2025屆上海實驗學(xué)校高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆上海實驗學(xué)校高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．2．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．3．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．設(shè)，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i7．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”，為了弄清“國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明8．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．10．已知集合，，則為()A． B． C． D．11．已知，則下列說法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題12．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____14．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．15．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）16．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）ax﹣lnx（a∈R）.（1）若a＝2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)g（x）＝f（x）1，若函數(shù)g（x）在上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為，求的最小值.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，，，，，為的中點，為棱上的一點.（1）證明：面面；（2）當(dāng)為中點時，求二面角余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．22．（10分）某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費(fèi)，超過度但不超過度的部分按元/度收費(fèi)，超過度的部分按元/度收費(fèi)．（I）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.2、D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.3、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準(zhǔn)線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.4、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.5、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過2小時，時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當(dāng)時，，當(dāng)，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因為集合，，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.11、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案．【詳解】當(dāng)時，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為：5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14、0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0【點睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計算是關(guān)鍵，屬中檔題．16、【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當(dāng)時，，則當(dāng)時，得，即函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個子區(qū)間．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）（2）（3，2e]【解析】

（1）當(dāng)a＝2時，求出，求解，即可得出結(jié)論；（2）函數(shù)在上有兩個零點等價于a＝2x在上有兩解，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)，可分析求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝2時，定義域為，則，令，解得x1，或x1（舍去），所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）設(shè)，函數(shù)g（x）在上有兩個零點等價于在上有兩解令，，則，令，，顯然，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，有，即，當(dāng)時，有，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，取得極小值，也是最小值，即，由方程在上有兩解及，可得實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式；（2）由（1）得的最小值為4，則由，代換后用基本不等式可得最小值．【詳解】解：（1）討論：當(dāng)時，，即，此時無解；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所求不等式的解集為（2）分析知，函數(shù)的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查用基本不等式求最小值．解絕對值不等式的方法是分類討論思想．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建系，分別計算出面法向量，面的法向量，再利用公式計算即可.【詳解】證明：（1）因為底面為正方形，所以又因為，，滿足，所以又，面，面，，所以面.又因為面，所以，面面.（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建系如圖所示，則，，,，則，.所以，，，，設(shè)面法向量為，則由得，令得，，即；同理，設(shè)面的法向量為，則由得，令得，，即，所以，設(shè)二面角的大小為，則所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo)，是一道中檔題.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1）∵，點為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分別為，的中點，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令