2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義（五大題型）

專題03概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：二項(xiàng)式定理新定義

題型二：排列組合新定義

題型三：概率新定義

題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義

題型五：信息端問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問(wèn)題.總

之，解決此類問(wèn)題，取決于己有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的實(shí)踐

和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

【典型例題】

題型一：二項(xiàng)式定理新定義

【典例1-1】（2024?湖南衡陽(yáng)?二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)”都可以

被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：九=可席…優(yōu)（左為”的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，P，為質(zhì)數(shù)，

=例如：90=2X32X5>對(duì)應(yīng)1=3,R=2,%=3,2=5,==1，2=2,，=1.現(xiàn)對(duì)任意

l,n=l

〃eN*,定義莫比烏斯函數(shù)〃⑺=<（一球，4=4=,,,=〃=1

0,存在01

⑴求〃（78）,〃075）；

（2）若正整數(shù)%〉互質(zhì)，證明：〃（孫）=〃（耳〃（耳；

⑶若〃>1且〃（〃）=1，記〃的所有真因數(shù)（除了1和"以外的因數(shù)）依次為如出，…，4”，證明：

〃（《）+〃（出）+…+〃（％）=—2?

【解析】（1）因?yàn)?8=2x3x13,易知左=3,0=2,p2=3,p3=13,z;=1,^=1,^=1,

所以〃（78）=（—1）3=—1；

又375=3x53,因?yàn)?的指數(shù)3>1,所以〃（375）=0；

⑵①若x=l或。=1,因?yàn)椤á?1,所以〃（孫）=

②若尤,ywi,且存在質(zhì)數(shù)。，使得x或y的質(zhì)因數(shù)分解中包含//（廠>1）,則w的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含

p'，

所以〃（孫）==°，

③若羽ywl,且不存在②中的P,可設(shè)x=“02…=…%,

其中P1，P2…口1,4"％…%均為質(zhì)數(shù)，則?=P|P?…040…4，

因?yàn)橛?y互質(zhì)，所以Pi，p『5""%…p互不相等,

所以M孫)=(一1戶=(T>(T)'=〃(*)〃(y)，

綜上可知M盯)=〃(力〃3

(3)由于〃(")=1,所以可設(shè)“="。2…P”k為偶數(shù),

”的所有因數(shù)，除了1之外都是R，P2,…，"中的若干個(gè)數(shù)的乘積，從％個(gè)質(zhì)數(shù)中任選《，=1,2,…,女)個(gè)數(shù)的

乘積一共有C；種結(jié)果，

所以〃⑴+〃(％)+4(%)+…+4(4)+〃(〃)

=〃(l)+[〃(Pl)+〃(〃)+…+〃(〃)]+[〃(。1。2)+〃(。2。3)+…+〃(PlPj]+…+〃(〃)

=I+C1(T)+C(T)2+…+優(yōu)(一1廣+(一以=(1一1)*=。，

所以…=O_"(l)_M(n)=—2.

【典例1-2】(2024.安徽合肥?一模)“4-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)q是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意

〃cN*,定義“4-數(shù)”(嘰=1+4++/T利用“4-數(shù)”可定義“4-階乘"("/二⑴涅山(初，且(0兒=1.和

“4—組合數(shù)”，即對(duì)任意上eN,附eN*,kW力

⑴計(jì)算:

(2)證明：對(duì)于任意左,〃wN*,左+1?〃,

n+m+l\(〃\C

⑶證明：對(duì)于任意％,加￡N,〃6N*,左+1<〃，

【解析】(1)由定義可知，

[5)=⑸!2⑴2⑵2⑶式4)2(5)2

【31一(3)!2(2)C[(1)2(2)2(3)2][(1)2(2)2]

_(4)式5)2_(1+2+22+23乂1+2+22+23+2，).⑶

⑴2⑵21X0+2))

(磯5)/(1/

(左)!“〃一女兒[k}\q{n-k)\q

n-1n-1n八5

+qk?q+?q

k-1k傳T)!“〃_女兒。兒("%T兒

qq

=(小

kklknkx

又(k)q+q\n-k)q=l+q++q~+q(\+q++q~~)

=l+q++/i=(心

所以m+1

（3）由定義得:

對(duì)任意keN,weN*,后

結(jié)合（2）可知

n+m+1n+m\n+m-kn+m

所以

z+1k+1k

qqq

n+m

\Jn+m-\\=,_Jn+m-1

k+1k

k+1[I)qI

上述加+i個(gè)等式兩邊分別相加得：

（[n+%m+1+l\（n「孕工’Ink+i:\

【變式1-1]（2024?高三.江蘇蘇州?階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為

”,若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變

量X的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量

4的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量”的值為這兩

條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?

（1）比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大??；（參考數(shù)據(jù)

arctan^5?0.3661,arctan?0.2677,arctan2^2?0.3918）

（2）現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng)"，記（x+l）x（x+gjx+且〃eN*）,其展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為S“，含

f項(xiàng)的系數(shù)為T”.

①若*a/+b"+c，對(duì)"=2,3,4成立，求實(shí)數(shù)b,c的值;

②對(duì)①中的實(shí)數(shù)。，b,c用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意〃22且“eN*，3=M2+加+。都成立.

【解析】（1）如圖所示：

由題意設(shè)。/為正四棱錐。-ABCE的高，G為A3中點(diǎn)，

由于正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都是2,

所以AC=BE=2&,￡>B=2,所以=

由對(duì)稱性以及三線合一可知DG=后斤=V5，

若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,

則X的所有可能取值為]x2x2=2，x2x岔=6，x2&x2=2近，

222

且P（X=2）="=|,尸（X=2碼=,.中=&）=卷=|,

所以個(gè)）=（>2+“應(yīng)+|x如=4+22+2占>4+2X；+2X2=2,

若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條,

則4的所有可能取值為"I，。,arctan君,arctan]g,arctan272,

廠/八714c22

E<)=—x-----i-Ox-----1-arctan一+arctan2^2x

v7228282828

代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)arctan#i?0.3661,arctanX0.2677,arctan2V2?0.3918,得1.0890,

M

若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條,

則力的所有可能取值為1TT*TT0,

兀187112c613KY……

磯〃)=—x-----1——x-----FOX——=——?1.1345

2363363636

所以E(X)＞磯叼〉E?.

(2)①因?yàn)?x+l)x[x+g]xx[x+)]中x項(xiàng)的系數(shù)為S",

一般地，從(x+l)x(x+；卜x[x+：]中的第七個(gè)因式中取一個(gè)x,其余因式中取常數(shù)即可得到一個(gè)x

項(xiàng)，

知在k1+2++nn(n+1)

而這一項(xiàng)的系數(shù)為一；，S=---------------=———-)

n\nn\2-nl

因?yàn)?尤+l)x(x+g)x+中f項(xiàng)的系數(shù)為T“，

一般地，從(x+l)x[x+g]xx[x+：]中的第個(gè)因式中各取一個(gè)x,其余因式中取常數(shù)即可得到

一個(gè)/項(xiàng),

,，]

而這一項(xiàng)的系數(shù)為之，從而Eij,

n\^\<i<j<n

2x333x44x55

從而S==1,S4=

22x2!22x3!2x4!"12?

旦1X2+1X3+2X3JIx2+lx3+lx4+2x3+2x4+3x435

22!33!644!"24

4a+2b+c=—=—

S23

由題意中+3"W解得“4,八-5c=J

16a+4b+c=—=—

邑2

—T,3ra2-n-2+Z

②用數(shù)學(xué)歸納法證明：“22且〃eN*時(shí)，-^=an2+bn+c=---=~卷——

7^__j__2_

--

當(dāng)〃=2時(shí)，s233-4126，故結(jié)論對(duì)〃=2成立，

2

假設(shè)結(jié)論對(duì)n=k22,keN*成立,即今=合爐=（1譬+2）,

、k1/iz

k\Tk/x

幾I+_%!看+信+1）（1+2++%）_人工+化+1"！&_聽+1+）

IJI11=----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

加優(yōu)+1）!加（左+1）!%45+優(yōu)+1）1+A±1

黑+化+1）--1）"+2）+%+1

k+i-_

i+---------------i+—

1+2+…+左k

_（"0（3左+2）+12左+12_3/+11）+10_信+2乂3左+5）

[（A+1）-1工3（左+1）+2]

12

所以結(jié)論對(duì)〃=左+1也成立，

故?=?！?+bw+c=^---------------,對(duì)任意"22,”eN”成立.

S.12

題型二：排列組合新定義

【典例2-1】（2024.高三.北京.階段練習(xí)）設(shè)"為正整數(shù)，集合A={a|a=外,*{01},左=1,2,,n.

對(duì)于集合A中的任意元素￡=（玉,々，…,％）和分=定義

1（%月）=|%一乂|+卜一對(duì)++\xn-yn\-

⑴當(dāng)”=4時(shí)，若以=（0,1,0,1）,若=（1,1,0,1）,直接寫出所有使d（a，7）=2,d（Q,7）=3同時(shí)成立的A的元素

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)3是A的子集，且滿足：對(duì)于3中的任意兩個(gè)不同元素a,回北％夕）22.求集合3中元素

個(gè)數(shù)的最大值；

⑶給定不小于2的“，設(shè)8是A的子集，且滿足：對(duì)于3中的任意兩個(gè)不同的元素以￡,〃（0,022,寫出

一個(gè)集合8,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.

【解析】⑴?.?=（0,l,0,l）,J（a,y）=2

???滿足條件的/有

a0101

Y0000

ye｛（0,0,0，。），（0,0，1，1），（0，1，1，0）｝（2）列出集合4的元素

000

001

010

011

100

101

110

111

B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素a,p,d（a,￡巨2

滿足條件的集合8的元素的個(gè)數(shù)的最大值為4.

001

010

100

111

(3).d(a,夕巨2

???8中的元素應(yīng)該含有奇數(shù)個(gè)1

若"=2,則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有C；=2個(gè)；

若n=3,則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有1+優(yōu)=4個(gè)；

若n=4,則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有《+優(yōu)=8個(gè)；

若"=5,則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有《+《+雋=16個(gè)；

當(dāng)〃=3時(shí)，B={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1))

【典例2-2】(2024?高三?浙江?開學(xué)考試)一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(duì)(％,%，,、耳)稱為“維向量.對(duì)于兩個(gè)〃維

向量。=(4，出，，%),6=(4也，也)，定義：兩點(diǎn)間距離d=J(4-aJ?+色一的J+…+(X-%利用

“維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)

標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離4，，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離4最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，

得到業(yè)務(wù)能力分值(卬)、管理能力分值(%)、計(jì)算機(jī)能力分值(%)、溝通能力分值(%)(分值

%eN*,^e{l,2,3,4}代表要求度，l分最低，5分最高)并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見下表：

業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計(jì)算機(jī)能力分值溝通能力分值合計(jì)分

崗位

(4)(%)3)(%)值

會(huì)計(jì)⑴215412

業(yè)務(wù)員

523515

⑵

后勤⑶235313

管理員

454417

(4)

對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量

"=的四個(gè)坐標(biāo).

(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方力均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.

⑴小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為4=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)

123、4的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；

(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(0分別為

而14石13石9‘熱7(?"行"試d2求小明]的各項(xiàng)能力分信

【解析】⑴將四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)12,13,15,17,

又,="0=4x0.75=3,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為號(hào)2=16.

(2)⑴由圖表知，會(huì)計(jì)崗位的樣本點(diǎn)為4=(2』,5,4),則葉=(2-4)2+(1-3)2+(5-2)2+(4-5)2=18,

業(yè)務(wù)員崗位的樣本點(diǎn)為分=(5,2,3,5),則d；=(5-4>+(2-3>+(3-2)2+(5-5)2=3,

后勤崗位的樣本點(diǎn)為鳳=(2,3,5,3),則d；=(2-4>+(3-3>+(5-2f+(3-=17,

管理員崗位的樣本點(diǎn)為力,=(4,5,4,4),則/=(4-4)2+(5-3)2+(4-2>+(4-5)2=9,

所以&<&<&<4,故小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位.

?四種職業(yè)1234的推薦率⑺分別為m，。且。"力+小?廠

力14

，

14T幺+++

d；+d；+d；+d：43-

43

d；_1341332逍4

=一I+++

+d；++d；4343

9

所以■j2,得到

虜

一d&

dl9-+++

d；+d；+d；+d：4343

7

4T成d2*

d；_7-++3+

d；+d；+d；+d；4343

又d：(ne{1,2,3,4})均小于20,所以#+召+存+或<80,且/eN*(海{1,2,3,4}),

故可得到片=14,以=13,據(jù)=9,或=7,

設(shè)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為a,》,Gd,且a,b,c,deN*,

l<a,b,c.d<5,

依題有(〃-2)2+(b—I)?+(c-5)2+(d-4)2=d；=14①，

(a-5)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-5)2=dl=13(2),

(a-2y+S-3y+(c-5y+(d-3>=d；=9③，

(a—4/+S—5)2+(c—4/+(d—4)2=d：=7④，

由①一③得，

(a-2)2+(Z?-1)2+(c-5)2+(rf-4)2-[(a-2)2+(b-3)2+(c-5)2+(^-3)2]=14-9=5,

整理得：2b—d=3,

b=2,d=l

故有<0=3,d=3三組正整數(shù)解,

b=4,d=5

對(duì)于第一組解，代入④式有(a-4)2+9+(c-4)2+9=7,不成立；

對(duì)于第二組解，代入①式有(。-2)2+(c-5)2=4,

缶=4[a—1

解得「或。，代入②④式均不成立；

[c=51c=3

對(duì)于第三組解，代入②式有5-5)2+(c-3)2=9,

4=2

\a=1…………b=4

解得，，代入①②③④均成立，故,;

[c=3c=3

d=5

故小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為2,4,3,5.

題型三：概率新定義

【典例3-1】(2024?浙江?一模)混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢

測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混

管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性.假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為

目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)/(Xjut+XX,這里X指該組樣本N

個(gè)人中患病毒的人數(shù).

⑴證明：E[〃X)]Z2JF.N；

(2)若OvpvlOr104KW20.證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人

為陽(yáng)性.

【解析】⑴由題意可得X滿足二項(xiàng)分布XB(N,p),

由E(aX+6)=aE(X)+。知，E\_f(X)l=—+K-E(X)=—+K-pN>2^-N,當(dāng)且僅當(dāng)，=&時(shí)取等

KKK

號(hào)；

(2)記A=p(混管中恰有1例陽(yáng)性|混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性)，

4=p(混管中恰有i例陽(yáng)性尸C，KP’(1一p廣，i=0,1,,K,

令/z(x)=e-_2/]0-3<彳<2乂]0-3,

則=

當(dāng)xe(-2xl(F3,0)時(shí)，/z(x)為單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,2x10-3)時(shí)，〃")>o,為單調(diào)遞增，所以〃(x)N〃(O)=O,

2xlo-3-32xl-3

且〃(-2x10-3)=e--(-2xlO^-l-O,/z(2xl0)=e°-(2x10^)-1~0,

所以當(dāng)—2xl(f3<x<2xl(f3,e，-尤—IBO即e，~x+l,兩邊取自然對(duì)數(shù)可得％句110+1),

所以當(dāng)0<P<1()Y,10WKV20時(shí),

所以(1_?>=6.。切?e7Kp?1—Kp，

4_"(1-廣&[1-伍一1)同

貝”=

i-]-(1-域Kp

故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性.

【典例3-2】(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來(lái)，隨著人們對(duì)

隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X,Y是

離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件丫=》條件下的期望為

P(X=x^Y=y｝(、

E(XW=y)=,P(X=尤/y=y)=>再■l'，其中｛4%,…,當(dāng)｝為X的所有可能取值集合,

i=li=lrv-y)

p(X=x,y=y)表示事件“x=x”與事件“Y=y”都發(fā)生的概率.某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目

標(biāo)的概率均為p(0<〃<l),射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.設(shè)J表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，"表

示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù).

⑴求尸仁=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求E(的=5),22).

【解析】(1)由題設(shè)，P值=2,〃=5)=(1—。>,(1一。>(1—。)/=(1一。)3/,

尸何=5)=C(1一。只/=縱1一pFp2.

(2)由題設(shè)，夙目〃=5)=1[%><?(J=x,，〃=5)

i=l尸(〃=5)

P(〃=5)4442

同(1),PS=n)=2P2=(n_1)(1_pr-2p2，P(Ji〃=")=(i_pyTp2,

x

3尸(《，〃=〃)12n-25T廠l+D

所以項(xiàng)目"")?印〉P(L)^^+百+…+”產(chǎn)

22

【變式3-1](2024.福建漳州.一模)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字。和1組成的序列，發(fā)送每個(gè)信號(hào)數(shù)字之間

相互獨(dú)立.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.

⑴記發(fā)送信號(hào)變量為x,接收信號(hào)變量為「且滿足P(X=O)=；,p(y=i|x=o)=|,

p(y=0|X=l)=|,求尸(y=0)；

an

(2)當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為J,定義隨機(jī)變量7的“有效值”為“(〃)=-=x,)lgP(〃=x;)

4z=i

(其中天是〃的所有可能的取值，，=1，2,…發(fā)送信號(hào)“000”的接收信號(hào)為“％力%”，記4為%，%，%

三個(gè)數(shù)字之和，求4的“有效值”.(1g3?0.48,1g2?0.30)

i2

【解析】⑴由題意可知：p(x=i)=i-p(x=0)=-,p(y=oix=o)=i-p(y=i|x=o)=-,

所以尸(y=o)=尸(y=0|X=0)尸(x=o)+尸(y=0|X=l)尸(X=l)=gx：+；x；=H

(2)由題意可知：當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為3:，接收為1的概率為1:，

44

可知：4的可能取值有0，1，2,3,

則尸("°)=03=葛尸(9)=叫

…心盜[吟吟3)二審$,

—小片山—+〃/八(27、2727.279.9

'/16464646464646464)

54QA-|45

=——(31g3-61g2)+—(21g3-61g2)-—1g2=——-Ig3+61g2

_o4o4o4Jlo

45

?——x0.48+6x0.30=0.45,

16

即J的“有效值”約為0.45.

題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義

【典例4-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)％0=1,2,.,，20)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)%。=1,2,,20)

如下表：

學(xué)生編號(hào)i12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)W100999693908885838077

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)B29016022020065709010060270

學(xué)生編號(hào)i11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績(jī)X,75747270686660503935

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)％4535405025302015105

20

計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是元=75,知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是9=90,并且元)丁6464

Z=1

2020

￡(X-J)2=149450,￡(x,.-x)(y,-y)=21650.

上1Z=1

(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).

(2)設(shè)NeN*,變量x和變量丁的一組樣本數(shù)據(jù)為｛(%,?)1，=1,2,,,N｝,其中x,(i=l,2,,N)兩兩不相同，

%(i=l,2,,N)兩兩不相同.記尤，在卜|“=1,2,,N｝中的排名是第4位，%在舊舊=1,2,,N｝中的排

名是第S,位，1=1,2,,N.定義變量x和變量y的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)，，(記為夕)為變量x的排名和變量y的

排名的樣本相關(guān)系數(shù).

6N

⑴記4=4f,i=i,2,,N.證明:N(N?一余與.

(ii)用⑴的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(精確到0。1).

(3)比較(1)和(2)(ii)的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).

ZU-元n

i=ln(n+l)(2n+l)

注：參考公式與參考數(shù)據(jù).；ILK=；76464x149450?31000.

￡(^-^)2￡(x-y)2k=l6

/=1Z=1

【解析】(1)

由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)為

20

Z&-元)(y-9)

2165021650…

i=l?--------?0.70

2020

￡(x..-x)2￡(x-y)276464x1495031000

i=li=l

(2)⑴證明：因?yàn)椋?｝和｛Sj都是1,2,LN的一個(gè)排列，所以

fN44Ns,.=N(N+1)

Z=1Z=12

NNN(N+1)(2N+1)

=￡s；=

1=11=16

N+l

從而｛?｝和｛S｝的平均數(shù)都是R=S=2

NQNNNN2N(N+1)(2N+1)N(N+1yN(N+1)(N-1)

因此，f(K-R)=￡&-2應(yīng)史=^R；-NR

i=lZ=1?=1Z=16412

N_

2N(N+1)(N-1)

同理可得E(s,-?y=

Z=112

NcN

NNcR,_R)_(S「用2

由于fd；本(R「s)-==2(兄-R)+2(E-s可-2t(6-Q(s,「子)

1=1Z=1Z=1i=\?=1

N

一2±(4一用母一目,

12i=l

NWV+IXN-l)」0

-司(E-于)

126lNx；

i=l2日—i_

所以夕二=(

N(N+1)(N—1)NN2-1)Z=1

12

(ii)由題目數(shù)據(jù)，可寫出與與S,的值如下:

同學(xué)編號(hào)i12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)排名%12345678910

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名S/p>

同學(xué)編號(hào)i11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績(jī)排名&11121314151617181920

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名S,12141311161517181920

N

所以N=20,并且￡力=9xO2+4xl2+3x22+2x32+lx42+lx82=114.

i=l

因此這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是

p=\——7—-~~X114~O.91

20(202-1)7

(3)答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系

數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；

答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無(wú)關(guān)，只與排名有

關(guān).如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)

系.

【典例4-2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))冰雪運(yùn)動(dòng)是深受學(xué)生喜愛(ài)的一項(xiàng)戶外運(yùn)動(dòng)，為了研究性別與學(xué)生是否喜

愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表

(m<40,/7/eN).

喜愛(ài)不喜愛(ài)

男生80-m20+m

女生60+m40-m

(1)當(dāng)相=0時(shí)，從樣本中不喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中

隨機(jī)抽取3人調(diào)研不喜愛(ài)的原因，記這3人中女生的人數(shù)為求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(2淀義/=Z(%一%)(2ViV3,2V其中％為列聯(lián)表中第i行第，列的實(shí)際數(shù)據(jù)，如

%

為列聯(lián)表中第i行與第?;列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如4.2=8。-"，

功,2=黑乂黑x200=70.基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)變量X,F相互獨(dú)立)，然后

計(jì)算六的值，當(dāng)K?、五時(shí)，我們推斷“0不成立，即認(rèn)為X和y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

否則，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷“。不成立，可以認(rèn)為X和y獨(dú)立.根據(jù)K2的計(jì)算公式，求解下面問(wèn)題:

①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，依據(jù)小概率值1=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)？

②當(dāng)機(jī)<10時(shí)，依據(jù)小概率值&=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)，則至少有多少

名男生喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí)，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的6人中，男生有2人，女生有4人,

由題意可知，J的可能取值為1,2,3.

「2cl3

2信=1）=罟.1，%=2）=罟=|3,P（1）=罟c°C1

(2)①零假設(shè)為H。：性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)獨(dú)立，即性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)聯(lián).

當(dāng)m=0時(shí)，42=80,B22=70,43=20,B23=0.5x0.3x200=30,

A32=60,B32=0.5x0.7x200=70,A33=40,B33=0.5x0.3x200=30,

（4,2一區(qū)2,2）+（4,3-82,3）+（4,2-員,2）+（&3-四,3）

K2=

°2,243員2B33

22

（80—70）2（20—30）2（60-70）（40-30）200八…

=-----x9.524?

70-3070-3021

9.524>7.879=x0005,

,根據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005.

②如_（80一機(jī)―70『+.（J+機(jī)—30）2+（60+機(jī)一70）2+（40-m-30）2_2（10-m）2

'—70307030—21

由題意可知，>2,706,整理得（10-帆）2228.413.

又m<10,m<4,加的最大值為4.

X80-4=76,，至少有76名男生喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng).

【變式3(2024.高三北京.期末)在測(cè)試中‘客觀題難度的計(jì)算公式為月吟，其中為第i題的難度,

(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望;

⑶定義統(tǒng)計(jì)量5=匕(尸；-6)2+(只-￡)2++(尸；-月,溝，其中P'為第i題的實(shí)測(cè)難度，耳為第i題的預(yù)估難度

n1

。=1,2,,〃).規(guī)定：若S<Q05,則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)

估是否合理.

【解析】(1)因?yàn)?0人中答對(duì)第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為4=0.2,

所以估計(jì)240人中有240x0.2=48人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題.

(2)X的可能取值是0,1,2.

C1C132C23

p（X=l）=^A=2_.P（X=2）=W=3

C；o9595

⑶第1題的實(shí)測(cè)難度為*0.8,同理可得：第2題的實(shí)測(cè)難度為*0.8,

1414

第3題的實(shí)測(cè)難度為三二0.7,第4題的實(shí)測(cè)難度為三二0.7,第5題的實(shí)測(cè)難度為0.2,

故S=J(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0,012.

因?yàn)?=0.012<0.05,

所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.

題型五：信息燧問(wèn)題

【典例5-1】(2024.高三.河北?階段練習(xí))信息燧是信息論之父香農(nóng)(S/2G"[o〃)定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在

1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息

量稱為“信息蠟”，并給出了計(jì)算信息嫡的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,,n(neN*),

且尸(X=i)=p,>0(』,2,-,*￡p,=1,定義X的信息嫡H(X)=-J>JogzP,.

i=li=l

(1)當(dāng)”=1時(shí)，計(jì)算a(x)；

⑵若口J(i=l,2,.判斷并證明當(dāng)〃增大時(shí)，"(X)的變化趨勢(shì)；

n

(3)若"=2〃M"[eN*),隨機(jī)變量￥所有可能的取值為1,2.加，且尸(￥=/)=0+。2,=1,2,,m),證

明：H(x)>H(r).

【解析】⑴當(dāng)〃=1時(shí),則i=l,R=l,所以〃(X)=_(lxlog21)=0

⑵”(X)隨著"的增大而增大.

當(dāng)口=1,2,㈤，則H(X)=-(L]og2qx〃=_k>g2，=log2"，

n\nnJn

設(shè)/⑺=log2〃，〃￡N*,則/(n+l)-/(n)=log2(n+l)-log2n=log2^l>0,

n

因此a(X)隨著n的增大而增大.

(3)證明：若九=2m(meN*),隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,,根，且

P(y=力=Pj+P2m+l-jU=1，2,,m).

2m2mi

“(X)=-￡p,?1唯Pi=￡P(guān),」題2—

z=li=lPi

i1i1i1i1

+

=Pl.l°g2—+夕2.l°g2—++P2fn-1?l°g2----P21n,---.

PlPlPlm-XPim

]

HK

()=(A+P2nl).l°g2---+(0+必m-1).l°g2---------++(P"+Pm+i>bg2

+

A+PirnP”P2mTP,nPm+1

因?yàn)?<P,+P2,“+iT<l(i=l,2m),故l°g2丁一---->0

Pi十Plm+l-i

故H(y)>P「l°g2---+。2.10g2---------+-+必m-1.l°g2---------+Pzjlogz-'—

Pl+P2,nPl+Plm-lPl+Plm-XP/Pl"

/、11八

由于p,，0(i=l,2,,2m),所以一>二------>0,

PiPi+Plm+\-i

,1,1,11

所以l°g2—>logo----------,所以P,Tog?一〉p,?log?----------，

++

PiPiP2,n+l-iPiPiPlm+X-i

所以刀(x)>H(y).

【典例5-2】(2024?高三?河北?期末)在信息論中，崎(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又

被稱為信息燧、信源嫡、平均自信息量.這里，“消息”代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.(嫡最好理

解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源