四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期半期調(diào)研期中文科試題含解析

Page2四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期半期調(diào)研（期中）考試文科試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.為了解某高校學(xué)生運(yùn)用手機(jī)支付和現(xiàn)金支付狀況，抽取了部分學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)其喜愛(ài)的支付方式，并制作出如下等高條形圖：依據(jù)圖中的信息，下列結(jié)論中不正確的是（）A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中喜愛(ài)手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量C.樣本中多數(shù)男生喜愛(ài)手機(jī)支付D.樣本中多數(shù)女生喜愛(ài)現(xiàn)金支付【答案】D【解析】【分析】由條形圖數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一推斷【詳解】對(duì)于A，由左圖知，樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量，故A正確，對(duì)于B，由右圖知，樣本中喜愛(ài)手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量，故B正確，對(duì)于C，由右圖知，樣本中多數(shù)男生喜愛(ài)手機(jī)支付，故C正確，對(duì)于D，由右圖知，樣本中多數(shù)女生喜愛(ài)手機(jī)支付，故D錯(cuò)誤．故選：D3.若直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線(xiàn)的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為一般方程，然后干脆得出斜率,【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），所以直線(xiàn)的一般方程為：.所以該直線(xiàn)的斜率為：.故選：C.4.極坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【詳解】由曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：或，故選：A5.柱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：∵柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：，∴，故選：B6.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）之間有下表關(guān)系134573040605070y與x的線(xiàn)性回來(lái)方程為，當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（）A.20 B.-10 C.10 D.-6.5【答案】D【解析】【分析】利用線(xiàn)性回來(lái)方程，令，求得，再求殘差即可.【詳解】解：因?yàn)閥與x的線(xiàn)性回來(lái)方程為，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為-6.5，故選：D7.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及在區(qū)間上的圖象位置，利用解除法可得到答案.【詳解】的定義域，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，可以解除CD，又因?yàn)楫?dāng)，，所以，其圖象在軸下方，所以可解除B.故選：A.8.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，由可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B9.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市．由此可推斷乙沒(méi)去過(guò)的另一城市為（）A.A B.B C.C D.不確定【答案】B【解析】【分析】可先由乙推出可能去過(guò)A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一個(gè)，再由丙即可推出結(jié)論.【詳解】先從乙說(shuō)的動(dòng)身，可以推出乙可能去過(guò)A城市或B城市，再由甲說(shuō)的，可以推出甲去過(guò)兩個(gè)城市A、C，乙只能去過(guò)A和B城市中的一個(gè)，再結(jié)合丙說(shuō)的，利用集合交集的思想，即可推斷出乙肯定去過(guò)A城市，沒(méi)有去過(guò)B城市.故選：B.10.若曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為，則（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】C【解析】【分析】先切點(diǎn)為，利用斜率相等，切點(diǎn)即在直線(xiàn)上，又在曲線(xiàn)上，即可求解.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，又，則有，解得：，故選：C11.定義方程f(x)＝f′(x)的實(shí)數(shù)根x0為函數(shù)f(x)的“和諧點(diǎn)”．假如函數(shù)g(x)＝x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，φ(x)＝ex＋x的“和諧點(diǎn)”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<b【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意得到g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；h′(x)＝cosx－2sinx，由題意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，<b<π；φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1=c.【詳解】函數(shù)g(x)＝x2，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；函數(shù)h(x)＝sinx＋2cosx，h′(x)＝cosx－2sinx，由題意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，即tanx＝－>－，∵x∈(0，π)，∴<x<π，即<b<π；函數(shù)φ(x)＝ex＋x，由φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1，即c＝1.綜上可知c<a<b.故答案為D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，實(shí)質(zhì)考查了方程的應(yīng)用以及常見(jiàn)函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用；求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：(1)遇到連乘積的形式，先綻開(kāi)化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；(2)遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)；(3)遇到困難分式，先將分式化簡(jiǎn)，再求導(dǎo).12.已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，若滿(mǎn)意且，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)求解的解集，再利用轉(zhuǎn)化關(guān)系求的解集.【詳解】令，則，∴函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，又，∴，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，；∴的解集為，故選：D.第Ⅱ卷（選擇題，共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)數(shù)值．【詳解】∵函數(shù)，∴，∴故答案為：14.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由極坐標(biāo)系下點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系及幾何意義即可求解.【詳解】由題，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故答案為：15.已知在處導(dǎo)數(shù)，則______．【答案】2【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】解：因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)，所以，，，故答案為：216.曲線(xiàn):（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)的最長(zhǎng)距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示，為關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或（2）且（3）【解析】【分析】（1）復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則虛部為零，即可得出答案.（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則虛部為不為零，即可得出答案.（3）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部為不為零，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，即或時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，即且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．18.為調(diào)查學(xué)生近視狀況，東部新區(qū)從不同地域環(huán)境的甲、乙兩所學(xué)校各抽取100名學(xué)生參加調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為“近視”與“非近視”兩類(lèi)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：近視人數(shù)非近視人數(shù)合計(jì)甲校5050100乙校7030100合計(jì)12080200（1）甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生近視的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為近視人數(shù)與不同地域環(huán)境的學(xué)校有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.5；0.7（2）有99%的把握認(rèn)為甲校成果優(yōu)秀與乙校成果優(yōu)秀有差異【解析】【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出頻率即可；（2）計(jì)算出卡方，即可推斷；【小問(wèn)1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)得，甲校學(xué)生近視的頻率是，乙校學(xué)生近視的頻率是．【小問(wèn)2詳解】將誒：由題意可得的觀(guān)測(cè)值為，所以有的把握認(rèn)為甲校成果優(yōu)秀與乙校成果優(yōu)秀有差異．19.已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若，求函數(shù)的極值．【答案】（1）；（2）在定義域內(nèi)無(wú)極值.【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)的斜率，從而求切線(xiàn)方程；（2）先求函數(shù)的定義域再求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即得.【詳解】（1）所以即直線(xiàn)斜率由得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即（2）由已知，定義域?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，，，此時(shí)為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)為減函數(shù)所以，在定義域內(nèi)無(wú)極值．20.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2處取得極值－14.(1)求a，b的值；(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1))f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，解方程即可；（2）f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)探討函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，得即解得經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1，b＝－12符合題意，∴a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，x∈，則g′(x)＝2x－＝，當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)1<x≤2時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上單調(diào)遞增．故g(x)在x＝1處取得微小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范圍為(－∞，－9]．【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問(wèn)題，常用方法有：變量分別，參變分別，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；或者干脆求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分別成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為(a，3a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)和(3a，＋∞)，極大值為0，微小值為－a3；（3）【解析】【詳解】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，∴，，∴所求切線(xiàn)方程為即．（2）∵．當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為和．∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為0，微小值為．（3）∵在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，取得最小值．∵不等式恒成立∴解得故a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問(wèn)題，常用方法有：變量分別，參變分別，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；或者干脆求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分別成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).（請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做則按所做的第一題記分．）[選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)是，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為-1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)A，B，求的值．【答案】（1）（t為參數(shù)），（2）【解析】【分析】（1）干脆寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程；由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式得到曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線(xiàn)參數(shù)方程t的幾何意義即可求解.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是，直線(xiàn)l的傾斜角為∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）又由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式得，曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為【小問(wèn)2詳解】將代入得設(shè)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，，則，，依據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程t幾何意義得：.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）分，，三種狀況解