2025年中考數(shù)學思想方法復習【新定義問題】數(shù)與式中的新定義問題（原卷版）

數(shù)與式中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的

含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。

方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結合生活實際,

再將問題轉化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.列代數(shù)式

(1)定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，

就是列代數(shù)式.

(2)列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語,

仔細辯析詞義.如“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②

分清數(shù)量關系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系.③注意運算順序.列代數(shù)式

時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低

級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要

求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；

除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加

括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當運用.⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有

時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”

簡寫作或者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成

假分數(shù).

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除號），而是寫成分數(shù)的形式.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式.

（2）利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關系，設出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.取整函數(shù)

取整函數(shù).

不超過實數(shù)X的最大整數(shù)稱為X的整數(shù)部分，記作[X].

X-[x]稱為X的小數(shù)部分，記作｛%｝.

（需要注意的是，對于負數(shù)，區(qū)指的并不是X小數(shù)點做右邊的部分，任｝指的是X小數(shù)點右

邊的部分，例如對于負數(shù)-3.7,L3.7]=-4,而不是-3,此時任｝=-3.7-（-4）=0.3,

而不是-0.7）

取整函數(shù)的圖象一般都有跳躍性.

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?南沙區(qū)期末）定義新運算“〃名）6”：對于任意實數(shù)a,6,都有a=,

其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如3名）2=（3--2=-1.若工③左=0（左為

實數(shù)）是關于X的方程，且x=2是這個方程的一個根，則后的值是（）

A.4B.-1或4C.0或4D.1或4

2.（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果/=N（a>0,awl）,那么x叫做以.為底N的對數(shù),

記作x=log,N.例如：因為7?=49,所以log749=2；因為5二125,所以log,125=3.則

下列說法中正確的有()個.

?log66?36；②10g381=4；③若log4(a+14)=4,貝[a=50；@log2128=log,16+log28；

A.4B.3C.2D.1

、為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為Iab

3.（2020秋?安新縣期末）定義廣\=ad-be

Ca

V+1Y—2

那么當％=1時，二階行列式I3二I的值為（）

A.7B.-7C.1D.-1

4.（2021秋?六盤水月考）對于有理數(shù)a,b,定義aOb=2a-b,貝!][(x—y)O(x+>)]。3x

化簡后得（）

A.-x+yB.-x-6yC.-x+6yD.-x+4y

5.（2021秋?瑞安市月考）格子乘法是由明代數(shù)學家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》

一書中提出，例如圖1所示計算89x65,將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)65計入右行.然后

以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個數(shù)字，將結果計入相應格子中，最后斜行加起來,

即得5785.現(xiàn)用格子乘法進行如圖2計算，問：根據(jù)該計算得到的最終結果是（）

6.（2021秋?德城區(qū)校級月考）對于正整數(shù)"，我們定義一種“運算”：①當“為奇數(shù)時，結

果為…；②當"為偶數(shù)時，結果上并且運算重復進行.例如，取“，則若12,

則第2019次運算的結果是（）

9第1次運完，w第2次運算「5第3次運生，6

A.2018B.2017C.2D.1

二.填空題（共7小題）

7.（2021秋?海曙區(qū)期末）對實數(shù)0、6規(guī)定一種新運算△，若a△6=成-6,則方程2=0

的解是―.

8.（2021秋?順義區(qū)期末）對于任意的正數(shù)a,6,定義運算“*”如下：0*6=竹一,3），

計算（3*2）+（48*50）的結果為.

9.（2021秋?遷安市期末）對于實數(shù)產(chǎn)，我們規(guī)定：用｛J5｝表示不小于信的最小整數(shù).例

如：｛4｝=2,｛百｝=2,現(xiàn)在對72進行如下操作：

72第一次卜歷｝=9第二次卜聞=3第三次卜同=2,即對72只需進行3次操作后變?yōu)?.類

比上述操作：對36只需進行一次操作后變?yōu)?；如果只需進行3次操作后變?yōu)?的所有

正整數(shù)中最大的數(shù)為—.

10.（2021秋?金牛區(qū)期末）規(guī)定“①”是一種新的運算符號：a^b=a-+ab-\,已知

3①（2①x）=-l,則》=.

11.（2021秋?成都期末）對于實數(shù)x,y,定義新運算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c

是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算.已知3*2=7,5*3=16,那么1*1=—.

12.（2021秋?福田區(qū)校級期末）規(guī)定：符號［幻叫做取整符號，它表示不超過x的最大整數(shù),

例如：［5］=5,［2.6］=2,［0,2］=0.現(xiàn)在有一列非負數(shù)%,a2,%，…，已知％=10，當

小母時，an=%+1-5（［『］一［*］），貝U?2022的值為.

13.（2021?金鳳區(qū)二模）定義新運算：對于任意實數(shù)a,b,都有?十b=a（6+l）-6,等式

右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：3?2=3x（2+l）-2=9-2=7.

（1）2十（-3）=.

（2）若-2十x等于-5,貝Ux=.

三.解答題（共13小題）

14.（2021秋?順德區(qū)期末）用“③”定義一種新運算：對于任何有理數(shù)x和y,規(guī)定

cl/、

2x+-y(jc^)

x?j;=J.

1

y--x(zx>y)

(1)求2便)(一3)的值；

(2)若(-/)便)2=冽，求冽的最大整數(shù)；

(3)若關于〃的方程滿足：1笆)〃=-3〃-2,求〃的值；

2

(4)若一」/=」：一號產(chǎn)一2/2,-B=--t3+2t2+3t+\,且/③3=-2,求5+12/—2/的

33322

值.

15.(2021秋?門頭溝區(qū)期末)對于任意兩個非零實數(shù)a,b,定義運算⑤如下:

a?b=-K(a>0).

Q+b(4<0)

如：2(8)3=g,(-2)03=-2+3=l.

根據(jù)上述定義，解決下列問題：

(1)V60V3=,(-亞)?后=；

(2)$n^(x2+l)?(x2-x)=l,那么x=；

(3)如果(/-3)區(qū)x=(-2)(8)x,求x的值.

16.(2021秋?通州區(qū)期末)現(xiàn)有四個正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為；將相鄰的

兩個數(shù)作差再取絕對值.圖1是小歡兩次操作的示意圖：

(1)圖2是兩次操作的過程，請將空缺的數(shù)補全；

圖2

(2)在經(jīng)過若干次操作后，如果這4個整數(shù)最終都變?yōu)?,我們就稱其進入了“穩(wěn)定狀態(tài)”.請

將1,2,3,4以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進入“穩(wěn)定

狀態(tài)”，請畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過程；

(3)1,3,6,加這4個正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上.如果通過三次操作進入

圖1

17.(2021秋?魯?shù)榭h期末)用“△”定義一種新運算：對于任意有理數(shù).、b,規(guī)定：

b=ab2-2ab+a,例如：1A2=1X22—2xlx2+l=l.

(1)求(-2)43的值；

(2)求q43的值；

2

(3)若(1必5=4,求x的值.

18.(2021秋?武昌區(qū)期末)知識背景：已知。，6為有理數(shù)，規(guī)定：f(a)=|a-2|,g(b)

=|6+3|,例如：/(-3)=|-3-21=5,g(-2)=|-2+3|=l.

知識應用：

(1)若/(a)+g(b)=0,求3a-56的值；

(2)求/'(a-l)+g(a-l)的最值；

知識遷移：若有理數(shù)a,b,c滿足|。-6+。+3卜。+6+。-3,且關于x的方程

ax-2c=2a-ex有無數(shù)解，f(2b-4)0,求|a+26+c+5|-1a+6+c+7|-1-3-b|的值.

19.(2021秋?北京期末)我們規(guī)定：使得a-6=成成立的一對數(shù)a,6為“積差等數(shù)對”,

記為(a,6).例如，因為L5-0.6=1.5x0.6,(-2)-2=(-2)x2,所以數(shù)對(1.5,0.6),(-2,2)

都是“積差等數(shù)對”.

(1)下列數(shù)對中，是“積差等數(shù)對”的是一；

①(2,§)；?(1.5,3)；③(一5，-1).

(2)若伏，-3)是“積差等數(shù)對“，求后的值；

(3)若(加,〃)是“積差等數(shù)對“，求代數(shù)式4[3〃2"-7"-2(〃"2-1)]-2(37"2-2")+6〃22的值.

20.(2021秋?工業(yè)園區(qū)期末)對于任意有理數(shù)°、b,如果滿足@+2那么稱它們

232+3

為“伴侶數(shù)對”，記為(。,6).

(1)若(x,2)是“伴侶數(shù)對”，求x的值;

(2)若(根,〃)是“伴侶數(shù)對"，求3〃+；[5(3m+2)-2(3加+〃)]的值.

21.(2021?九龍坡區(qū)校級模擬)對于一個四位自然數(shù)N,如果N滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全

相同且均不為0,它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱

這個數(shù)N為“差同數(shù)”.對于一個“差同數(shù)”N,將它的千位和個位構成的兩位數(shù)減去百

位和十位構成的兩位數(shù)所得差記為s,將它的千位和十位構成的兩位數(shù)減去百位和個位構成

的兩位數(shù)所得差記為規(guī)定：P(N)=匕空.例如：#=7513,因為7-3=5-1,故：7513

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是一個“差同數(shù)”.所以：s=73-51=22/=71-53=18,則：F(7513)=22^36=2.

(1)請判斷2586、8734是否是“差同數(shù)”.如果是，請求出尸(N)的值；

(2)若自然數(shù)尸,。都是"差同數(shù)",其中尸=1000x+10y+616,0=100加+〃+3042(1^9,

1加啰，(ME，x,y,m,"都是整數(shù))，規(guī)定：k=當3尸(尸)一尸(。)

能被11整除時，求發(fā)的最小值.

22.(2021?寧波模擬)規(guī)定一種新運算0派6=片-2，.

(1)求(-1)X2的值；

(2)這種新運算滿足交換律嗎？若不滿足請舉反例，若滿足請說明理由.

23.(2020?河北一模)有一種用定義的新運算，對于任意實數(shù)a,b,都有

b=b2+2a+\.例如7^4=4?+2x7+l=31.

(1)已知-m+3的結果是-4,則加=.

(2)將兩個實數(shù)2〃和〃-2用這種新定義加以運算，結果為9,則〃的值是多少？

24.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)在數(shù)軸上，。為原點，點、A,2對應的數(shù)分別是a,

b(a#b,ab豐0),“為線段的中點.

給出如下定義：若。4+。8=4,則稱/是2的“正比點”；若。4x03=4,則稱/是2的

“反比點”.例如a=2,6時，/是B的“正比點”；a=2,6=-2時，/是3的''反