江西上饒市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

江西上饒市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.2．中國古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文3．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.34．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.6．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.87．已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.8．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A.10 B.C.5 D.9．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.10．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°11．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則直線BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.12．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營費(fèi)用萬元，從第二年起，每年運(yùn)營費(fèi)用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為___________.14．過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為______.15．如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為，則小球落地的次數(shù)為______16．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作直線交于，其中的周長為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積21．（12分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.22．（10分）已知點(diǎn)，圓C：，l：.（1）若直線過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設(shè)P為已知直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C作一條切線，切點(diǎn)為Q，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.2、C【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.3、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠椒?，所以，由，得，所以，即所以故選：B4、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A5、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.7、D【解析】設(shè)，先求出點(diǎn)，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，設(shè)，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點(diǎn)，則，∴，，即點(diǎn).∵點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.8、B【解析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.9、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導(dǎo)數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當(dāng)時(shí)，取最小值-1，故，故選：D10、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)?，所以，故直線BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.12、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營運(yùn)費(fèi)為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運(yùn)費(fèi)為萬元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為3，“取到的數(shù)小于2”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為1，所以.故答案為：14、【解析】求出切點(diǎn)與圓心連線的斜率后可得切線方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故切線必垂直于切點(diǎn)與圓心連線，而切點(diǎn)與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：即.故答案為：.15、4【解析】設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為m，則由已知可得數(shù)列是從第2項(xiàng)開始以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再設(shè)設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為，由等比數(shù)列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為m，則當(dāng)時(shí)，得出遞推關(guān)系，所以數(shù)列是從第2項(xiàng)開始以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，且，設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為，所以，所以，解得，故答案為：4.16、【解析】求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，取得最小值，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當(dāng)距離最大時(shí)，有最小值，由圖可知，時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí).故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點(diǎn)斜式求出直線的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，則，∴的面積.點(diǎn)睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時(shí)弦長的計(jì)算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計(jì)算公式19、（1）（2）【解析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.（2）第一步設(shè)點(diǎn)設(shè)直線，第二步聯(lián)立方程韋達(dá)定理，第三步條件轉(zhuǎn)化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)榈闹荛L為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.令，②則，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.所以因?yàn)?，所以解得②由①②解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達(dá)定理整體思想求的長，再求點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求面積.【小問1詳解】由題意可得，，則，因?yàn)?，所以，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可知，則點(diǎn)到直線的距離聯(lián)立，整理得設(shè)，，則，從而因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，所以故的面積為21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公比即可得出通項(xiàng)公式；（2）可得是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，解得，因此，；（2），則，所以