新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)分層作業(yè)湘教版選擇性必修第一冊(cè)

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.雙曲線x29-yA.2 B.4 C.5 D.82.離心率為2的雙曲線x2a2-y2b2A.5x±y=0 B.x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=03.已知雙曲線C的離心率為e=43,虛軸長(zhǎng)為27,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(A.x24B.x24-y2C.x29-y2D.x29-y24.雙曲線C:x22-y2m=1(m>0)的一條漸近線的方程為2A.2 B.2 C.4 D.55.已知雙曲線的方程為x2-y22=1,則下列敘述正確的是(A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0) B.漸近線方程為y=±2xC.離心率為2 D.實(shí)軸長(zhǎng)為226.(多選題)若雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(5,0),P是雙曲線上一點(diǎn),且雙曲線的漸近線方程為y=±43x,則下列結(jié)論正確的是(A.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29B.C的離心率為5C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.|PF|的最小值為27.已知點(diǎn)(3,0)是雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則b=,頂點(diǎn)到漸近線的距離為8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e=233,過(guò)點(diǎn)AB級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.已知雙曲線的一條漸近線為直線x-3y=0,且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2-x23=1 B.x23C.x2-y23=1 D.y2310.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則實(shí)數(shù)m等于()A.-14 B.-C.4 D.111.(多選題)已知雙曲線x2m-y2mA.離心率的最小值為4B.當(dāng)m=2時(shí),離心率最小C.離心率最小時(shí),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22D.離心率最小時(shí),雙曲線的漸近線方程為3x±y=012.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)左焦點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線交雙曲線的兩條漸近線于M,NA.(2,+∞) B.(5,+∞) C.(1,2) D.(1,5)13.(2024全國(guó)甲,理8)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A.15 B.5C.255 D14.已知雙曲線C:x24-y2=1,P為C上的隨意點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),則|PA|的最小值是15.焦距為2c的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),假如滿(mǎn)意“(1)若雙曲線C是“等差雙曲線”,求其漸近線的方程;(2)對(duì)于焦距為10的“等差雙曲線”,若過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l與其僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線l的方程.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線C上的點(diǎn)A滿(mǎn)意|AF1|=2|AF2|,且AFA.3+12 B.3 C.2 D.3

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)1.D由x29-y216=1,知a=故選D.2.D由題意,雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為e=ca=2,則a∶b所以雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax=±3x3.D由題意可得2b=27,所以b=7.又因?yàn)閑=ca=a2+b2a2=4.D依據(jù)題意,雙曲線C:x22-y2m則有m2=2,即m=8,則雙曲線的方程為x22-y28=1,其中a=2,b=22,則c=5.B由已知得a=1,b=2,c=3,所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),離心率為e=ca雙曲線的漸近線方程為y=±2x,故B正確.故選B.6.AD由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2所以漸近線的方程為y=±bax,即bx±ay=0,由題意43=ba再由c2=a2+b2=a2+43a2=259a2=25,可得a2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29離心率e=ca焦點(diǎn)F到漸近線的距離d=bca2|PF|的最小值為c-a=5-3=2,故D正確.故選AD.7.22223因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)是雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),所以a=1,c=3,所以b=22,于是雙曲線的漸近線方程為y=8.解∵e=233,∴ca=∴a2=3b2. ①又直線AB的方程為bx-ay-ab=0,∴直線AB與原點(diǎn)之間的距離d=aba即4a2b2=3(a2+b2). ②解①②組成的方程組,得a2=3,b2=1.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23-y2=9.B由題意可得焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2所以可得雙曲線的漸近線方程為y=±bax由題意可得ba=13,c=2=a210.A雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)2-x2-1m=1,則有a2=1,b2=-1m,由題設(shè)條件知,2=11.BCD由雙曲線的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,所以雙曲線的離心率e=ca=當(dāng)且僅當(dāng)m=4m且m>0,即m=故A不正確,B正確;離心率最小時(shí)m=2,這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y26=1,漸近線方程為故選BCD.12.B如圖所示.∵雙曲線x2a2-y2b2=過(guò)其左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交雙曲線漸近線于M,N兩點(diǎn),∴|MF1|=|NF1|=bca,|F1F2|=2c∵∠MF2N是鈍角,∴∠MF2F1>45°,∴|F1F2|<|MF1|,即2c<bca,∴2ac<bc整理得4a2<b2,由e2=1+b2a解得e>5或e<-5(舍去),故選B.13.D由e=ca=5,得c=5a,所以b=c2-a2=2a.所以雙曲線的漸近線為y=±bax=±2x.由題意知,雙曲線的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,又圓心(2,3)到漸近線2x-y=0的距離d=|2×2-3|22+(-1)214.255設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x24-1=54(x-125)∴當(dāng)x=125時(shí),|PA|2取最小值為45,即|PA|的最小值為15.解(1)聯(lián)立2b=a+c,c2=a(2)依據(jù)題意可知2c=10,所以c=5,由(1)得3b=4a,所以a=3,b=4,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29-又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線l平行于該雙曲線的漸近線,即直線l的斜率k=±43,故所求直線l的方程為y=43x+2或y=-4316.B設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),由雙曲線C上的點(diǎn)A滿(mǎn)意|AF1|=2|AF