2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【轉(zhuǎn)化思想】方程中的轉(zhuǎn)化思想（原卷版）

方程中的轉(zhuǎn)化思想

知識方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題?？傊D(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜，

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

4.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的X、＞的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

5.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個二元一次

方程組，求出這兩個未知數(shù)的值.③再把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系

數(shù)比較簡單的方程，得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一元一次方程.④解這個一元一次方程,

求出第三個未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個未知數(shù)的值用合寫在一起即可.

6.解一元二次方程-直接開平方法

形如d=p或（"X+加）2=p520）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成/=〃的形式，那么可得了=土丘；

如果方程能化成（〃x+%）2=p（020）的形式，那么〃x+m=±、后.

注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

7.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為"（a#0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)

數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.

8.解一元二次方程-公式法

（1）把苫=.V（戶-4℃20）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的求根

2a

公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c的值（注意符號）；

②求出廬-4ac的值（若廬-4℃<0,方程無實(shí)數(shù)根）；

③在廬-4℃20的前提下，把°、6、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①aWO；②房-4ac20.

9.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=戶-4℃）判斷方程的根的情況.

一元二次方程ad+bx+cn。（aWO）的根與△=6?-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>?時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=（）時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)AVO時，方程無實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：XI,X2是方程，如+4=0的兩根時，Xl+X2=-P，

xiX2=q,反過來可得p=-(X1+X2),?=X1X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi,X2是一元二次方程。x2+bx+c=0(aWO)

的兩根時，Xl+X2=—殳，X1X2=—,反過來也成立，即2=-(X1+X2),——X\X2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求

另一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，X/+X22等等.④判斷兩根的

符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮aWO,△》()這兩個前提條件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

(1)增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

(2)增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條

件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)

增根.

(3)檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

選擇題(共11小題)

1.(2021春?松江區(qū)期末)下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是()

1y2

A.x2+1=0B.x+-=lC.yj2x+3=-xD.—..........=0

xx+2x

2.（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程——px+q=o變形為爐="一^,就可以將

f表示為關(guān)于X的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3=xf2=x（px-4）=~,

我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”,

己知：x2-x-l=0,且x>0,則d+l的值為（）

A.1+V5B.1-V5C.3-75D.3+75

3.（2020?高青縣二模）己知〃是方程Y+2020x+l=0的兩個根，則

（1+20221+22）（奶+62）的值為（）

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

4.方程組+'="的解為1,則被遮蓋的兩個數(shù)M、N分別為（）

[x+y=3[>=N

A.4,2B.1,3C.2,3D.2,4

5.設(shè)再，/是方程-—3x+l=0的兩根，則+）

A.0B.s/5C.3D.5

6.（2021秋?宣化區(qū)期末）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）

A?x——1B?x=2C.Xj—1,%2=2D?玉——1,x2=2

7.（2020?浙江自主招生）方程&x+l）（x-4）+式x+2）（5-x）=6的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.大于2

8.下列無理方程中，有實(shí)數(shù)解的方程是（）

A.y/x-10—J1-x=1B.y/x—l=-2

C.J3x+2+J2x-1+1=0D.Jx-1=2

9.用代入法解方程組=時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（）

[3x+2y=8

A.3x+4j-3=8B.3x+4x-6=8C.3x—2x—3=8D.3x+2x—6=8

------------＜"Y+4

10.（2021?元陽縣模擬）若關(guān)于X的一元一次不等式組2的解集為9,且關(guān)

于y的分式方程2W-殳9=2有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值為（）

y-l1-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

xx+x2+x3=ax(1)

x2+x3+x4=a2(2)

11.〈X3+%+/=%(3),其中外,a2fa3f%,%是常數(shù)，且可>%>〃3>%>%，貝U再，

%+/+玉=。4G)

x5+x1+x2=a5(5)

x2,x3,x4,x5的大小順序是（）

A.>x2>x3>x4>x5B.x4>x2>^>x3>x5

C.x3>x1>x4>x2>x5D.%5>X3>玉>%4>%2

二.填空題（共3小題）

a

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）已知關(guān)于工的一元一次方？一x+l=2x+冽的解為1=-4,

19

那么關(guān)于V的一元一次方程一（y-2）+1=2（y-2）+m的解為.

y=x2+bx+c

13.（2021秋?虹口區(qū)校級月考）無論左取何值，關(guān)于X、＞方程組＜,左2都只有

kx—y=----Fk

4

——組角軍，貝！J6+c二.

14.已知等式（2Z—7B）x+（34—85）=8x+10對一切實(shí)數(shù)x都成立，則/=,B=.

三.解答題（共4小題）

15.（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎

決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.假定從一個人開始號召，每一個人

每周能夠號召相同的加個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，兩周后，將有121

人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.

（1）求出m的值；

（2）經(jīng)過計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號召，但剛剛開始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題,

實(shí)際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅

的成功率比小穎的兩倍少10%,第一周后小麗比小穎多號召成功4人，三人一共號召成功

19人，其中小穎號召成功了〃人.求出〃值，并分別求出她們?nèi)颂栒俚某晒β?

16.（2021秋?介休市期中）（1）解方程：3（x-2）2=2-x.

（2）下面是小明解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：2x2+4x-8=0

二次系數(shù)化為1,得/+2x-4=0…第一步

移項(xiàng)，得x?+2x=4…第二步

配方，得/+2x+4=4+4,即（x+2）2=8…第三步

由此，可得x+2=±2^/2…第四步

所以，%=2+2亞，Z=-2-20…第五步

任務(wù)：

①上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程,

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是—，其中“配方法”所依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是—；

②“第二步”變形的依據(jù)是—；

③上面小明同學(xué)解題過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，請直接寫出正確的解是—；

④請你根據(jù)平時學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元二次方程時還需要注意的事項(xiàng)為其他同學(xué)提一條意見.

17.（2021秋?南京期中）【閱讀材料】

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為苫=■的形式.求解二元一次方程

組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次

方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化

為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解

法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想--轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/-6/+8X=0,

可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為M--6x+8）=0,解方程x=0和/-6x+8=0,可得方程

x3-6x2+8x=0的解.

【直