述過(guò)程，知，所以，所以．（11分）②要證，只需證，只需證，即證（*）．（12分）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即證，由，得，，，，此時(shí)（*）式顯然成立．（14分）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即證，由，得，，，，此時(shí)（*）式也顯然成立，（16分）所以．（17分）說(shuō)明：第（1）問(wèn)：1．1分段指寫出將要證結(jié)論轉(zhuǎn)化為只需證不等式對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立．2．2分段指將，，代入上式