2025年中考數(shù)學思想方法復習【轉化思想】圓中的轉化思想（原卷版）

圓中的轉化思想

知識方法精講

1.轉化思想

轉化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思

維方式。所謂的轉化思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過

變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；

將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問

題。總之，轉化在數(shù)學解題中幾乎無處不在，轉化的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成

簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉化的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使

問題得以解決。實現(xiàn)這種轉化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜，

由抽象到具體等轉化思想。

2.垂徑定理的應用

垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問

題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方

法一定要掌握.

3.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點和底角的關系進行轉化.②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”——圓心角

轉化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

4.點與圓的位置關系

(1)點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為r,點尸到圓心的距離。尸=4,則有：

①點P在圓外

②點尸在圓上Qd=r

①點尸在圓內(nèi)QdO

(2)點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的

關系可以確定該點與圓的位置關系.

(3)符號“Q”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

5.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個,那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:

①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.簡記作:

見切點，連半徑，見垂直.

6.扇形面積的計算

(1)圓面積公式：S=Tir2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計算公式：設圓心角是1,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———TTR'或S扇形(其中/為扇形的弧長)

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(4)求陰影面積常用的方法:

①直接用公式法；

②和差法；

③割補法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積.

7.圓錐的計算

（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線.連接頂點與底面圓心的

線段叫圓錐的高.

（2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于

圓錐的母線長.

（3）圓錐的側面積：S9i=^-'2wl=Tirl.

2

（4）圓錐的全面積:S金=$底+5惻=++豆”

（5）圓錐的體積=>^X底面積X高

3

注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等.

選擇題（共6小題）

1.（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長為2,。為對角線的交點，點E,尸分別為

的中點.以C為圓心，2為半徑作圓弧3。，再分別以￡,尸為圓心，1為半徑作圓弧8。,

OD,則圖中陰影部分的面積為（）

A.71—1B.7i—3C.71—2D.4—71

2.（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有80。的三角形紙片，剪去這個80。角后，得到一

個四邊形，則/1+/2的度數(shù)是（）

A.200°B.240°C.260°D.300°

3.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分別以4,C為圓心，以

與的長為半徑作圓，將RtAABC截去兩個扇形，則剩余（陰影）部分的面積為（）c療.

...25「25.5.25

A.24-----7iB.—TcC.24—TID.24------冗

4446

4.（2020?錫山區(qū)校級模擬）某數(shù)學研究性學習小組制作了如圖的三角函數(shù)計算圖尺：在半

徑為1的半圓形量角器中，畫一個直徑為1的圓，把刻度尺。的0刻度固定在半圓的圓心

。處，刻度尺可以繞點。旋轉.圖中所示的圖尺可讀出sin乙4。2的值是（）

5.（2020?河北模擬）已知拋物線>=-2（工-1）（工-9）與x軸交于/,B兩點,對稱軸與拋

物線交于點C,與x軸交于點D,OC的半徑為2,G為OC上一動點，尸為NG的中點，

D.5

6.如圖，在AA8C中，CA=CB,AACB=90°,=2,點。為48的中點，以點。為圓

心作圓心角為90。的扇形DM,點C恰在弧所上，則圖中陰影部分的面積為（）

B

二.填空題（共9小題）

7.（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xQy中，尸（4,3）,。。經(jīng)過點P.點N,

點8在〉軸上，PA=PB,延長尸工,尸3分別交。。于點C,點。，設直線CD與x軸正方

向所夾的銳角為a.

（1）QO的半徑為;

8.如圖，直角ZU8C中，乙4=90。，ZB=30°,AC=4,以/為圓心，/C長為半徑畫四

分之一圓，則圖中陰影部分的面積是—（結果保留萬）.

9.如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是R,油面高為3尺，截面上有油的弓形（陰

2

影部分）的面積為一.

10.如圖，圓錐的母線長是3,底面半徑是1,/是底面圓周上1點，從/點出發(fā)繞側面一

周，再回到N點的最短的路線長是—.

11.如圖，已知直角扇形的半徑=，以02為直徑在扇形內(nèi)作半圓M,過點M

引MP//4O交叁于點P,則就與半圓弧及〃尸所圍成的陰影部分的面積S陰影=.

12.如圖，已知口/BCD中，NN=45。，AD=4cm,以為直徑的半圓。與BC相切于點

B,則圖中陰影部分的面積是

13.已知。。的半徑。4為1.弦N8的長為0,若在。。上找一點C,使/C=G，則

NBAC=

14.如圖，陰影部分的面積為

15.如圖，正方形48C。的邊48=1,礪和就都是以1為半徑的圓弧，則無陰影部分的

兩部分的面積之差是

三.解答題(共6小題)

16.(2021秋?朝陽區(qū)校級期中)如圖，在A43D中，AB=AD,以為直徑的圓交ND于

點、M,交BD于點O,延長/O至點C,使OC=/O,連結CD,BC.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若/A/=3,BO=V5,求cosNZMB.

17.(2021?濱城區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ED=DF,點、E在4C上,以NE

為直徑的O。經(jīng)過點。.

(1)求證：①8c是。。的切線;

②CD。=CE-CA；

(2)若點尸是劣弧的中點，且。￡=3,試求陰影部分的面積.

18.(2021?羅平縣模擬)如圖，48是。。的直徑，/C是弦，點E在圓外，于點

D,BE交OO于點F,連接BD、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求證：NE是。。的切線；

(2)求證：OB2=OD-OE；

(3)設A54D的面積為E，A3DE的面積為其，若tanNOD8=—,求」的值.

123S,

19.(2021?商河縣校級模擬)(1)初步思考:

如圖1,在APCB中，已知尸2=2,BC=4,N為3C上一點且3N=1,試證明：PN=-PC

2

(2)問題提出:

如圖2,已知正方形48CD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求

PD+工尸C的最小值.

2

(3)推廣運用:

如圖3,已知菱形/BCD的邊長為4,48=60。，圓8的半徑為2,點尸是圓3上的一個動

PD--PC的最大

圖3

20.問題提出

(1)如圖1,正方形/BCD的對角線交于點。，ACDE是邊長為6的等邊三角形，則。、E

之間的距離為—；

問題探究

(2)如圖2,在邊長為6