2025年新高考數(shù)學復習壓軸題講義：概率與統(tǒng)計下的新定義（五大題型）

專題03概率與統(tǒng)計下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：二項式定理新定義

題型二：排列組合新定義

題型三：概率新定義

題型四：統(tǒng)計方法新定義

題型五：信息端問題

【方法技巧與總結(jié)】

解概率與統(tǒng)計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題.總

之，解決此類問題，取決于己有知識、技能、數(shù)學思想的掌握和基本活動經(jīng)驗的積累，還需要不斷的實踐

和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

【典型例題】

題型一：二項式定理新定義

【典例1-1】（2024?湖南衡陽?二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應用.所有大于1的正整數(shù)”都可以

被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：九=可席…優(yōu)（左為”的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，P，為質(zhì)數(shù)，

=例如：90=2X32X5>對應1=3,R=2,%=3,2=5,==1，2=2,，=1.現(xiàn)對任意

l,n=l

〃eN*,定義莫比烏斯函數(shù)〃⑺=<（一球，4=4=,,,=〃=1

0,存在01

⑴求〃（78）,〃075）；

（2）若正整數(shù)%〉互質(zhì)，證明：〃（孫）=〃（耳〃（耳；

⑶若〃>1且〃（〃）=1，記〃的所有真因數(shù)（除了1和"以外的因數(shù)）依次為如出，…，4”，證明：

〃（《）+〃（出）+…+〃（％）=—2?

【解析】（1）因為78=2x3x13,易知左=3,0=2,p2=3,p3=13,z;=1,^=1,^=1,

所以〃（78）=（—1）3=—1；

又375=3x53,因為5的指數(shù)3>1,所以〃（375）=0；

⑵①若x=l或。=1,因為〃⑴=1,所以〃（孫）=

②若尤,ywi,且存在質(zhì)數(shù)。，使得x或y的質(zhì)因數(shù)分解中包含//（廠>1）,則w的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含

p'，

所以〃（孫）==°，

③若羽ywl,且不存在②中的P,可設x=“02…=…%,

其中P1，P2…口1,4"％…%均為質(zhì)數(shù)，則?=P|P?…040…4，

因為尤,y互質(zhì)，所以Pi，p『5""%…p互不相等,

所以M孫)=(一1戶=(T>(T)'=〃(*)〃(y)，

綜上可知M盯)=〃(力〃3

(3)由于〃(")=1,所以可設“="。2…P”k為偶數(shù),

”的所有因數(shù)，除了1之外都是R，P2,…，"中的若干個數(shù)的乘積，從％個質(zhì)數(shù)中任選《，=1,2,…,女)個數(shù)的

乘積一共有C；種結(jié)果，

所以〃⑴+〃(％)+4(%)+…+4(4)+〃(〃)

=〃(l)+[〃(Pl)+〃(〃)+…+〃(〃)]+[〃(。1。2)+〃(。2。3)+…+〃(PlPj]+…+〃(〃)

=I+C1(T)+C(T)2+…+優(yōu)(一1廣+(一以=(1一1)*=。，

所以…=O_"(l)_M(n)=—2.

【典例1-2】(2024.安徽合肥?一模)“4-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設q是非零實數(shù)，對任意

〃cN*,定義“4-數(shù)”(嘰=1+4++/T利用“4-數(shù)”可定義“4-階乘"("/二⑴涅山(初，且(0兒=1.和

“4—組合數(shù)”，即對任意上eN,附eN*,kW力

⑴計算:

(2)證明：對于任意左,〃wN*,左+1?〃,

n+m+l\(〃\C

⑶證明：對于任意％,加￡N,〃6N*,左+1<〃，

【解析】(1)由定義可知，

[5)=⑸!2⑴2⑵2⑶式4)2(5)2

【31一(3)!2(2)C[(1)2(2)2(3)2][(1)2(2)2]

_(4)式5)2_(1+2+22+23乂1+2+22+23+2，).⑶

⑴2⑵21X0+2))

(磯5)/(1/

(左)!“〃一女兒[k}\q{n-k)\q

n-1n-1n八5

+qk?q+?q

k-1k傳T)!“〃_女兒。兒("%T兒

qq

=(小

kklknkx

又(k)q+q\n-k)q=l+q++q~+q(\+q++q~~)

=l+q++/i=(心

所以m+1

（3）由定義得:

對任意keN,weN*,后

結(jié)合（2）可知

n+m+1n+m\n+m-kn+m

所以

z+1k+1k

qqq

n+m

\Jn+m-\\=,_Jn+m-1

k+1k

k+1[I)qI

上述加+i個等式兩邊分別相加得：

（[n+%m+1+l\（n「孕工’Ink+i:\

【變式1-1]（2024?高三.江蘇蘇州?階段練習）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為

”,若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，定義隨機變

量X的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機變量

4的值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量”的值為這兩

條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?

（1）比較三種隨機變量的數(shù)學期望大?。唬▍⒖紨?shù)據(jù)

arctan^5?0.3661,arctan?0.2677,arctan2^2?0.3918）

（2）現(xiàn)單獨研究棱長"，記（x+l）x（x+gjx+且〃eN*）,其展開式中含x項的系數(shù)為S“，含

f項的系數(shù)為T”.

①若*a/+b"+c，對"=2,3,4成立，求實數(shù)b,c的值;

②對①中的實數(shù)。，b,c用數(shù)字歸納法證明：對任意〃22且“eN*，3=M2+加+。都成立.

【解析】（1）如圖所示：

由題意設。/為正四棱錐。-ABCE的高，G為A3中點，

由于正四棱錐的底面邊長和高都是2,

所以AC=BE=2&,￡>B=2,所以=

由對稱性以及三線合一可知DG=后斤=V5，

若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形,

則X的所有可能取值為]x2x2=2，x2x岔=6，x2&x2=2近，

222

且P（X=2）="=|,尸（X=2碼=,.中=&）=卷=|,

所以個）=（>2+“應+|x如=4+22+2占>4+2X；+2X2=2,

若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條,

則4的所有可能取值為"I，。,arctan君,arctan]g,arctan272,

廠/八714c22

E<)=—x-----i-Ox-----1-arctan一+arctan2^2x

v7228282828

代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)arctan#i?0.3661,arctanX0.2677,arctan2V2?0.3918,得1.0890,

M

若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條,

則力的所有可能取值為1TT*TT0,

兀187112c613KY……

磯〃)=—x-----1——x-----FOX——=——?1.1345

2363363636

所以E(X)＞磯叼〉E?.

(2)①因為(x+l)x[x+g]xx[x+)]中x項的系數(shù)為S",

一般地，從(x+l)x(x+；卜x[x+：]中的第七個因式中取一個x,其余因式中取常數(shù)即可得到一個x

項，

知在k1+2++nn(n+1)

而這一項的系數(shù)為一；，S=---------------=———-)

n\nn\2-nl

因為(尤+l)x(x+g)x+中f項的系數(shù)為T“，

一般地，從(x+l)x[x+g]xx[x+：]中的第個因式中各取一個x,其余因式中取常數(shù)即可得到

一個/項,

,，]

而這一項的系數(shù)為之，從而Eij,

n\^\<i<j<n

2x333x44x55

從而S==1,S4=

22x2!22x3!2x4!"12?

旦1X2+1X3+2X3JIx2+lx3+lx4+2x3+2x4+3x435

22!33!644!"24

4a+2b+c=—=—

S23

由題意中+3"W解得“4,八-5c=J

16a+4b+c=—=—

邑2

—T,3ra2-n-2+Z

②用數(shù)學歸納法證明：“22且〃eN*時，-^=an2+bn+c=---=~卷——

7^__j__2_

--

當〃=2時，s233-4126，故結(jié)論對〃=2成立，

2

假設結(jié)論對n=k22,keN*成立,即今=合爐=（1譬+2）,

、k1/iz

k\Tk/x

幾I+_%!看+信+1）（1+2++%）_人工+化+1"！&_聽+1+）

IJI11=----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

加優(yōu)+1）!加（左+1）!%45+優(yōu)+1）1+A±1

黑+化+1）--1）"+2）+%+1

k+i-_

i+---------------i+—

1+2+…+左k

_（"0（3左+2）+12左+12_3/+11）+10_信+2乂3左+5）

[（A+1）-1工3（左+1）+2]

12

所以結(jié)論對〃=左+1也成立，

故?=?！?+bw+c=^---------------,對任意"22,”eN”成立.

S.12

題型二：排列組合新定義

【典例2-1】（2024.高三.北京.階段練習）設"為正整數(shù)，集合A={a|a=外,*{01},左=1,2,,n.

對于集合A中的任意元素￡=（玉,々，…,％）和分=定義

1（%月）=|%一乂|+卜一對++\xn-yn\-

⑴當”=4時，若以=（0,1,0,1）,若=（1,1,0,1）,直接寫出所有使d（a，7）=2,d（Q,7）=3同時成立的A的元素

⑵當〃=3時，設3是A的子集，且滿足：對于3中的任意兩個不同元素a,回北％夕）22.求集合3中元素

個數(shù)的最大值；

⑶給定不小于2的“，設8是A的子集，且滿足：對于3中的任意兩個不同的元素以￡,〃（0,022,寫出

一個集合8,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

【解析】⑴?.?=（0,l,0,l）,J（a,y）=2

???滿足條件的/有

a0101

Y0000

ye｛（0,0,0，。），（0,0，1，1），（0，1，1，0）｝（2）列出集合4的元素

000

001

010

011

100

101

110

111

B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素a,p,d（a,￡巨2

滿足條件的集合8的元素的個數(shù)的最大值為4.

001

010

100

111

(3).d(a,夕巨2

???8中的元素應該含有奇數(shù)個1

若"=2,則含有奇數(shù)個1的元素有C；=2個；

若n=3,則含有奇數(shù)個1的元素有1+優(yōu)=4個；

若n=4,則含有奇數(shù)個1的元素有《+優(yōu)=8個；

若"=5,則含有奇數(shù)個1的元素有《+《+雋=16個；

當〃=3時，B={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1))

【典例2-2】(2024?高三?浙江?開學考試)一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(％,%，,、耳)稱為“維向量.對于兩個〃維

向量。=(4，出，，%),6=(4也，也)，定義：兩點間距離d=J(4-aJ?+色一的J+…+(X-%利用

“維向量的運算可以解決許多統(tǒng)計學問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個

標準點的距離4，，與哪個標準點的距離4最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，

得到業(yè)務能力分值(卬)、管理能力分值(%)、計算機能力分值(%)、溝通能力分值(%)(分值

%eN*,^e{l,2,3,4}代表要求度，l分最低，5分最高)并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：

業(yè)務能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分

崗位

(4)(%)3)(%)值

會計⑴215412

業(yè)務員

523515

⑵

后勤⑶235313

管理員

454417

(4)

對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量

"=的四個坐標.

(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小明到該公司應聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方力均小于20的應聘者才能被招錄.

⑴小剛測試報告上的四種能力分值為4=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)

123、4的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；

(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(0分別為

而14石13石9‘熱7(?"行"試d2求小明]的各項能力分信

【解析】⑴將四個崗位合計分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)12,13,15,17,

又,="0=4x0.75=3,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為號2=16.

(2)⑴由圖表知，會計崗位的樣本點為4=(2』,5,4),則葉=(2-4)2+(1-3)2+(5-2)2+(4-5)2=18,

業(yè)務員崗位的樣本點為分=(5,2,3,5),則d；=(5-4>+(2-3>+(3-2)2+(5-5)2=3,

后勤崗位的樣本點為鳳=(2,3,5,3),則d；=(2-4>+(3-3>+(5-2f+(3-=17,

管理員崗位的樣本點為力,=(4,5,4,4),則/=(4-4)2+(5-3)2+(4-2>+(4-5)2=9,

所以&<&<&<4,故小剛最適合業(yè)務員崗位.

?四種職業(yè)1234的推薦率⑺分別為m，。且。"力+小?廠

力14

，

14T幺+++

d；+d；+d；+d：43-

43

d；_1341332逍4

=一I+++

+d；++d；4343

9

所以■j2,得到

虜

一d&

dl9-+++

d；+d；+d；+d：4343

7

4T成d2*

d；_7-++3+

d；+d；+d；+d；4343

又d：(ne{1,2,3,4})均小于20,所以#+召+存+或<80,且/eN*(海{1,2,3,4}),

故可得到片=14,以=13,據(jù)=9,或=7,

設小明業(yè)務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為a,》,Gd,且a,b,c,deN*,

l<a,b,c.d<5,

依題有(〃-2)2+(b—I)?+(c-5)2+(d-4)2=d；=14①，

(a-5)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-5)2=dl=13(2),

(a-2y+S-3y+(c-5y+(d-3>=d；=9③，

(a—4/+S—5)2+(c—4/+(d—4)2=d：=7④，

由①一③得，

(a-2)2+(Z?-1)2+(c-5)2+(rf-4)2-[(a-2)2+(b-3)2+(c-5)2+(^-3)2]=14-9=5,

整理得：2b—d=3,

b=2,d=l

故有<0=3,d=3三組正整數(shù)解,

b=4,d=5

對于第一組解，代入④式有(a-4)2+9+(c-4)2+9=7,不成立；

對于第二組解，代入①式有(。-2)2+(c-5)2=4,

缶=4[a—1

解得「或。，代入②④式均不成立；

[c=51c=3

對于第三組解，代入②式有5-5)2+(c-3)2=9,

4=2

\a=1…………b=4

解得，，代入①②③④均成立，故,;

[c=3c=3

d=5

故小明業(yè)務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為2,4,3,5.

題型三：概率新定義

【典例3-1】(2024?浙江?一模)混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢

測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混

管檢測的人中至少有一人為陽性.假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為

目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)/(Xjut+XX,這里X指該組樣本N

個人中患病毒的人數(shù).

⑴證明：E[〃X)]Z2JF.N；

(2)若OvpvlOr104KW20.證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人

為陽性.

【解析】⑴由題意可得X滿足二項分布XB(N,p),

由E(aX+6)=aE(X)+。知，E\_f(X)l=—+K-E(X)=—+K-pN>2^-N,當且僅當，=&時取等

KKK

號；

(2)記A=p(混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性)，

4=p(混管中恰有i例陽性尸C，KP’(1一p廣，i=0,1,,K,

令/z(x)=e-_2/]0-3<彳<2乂]0-3,

則=

當xe(-2xl(F3,0)時，/z(x)為單調(diào)遞減，

當xe(0,2x10-3)時，〃")>o,為單調(diào)遞增，所以〃(x)N〃(O)=O,

2xlo-3-32xl-3

且〃(-2x10-3)=e--(-2xlO^-l-O,/z(2xl0)=e°-(2x10^)-1~0,

所以當—2xl(f3<x<2xl(f3,e，-尤—IBO即e，~x+l,兩邊取自然對數(shù)可得％句110+1),

所以當0<P<1()Y,10WKV20時,

所以(1_?>=6.。切?e7Kp?1—Kp，

4_"(1-廣&[1-伍一1)同

貝”=

i-]-(1-域Kp

故某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.

【典例3-2】(2024?遼寧?模擬預測)條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對

隨機現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設X,Y是

離散型隨機變量，則X在給定事件丫=》條件下的期望為

P(X=x^Y=y｝(、

E(XW=y)=,P(X=尤/y=y)=>再■l'，其中｛4%,…,當｝為X的所有可能取值集合,

i=li=lrv-y)

p(X=x,y=y)表示事件“x=x”與事件“Y=y”都發(fā)生的概率.某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目

標的概率均為p(0<〃<l),射擊進行到擊中目標兩次時停止.設J表示第一次擊中目標時的射擊次數(shù)，"表

示第二次擊中目標時的射擊次數(shù).

⑴求尸仁=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求E(的=5),22).

【解析】(1)由題設，P值=2,〃=5)=(1—。>,(1一。>(1—。)/=(1一。)3/,

尸何=5)=C(1一。只/=縱1一pFp2.

(2)由題設，夙目〃=5)=1[%><?(J=x,，〃=5)

i=l尸(〃=5)

P(〃=5)4442

同(1),PS=n)=2P2=(n_1)(1_pr-2p2，P(Ji〃=")=(i_pyTp2,

x

3尸(《，〃=〃)12n-25T廠l+D

所以項目"")?印〉P(L)^^+百+…+”產(chǎn)

22

【變式3-1](2024.福建漳州.一模)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字。和1組成的序列，發(fā)送每個信號數(shù)字之間

相互獨立.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.

⑴記發(fā)送信號變量為x,接收信號變量為「且滿足P(X=O)=；,p(y=i|x=o)=|,

p(y=0|X=l)=|,求尸(y=0)；

an

(2)當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為J,定義隨機變量7的“有效值”為“(〃)=-=x,)lgP(〃=x;)

4z=i

(其中天是〃的所有可能的取值，，=1，2,…發(fā)送信號“000”的接收信號為“％力%”，記4為%，%，%

三個數(shù)字之和，求4的“有效值”.(1g3?0.48,1g2?0.30)

i2

【解析】⑴由題意可知：p(x=i)=i-p(x=0)=-,p(y=oix=o)=i-p(y=i|x=o)=-,

所以尸(y=o)=尸(y=0|X=0)尸(x=o)+尸(y=0|X=l)尸(X=l)=gx：+；x；=H

(2)由題意可知：當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為3:，接收為1的概率為1:，

44

可知：4的可能取值有0，1，2,3,

則尸("°)=03=葛尸(9)=叫

…心盜[吟吟3)二審$,

—小片山—+〃/八(27、2727.279.9

'/16464646464646464)

54QA-|45

=——(31g3-61g2)+—(21g3-61g2)-—1g2=——-Ig3+61g2

_o4o4o4Jlo

45

?——x0.48+6x0.30=0.45,

16

即J的“有效值”約為0.45.

題型四：統(tǒng)計方法新定義

【典例4-1](2024?全國?模擬預測)某校20名學生的數(shù)學成績％0=1,2,.,，20)和知識競賽成績%。=1,2,,20)

如下表：

學生編號i12345678910

數(shù)學成績W100999693908885838077

知識競賽成績B29016022020065709010060270

學生編號i11121314151617181920

數(shù)學成績X,75747270686660503935

知識競賽成績％4535405025302015105

20

計算可得數(shù)學成績的平均值是元=75,知識競賽成績的平均值是9=90,并且元)丁6464

Z=1

2020

￡(X-J)2=149450,￡(x,.-x)(y,-y)=21650.

上1Z=1

(1)求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)(精確到0.01).

(2)設NeN*,變量x和變量丁的一組樣本數(shù)據(jù)為｛(%,?)1，=1,2,,,N｝,其中x,(i=l,2,,N)兩兩不相同，

%(i=l,2,,N)兩兩不相同.記尤，在卜|“=1,2,,N｝中的排名是第4位，%在舊舊=1,2,,N｝中的排

名是第S,位，1=1,2,,N.定義變量x和變量y的“斯皮爾曼相關系數(shù)，，(記為夕)為變量x的排名和變量y的

排名的樣本相關系數(shù).

6N

⑴記4=4f,i=i,2,,N.證明:N(N?一余與.

(ii)用⑴的公式求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(精確到0。1).

(3)比較(1)和(2)(ii)的計算結(jié)果，簡述“斯皮爾曼相關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢.

ZU-元n

i=ln(n+l)(2n+l)

注：參考公式與參考數(shù)據(jù).；ILK=；76464x149450?31000.

￡(^-^)2￡(x-y)2k=l6

/=1Z=1

【解析】(1)

由題意，這組學生數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)為

20

Z&-元)(y-9)

2165021650…

i=l?--------?0.70

2020

￡(x..-x)2￡(x-y)276464x1495031000

i=li=l

(2)⑴證明：因為｛4｝和｛Sj都是1,2,LN的一個排列，所以

fN44Ns,.=N(N+1)

Z=1Z=12

NNN(N+1)(2N+1)

=￡s；=

1=11=16

N+l

從而｛?｝和｛S｝的平均數(shù)都是R=S=2

NQNNNN2N(N+1)(2N+1)N(N+1yN(N+1)(N-1)

因此，f(K-R)=￡&-2應史=^R；-NR

i=lZ=1?=1Z=16412

N_

2N(N+1)(N-1)

同理可得E(s,-?y=

Z=112

NcN

NNcR,_R)_(S「用2

由于fd；本(R「s)-==2(兄-R)+2(E-s可-2t(6-Q(s,「子)

1=1Z=1Z=1i=\?=1

N

一2±(4一用母一目,

12i=l

NWV+IXN-l)」0

-司(E-于)

126lNx；

i=l2日—i_

所以夕二=(

N(N+1)(N—1)NN2-1)Z=1

12

(ii)由題目數(shù)據(jù)，可寫出與與S,的值如下:

同學編號i12345678910

數(shù)學成績排名%12345678910

知識競賽成績排名S/p>

同學編號i11121314151617181920

數(shù)學成績排名&11121314151617181920

知識競賽成績排名S,12141311161517181920

N

所以N=20,并且￡力=9xO2+4xl2+3x22+2x32+lx42+lx82=114.

i=l

因此這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關系數(shù)是

p=\——7—-~~X114~O.91

20(202-1)7

(3)答案①：斯皮爾曼相關系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關系

數(shù)比用樣本相關系數(shù)更能刻畫某種線性關系；

答案②：斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關系數(shù)，與具體的數(shù)值無關，只與排名有

關.如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關系，則可以采用斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫線性關

系.

【典例4-2】(2024?全國?模擬預測)冰雪運動是深受學生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學生是否喜

愛冰雪運動之間的關系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表

(m<40,/7/eN).

喜愛不喜愛

男生80-m20+m

女生60+m40-m

(1)當相=0時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中

隨機抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為求4的分布列與數(shù)學期望.

(2淀義/=Z(%一%)(2ViV3,2V其中％為列聯(lián)表中第i行第，列的實際數(shù)據(jù)，如

%

為列聯(lián)表中第i行與第?;列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如4.2=8。-"，

功,2=黑乂黑x200=70.基于小概率值a的檢驗規(guī)則：首先提出零假設變量X,F相互獨立)，然后

計算六的值，當K?、五時，我們推斷“0不成立，即認為X和y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過a；

否則，我們沒有充分證據(jù)推斷“。不成立，可以認為X和y獨立.根據(jù)K2的計算公式，求解下面問題:

①當機=0時，依據(jù)小概率值1=0.005的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關？

②當機<10時，依據(jù)小概率值&=0.1的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛冰雪運動有關，則至少有多少

名男生喜愛冰雪運動？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【解析】(1)當m=0時，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛冰雪運動的6人中，男生有2人，女生有4人,

由題意可知，J的可能取值為1,2,3.

「2cl3

2信=1）=罟.1，%=2）=罟=|3,P（1）=罟c°C1

(2)①零假設為H。：性別與是否喜愛冰雪運動獨立，即性別與是否喜愛冰雪運動無關聯(lián).

當m=0時，42=80,B22=70,43=20,B23=0.5x0.3x200=30,

A32=60,B32=0.5x0.7x200=70,A33=40,B33=0.5x0.3x200=30,

（4,2一區(qū)2,2）+（4,3-82,3）+（4,2-員,2）+（&3-四,3）

K2=

°2,243員2B33

22

（80—70）2（20—30）2（60-70）（40-30）200八…

=-----x9.524?

70-3070-3021

9.524>7.879=x0005,

,根據(jù)小概率值。=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，即認為性別與是否喜愛冰雪運動有關聯(lián),

此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.

②如_（80一機―70『+.（J+機—30）2+（60+機一70）2+（40-m-30）2_2（10-m）2

'—70307030—21

由題意可知，>2,706,整理得（10-帆）2228.413.

又m<10,m<4,加的最大值為4.

X80-4=76,，至少有76名男生喜愛冰雪運動.

【變式3(2024.高三北京.期末)在測試中‘客觀題難度的計算公式為月吟，其中為第i題的難度,

(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)

學期望;

⑶定義統(tǒng)計量5=匕(尸；-6)2+(只-￡)2++(尸；-月,溝，其中P'為第i題的實測難度，耳為第i題的預估難度

n1

。=1,2,,〃).規(guī)定：若S<Q05,則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預

估是否合理.

【解析】(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為4=0.2,

所以估計240人中有240x0.2=48人實測答對第5題.

(2)X的可能取值是0,1,2.

C1C132C23

p（X=l）=^A=2_.P（X=2）=W=3

C；o9595

⑶第1題的實測難度為*0.8,同理可得：第2題的實測難度為*0.8,

1414

第3題的實測難度為三二0.7,第4題的實測難度為三二0.7,第5題的實測難度為0.2,

故S=J(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0,012.

因為5=0.012<0.05,

所以，該次測試的難度預估是合理的.

題型五：信息燧問題

【典例5-1】(2024.高三.河北?階段練習)信息燧是信息論之父香農(nóng)(S/2G"[o〃)定義的一個重要概念，香農(nóng)在

1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息

量稱為“信息蠟”，并給出了計算信息嫡的數(shù)學表達式：設隨機變量X所有可能的取值為1,2,,n(neN*),

且尸(X=i)=p,>0(』,2,-,*￡p,=1,定義X的信息嫡H(X)=-J>JogzP,.

i=li=l

(1)當”=1時，計算a(x)；

⑵若口J(i=l,2,.判斷并證明當〃增大時，"(X)的變化趨勢；

n

(3)若"=2〃M"[eN*),隨機變量￥所有可能的取值為1,2.加，且尸(￥=/)=0+。2,=1,2,,m),證

明：H(x)>H(r).

【解析】⑴當〃=1時,則i=l,R=l,所以〃(X)=_(lxlog21)=0

⑵”(X)隨著"的增大而增大.

當口=1,2,㈤，則H(X)=-(L]og2qx〃=_k>g2，=log2"，

n\nnJn

設/⑺=log2〃，〃￡N*,則/(n+l)-/(n)=log2(n+l)-log2n=log2^l>0,

n

因此a(X)隨著n的增大而增大.

(3)證明：若九=2m(meN*),隨機變量y所有可能的取值為1,2,,根，且

P(y=力=Pj+P2m+l-jU=1，2,,m).

2m2mi

“(X)=-￡p,?1唯Pi=￡P,」題2—

z=li=lPi

i1i1i1i1

+

=Pl.l°g2—+夕2.l°g2—++P2fn-1?l°g2----P21n,---.

PlPlPlm-XPim

]

HK

()=(A+P2nl).l°g2---+(0+必m-1).l°g2---------++(P"+Pm+i>bg2

+

A+PirnP”P2mTP,nPm+1

因為0<P,+P2,“+iT<l(i=l,2m),故l°g2丁一---->0

Pi十Plm+l-i

故H(y)>P「l°g2---+。2.10g2---------+-+必m-1.l°g2---------+Pzjlogz-'—

Pl+P2,nPl+Plm-lPl+Plm-XP/Pl"

/、11八

由于p,，0(i=l,2,,2m),所以一>二------>0,

PiPi+Plm+\-i

,1,1,11

所以l°g2—>logo----------,所以P,Tog?一〉p,?log?----------，

++

PiPiP2,n+l-iPiPiPlm+X-i

所以刀(x)>H(y).

【典例5-2】(2024?高三?河北?期末)在信息論中，崎(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又

被稱為信息燧、信源嫡、平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.(嫡最好理

解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源