八年級初二數學《勾股定理》測試題（含答案）

八年級初二數學勾股定理測試試題含答案

一、選擇題

1.如圖，已知.ABC中，AB=AC=4,BC=6,在BC邊上取一點P（點P不與點

B、C重合），使得ZkABP成為等腰三角形，則這樣的點P共有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，.A4C中，有一點尸在AC上移動.若AX=AC=5,BC=6,則

4P+3尸+CP的最小值為（）

A.8B.8.8C.9.8D.10

3.如圖，小巷左右兩側是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離

為0.7米，頂端距離地面2.4米.若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端

距離地面1.5米，則小巷的寬度為（）

0.7米

A.0.8米B.2米C.2.2米D.2.7米

4.如圖，已知NMON=45，點在邊。N上，Q4=3,點C是邊31上一個動點,

若AABC周長的最小值是6,則A5的長是（）

M

5.如果正整數a、b、c滿足等式/+^=02,那么正整數。、b、c叫做勾股數.某同學將

自己探究勾股數的過程列成下表，觀察表中每列數的規(guī)律，可知％+y的值為（）

b

34

8610

15817

241026

A.47B.62C.79D.98

6.“趙爽弦圖"巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的

"趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角

形較長直角邊長為。，較短直角邊長為b,若（a+6）2=21,大正方形的面積為13,則小

正方形的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

7.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.9,7,12B.2,3,4C.1,2,73D.5,11,12

8.如圖，直角三角形兩直角邊的長分別為3和4,以直角三角形的兩直邊為直徑作半圓,

則陰影部分的面積是（）

.一..3、..、一

A.6B.-7TC.2nD.12

2

9.已知一個三角形的兩邊長分別是5和13,要使這個三角形是直角三角形，則這個三角

形的第三條邊可以是（）

A.6B.8C.10D.12

10.我國古代數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩

對全等的三角形，如圖所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,設正方形ADOF的邊長為

X,貝晨2+10x=（）

二、填空題

11.將一副三角板按如圖所示擺放成四邊形ABCD,發(fā)現只要知道其中一邊的長就可以求出

其它各邊的長，若已知AD=3也，則AB的長為.

12.如圖，在凡A5C中，NACB=90。，AC=4,BC=2,以A3為邊向外作等腰

直角三角形加，則CD的長可以是.

13.如圖，RT一ABC,NACB=90°,AC=6,BC=8,將邊AC沿CE翻折，使點

A落在A3上的點。處；再將邊沿b翻折，使點3落在CD的延長線上的點5'

處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點石、F,則AB'尸C的面積為.

14.如圖，等腰梯形A3CD中，ADUBC,AB=DC=l,平分NABC,

BD1CD,則AD+BC等于.

15.在AABC中，NB4c=90°,以BC為斜邊作等腰直角ABCD,連接ZM,若

AB=2&，AC=4后，則DA的長為?

16.如圖是“趙爽弦圖"，AABH、ABCG、ACOF和ADAE是四個全等的直角三角形，四邊形

488和EFG”都是正方形.如果AB=13,EF=7,那么AH等于.

17.如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，AC的垂直平分線交BC于F,交AC于E,

交BA的延長線于G,若EG=3,則BF的長是.

18.已知。、b、C是AABC三邊的長，且滿足關系式（。2—片―〃>+卜―4=0,則

AABC的形狀為

19.如圖，在矩形ABCD中，AD>AB,將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合,折痕為

MN2

MN,連接CN.若4CDN的面積與小CMN的面積比為1：3,則——的值為

BM-

20.如圖所示，四邊形ABCD是長方形，把4ACD沿AC折疊到,ADJ與BC交于點

E,若AD=4,DC=3,求BE的長.

三、解答題

21.如圖，ZViBC和AEDC都是等邊三角形，AD=S,BD=6,CD=2^:（1）AE

長；（2）/BDC的度數：（3）AC的長.

22.如圖，一架長25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻7米.

（1）此時梯子頂端離地面多少米？

（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動多少米?

23.如圖，AABC是等邊三角形，。,后為AC上兩點，且AE=CD,延長至點產，

使CF=CD,連接.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當兩點重合時，求證：BD=DF；

（2）延長與政交于點G.

①如圖2,求證：ZBGE=60°；

②如圖3,連接3E,CG,若NEBD=30。,BG=4,則ABCG的面積為

24.(1)如圖1,在RtAABC中，NACB=90°,NA=60°,CD平分NACB.

求證：CA+AD^BC.

圖1

小明為解決上面的問題作了如下思考：

作AA0C關于直線CD的對稱圖形AA'OC,：CD平分Z4CB,4點落在CB上，且

CA'=CA,A'O=A￡>.因此，要證的問題轉化為只要證出AO=A5即可.

請根據小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.

圖2

（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AC平分NS4D,BC=CD=10,AC=17,AD=9,

求A3的長.

25.如圖，在AABC中，ZC=90",把AABC沿直線DE折疊，使AADE與ABDE重合.

⑴若/A=35。，則/CBD的度數為；

（2）若AC=8,BC=6,求AD的長；

⑶當AB=m（m>0）,AABC的面積為m+1時，求ABCD的周長.（用含m的代數式表示）

26.如圖1,△ABC中，CO_LAB于。，且3。：AD:C0=2:3:4,

（1）試說明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S》Bc=40cm2,如圖2,動點M從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿線段BA向點A

運動，同時動點N從點A出發(fā)以每秒1cm速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終

點時整個運動都停止.設點M運動的時間為t（秒），

①若△D/WN的邊與BC平行，求t的值；

②若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能,

求出t的值；若不能，請說明理由.

圖1圖2備用圖

27.如圖1,在平面直角坐標系中，直線AB經過點C(a,a),且交x軸于點A(m,

0),交y軸于點B(0,n),且m,n滿足J〃z-6+(n-12)占0.

(1)求直線AB的解析式及C點坐標；

(2)過點C作CD,AB交x軸于點。，請在圖1中畫出圖形，并求。點的坐標；

(3)如圖2,點E(0,-2),點P為射線AB上一點，且/CEP=45。，求點P的坐標.

已知在平面內有兩點片(須，％)、鳥(9，%)，其兩點間的距離

々什=J(X—々J+Gl—，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂

直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為|石-々I或I%-%L

(1)已知4(2,4)、5(—3,-8),試求4B兩點間的距離.

已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4,點N的縱坐標為-1,試求M、N

兩點的距離為;

(2)己知一個三角形各頂點坐標為。(1,6)、E(-3,3)、F(4,2),你能判定此三角

形的形狀嗎?說明理由.

(3)在(2)的條件下，平面直角坐標系中，在X軸上找一點P,使？D+?少的長度最

短，求出點p的坐標及？D+29的最短長度.

?D

Ox

29.如圖1,點E是正方形ABC。邊CD上任意一點，以OE為邊作正方形。跳G,連

接3F，點般是線段8尸中點，射線石N與BC交于點H,連接CM.

(1)請直接寫出CM和EM的數量關系和位置關系.

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°，此時點口恰好落在線段CDh,

如圖2,其他條件不變，(1)中的結論是否成立，請說明理由.

(3)把圖1中的正方形。EFG繞點。順時針旋轉90。，此時點E、G恰好分別落在線段

AD.CD±,連接CE,如圖3,其他條件不變，若DG=2,AB=6,直接寫出CM

的長度.

30.如圖，在AABC中,D是邊AB的中點,E是邊AC上一動點，連結DE,過點D作DF^DE交邊

BC于點F(點F與點B、C不重合)，延長FD到點G,使DG=DF,連結EF、AG.已知

AB=10,BC=6,AC=8.

⑴求證:AADG0ZSBDF；

(2)請你連結EG,并求證:EF=EG；

⑶設AE=x,cF=y,求y關于X的函數關系式，并寫出自變量X的取值范圍；

⑷求線段EF長度的最小值.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

在BC邊上取一點P（點P不與點B、C重合），使得AWP成為等腰三角形，分三種情況

分析：AP=BP，AB=BP、AB=AP；根據等腰三角形的性質分別對三種情況逐個

分析，即可得到答案.

【詳解】

根據題意，使得△ABP成為等腰三角形，分AP=BP、AB=BP、AB=AP三種情況

分析：

當AP=5P時，點P位置再分兩種情況分析：

第1種：點P在點。右側，于點。

設OP=x

AP=yjACP+OP2=A/7+X2

VAB=AC=4

B0=-BC=3

2

:.BP=BO+OP=3+x

J'7+%2=3+x

x=-2,不符合題意；

第2種：點P在點0左側，A0J_5C于點。

A

AP=YJACP+OP2=A/7+X2

BP=BO—OP=3—x

，7+尤2=3—x

，尤=2,點P存在，即5。=1；

當=時，班=45=4，點P存在；

當AB=AP時，AP=AB=4,即點P和點C重合，不符合題意；

符合題意的點P共有：2個

故選：B.

【點睛】

本題考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握等腰三

角形、勾股定理、一元一次方程的性質，從而完成求解.

2.C

解析：c

【分析】

由AP+CP=AC得至IJAP+3P+CP=BP+AC,即計算當BP最小時即可，止匕時BP_LAC,根據三

角形面積公式求出BP即可得到答案.

【詳解】

AP+CP=AC,

AP+BP+CP=BP+AC,

,BP_LAC時，”+BP+CP有最小值，

設AH_LBC,

VAB=AC=5,BC=6

：.BH=3,

AH=^AB2-BH-=4，

S.=~BCAH=~ACBP,

ABnCc22

—x6x4=—x5BP,

22

?'?BP=4.8,

AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8,

故選：C.

此題考查等腰三角形的三線合一的性質，勾股定理，最短路徑問題，正確理解

AP+3P+CP時點P的位置是解題的關鍵.

3.D

解析：D

【分析】

先根據勾股定理求出梯子的長，進而根據勾股定理可得出小巷的寬度.

【詳解】

解：如圖，由題意可得：

0.7米

AD2=0.72+2.42=6.25,

在RtAABC中，

VZABC=90°,BC=1.5米，BC2+AB2=AC2,AD=AC,

.?.AB2+1.52=6.25,

；.AB=±2,

VAB>0,

；.AB=2米，

...小巷的寬度為:0.7+2=2.7（米）.

故選：D.

【點睛】

本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是

解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意

圖.

4.D

解析：D

【分析】

作點A關于OM的對稱點E,AE交OM于點D,連接BE、OE,BE交OM于點C,此時

△ABC周長最小，根據題意及作圖可得出AOAD是等腰直角三角形，OA=OE=3,,所以

ZOAE=ZOEA=45°,從而證明△BOE是直角三角形，然后設AB=x,則OB=3+x,根據周長最

小值可表示出BE=6-X,最后在RtaOBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】

解：作點A關于0M的對稱點E,AE交0M于點D,連接BE、OE,BE交0M于點C,

此時4ABC周長最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE,

「△ABC周長的最小值是6,

；.AB+BE=6,

VZMON=45°,AD±OM,

.?.△OAD是等腰直角三角形，ZOAD=45°,

由作圖可知0M垂直平分AE,

/.OA=OE=3,

.?.ZOAE=ZOEA=45",

.?.ZAOE=90°,

.,.△BOE是直角三角形，

設AB=x，則OB=3+x,BE=6-x,

在RtAOBE中，3?+(3+X)2=(6—,

解得：x=l,

.?.AB=1.

故選D.

【點睛】

本題考查了利用軸對稱求最值，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握作圖

技巧，正確利用勾股定理建立出方程是解題的關鍵.

5.C

解析：c

【分析】

依據每列數的規(guī)律，即可得到。="2—1]=",。=/+1,進而得出x+y的值.

【詳解】

解：由題可得：3=2?—1,4=2?,5=2?+1……

4="2—1,b="2,C=+]

當。="2+1=65時，n=8

x=63,y=16

:.x+y=19

故選c

【點睛】

本題為勾股數與數列規(guī)律綜合題；觀察數列，找出規(guī)律是解答本題的關鍵.

6.C

解析：C

【詳解】

如圖所示，(a+b)2=21

a2+2ab+b2=21,

.?,大正方形的面積為13,2ab=21-13=8,

，小正方形的面積為13-8=5.

故選C.

考點：勾股定理的證明.

7.C

解析：C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形

就是直角三角形.最長邊所對的角為直角.由此判定即可.

【詳解】

解：A、因為92+72x122,所以三條線段不能組成直角三角形；

B、因為22+32"2,所以三條線段不能組成直角三角形；

C、因為售+62=22,所以三條線段能組成直角三角形；

D、因為52+112*122,所以三條線段不能組成直角三角形.

故選C.

【點睛】

此題考查勾股定理逆定理的運用，注意數據的計算.

8.A

解析:A

【分析】

分別求出以AB、AC、BC為直徑的半圓及AABC的面積，再根據S陰影=SI+S2+SAABC&即可得

出結論.

【詳解】

解：如圖所示：

CR

VZBAC=90°,AB=4cm,AC=3cm,BC=5cm,

...以AB為直徑的半圓的面積Si=2"（cm?）；

9

以AC為直徑的半圓的面積S2=—n(cm2)；

8

以BC為直徑的半圓的面積S3=—口(cm2)；

8

2

SAABC=6(cm)；

?'?S陰影=SI+SZ+SAABC-S3=6(cm2)；

故選A.

【點睛】

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等

于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

9.D

解析：D

【分析】

此題要分兩種情況：當5和13都是直角邊時；當13是斜邊長時；分別利用勾股定理計算

出第三邊長即可求解.

【詳解】

當5和13都是直角邊時，第三邊長為：752+132=7194；

當13是斜邊長時，第三邊長為：^/132-52=12；

故這個三角形的第三條邊可以是12.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，當已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學生往

往忽略這一點，造成丟解.

10.D

解析：D

【分析】

設正方形AOOF的邊長為X,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關于x的方程，

整理方程即可.

【詳解】

解：設正方形ADOF的邊長為X,

由題意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF=1O,

在RtZ\ABC中,AC2+AB2=BC2,

即(6+x)2+(x+4)2=1。2,

整理得，x2+10x-24=0,

.■.x2+10x=24,

故選：D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性

質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

二、填空題

11.4A/3

【分析】

利用勾股定理求出AC=6,在RtZ^ABC中，ZBAC=30°,得到再利用勾股定理

2

得到=A§2,即可求出AB.

【詳解】

在RtZ\ACD中，CD=AD=3后，

?■?AC=7A￡)2+CD2=6-

在RtZ\ABC中，ZBAC=30°,

/.BC=-AB,

2

?/AC-+BC~^AB-，

：.62+(|AB)2=AB2,

解得AB=4g，負值舍去，

故答案為：473.

【點睛】

此題考查勾股定理，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確理解勾股定理

的三邊的數量關系是解題的關鍵.

12.2師或2店或3行

【分析】

在，A3C中計算AB,情況一：作AELCE于E,計算AE,DE,CE,可得CD；情況二：

作BELCE于E,計算BE,CE,DE,可得CD；情況三：作￡＞石'，C￡,計算

DF,DE',CE',可得CD.

【詳解】

：ZAC5=90°，AC=4,BC=2,

???AB=25

情況一：當AD=A3=2逐時，作AELCE于E

A-BCAC=-ABAE,即AE=逑，DE=^^-

2255

???CE=dAC?-AE?=罕

CD=y/CE2+DE2=2^13

情況二：當3。=AB=2行時，作BELCE于E,

：.-BCAC=-ABBE,即§E=延，。后=曳1

CE=^BC2-BE2=羋

；?CD=y/CE2+DE2=2710

情況三：當AD=5D時，作QE'LCE',作班，CE于E

：.-BCAC=-ABBE,

36

1/AABD為等腰直角三角形

BF=DF=-AB=sf5

2

9J5

DE'=DF+E'F=DF+BE=-^

CE'=EE'-CE=BF-CE=45--—=^-

55

故答案為：2回或2岳或36

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的計算等，熟知以上知識是解題的關鍵.

【分析】

將△B'CF的面積轉化為求4BCF的面積，由折疊的性質可得CD=AC=6,NACE=/DCE,

NBCF=NB'CF,CE_LAB,可證得^ECF是等腰直角三角形，EF=CE,NEFC=45。，由等面

積法可求CE的長，由勾股定理可求AE的長，進而求得BF的長，即可求解.

【詳解】

根據折疊的性質可知，CD=AC=6,NACE=NDCE,NBCF=/B'CF,CE±AB,

.,.ZDCE+ZB，CF=ZACE+ZBCF,

VZACB=90°,

；./ECF=45。，且CE_LAB,

/.△ECF是等腰直角三角形，

；.EF=CE,/EFC=45",

11

'.'SAABC=—AC?BC=—AB-CE,

22

，AC?BC=AB?CE,

:根據勾股定理求得AB=10,

18248

，BF=AB-AE-EF=10-一一一=-

555

,1182496

??SACBF=—XBFXCE=—X-X—=—

225525

,96

??SACB'F——，

25

“96

故填：—?

25

【點睛】

此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質，勾股定理的應用等知識，根據折疊

的性質求得相等的角是解決本題的關鍵.

14.3

【分析】

由3。平分NABC,易證得AABD是等腰三角形，即可求得AD=A3=1,

又由四邊形ABC。是等腰梯形，易證得NC=2NDBC,然后由班)，CD,根據直角三

角形的兩銳角互余，即可求得NDfiC=30。，則可求得5C的值，繼而求得AO+6C的

值.

【詳解】

解：?：ADHBC,AB=DC,

：.ZC=ZABC,ZADB=ZDBC,

,：BD平分/ABC,

/.ZABC=2ZDBC,ZABD=NDBC,

???ZABD=ZADB,

???AD=AB=1,

：.ZC=2ZDBC,

?；BDLCD,

：."DC=90。，

:三角形內角和為180°,

ZDBC+ZC=90°,

：.ZC=2ZDBC=60°,

BC=2CZ)=2xl=2,

AD+BC=l+2=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題主要考查對勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質和判定，平行線的

性質，等腰梯形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此

題的關鍵.

15.6或2.

【分析】

由于已知沒有圖形，當RtaABC固定后，根據"以BC為斜邊作等腰直角ABCD”可知分兩種

情況討論：

①當D點在BC上方時，如圖1,把4ABD繞點D逆時針旋轉90。得到△DCE,證明A、C、

E三點共線，在等腰RtZVXDE中，利用勾股定理可求AD長；

②當D點在BC下方時，如圖2,把4BAD繞點D順時針旋轉90。得到ACED,證明過程類

似于①求解.

【詳解】

解：分兩種情況討論：

①當D點在BC上方時，如圖1所示，

把4ABD繞點D逆時針旋轉90°,得到^DCE,

貝U/ABD=/ECD,CE=AB=2&,AD=DE,且/ADE=90°

在四邊形ACDB中，ZBAC+ZBDC=900+90°=180°,

ZABD+ZACD=360°-180°=180°,

.?.ZACD+ZECD=180°,

:.A、C、E三點共線.

AE=AC+CE=4夜+20=60

在等腰RtZiADE中,AD2+DE2=AE2,

即2AD2=(672)2,解得AD=6

②當D點在BC下方時，如圖2所示，

把ABAD繞點D順時針旋轉90。得到ACED,

貝UCE=AB=2后，ZBAD=ZCED,AD=AE且/ADE=90。,

所以/EAD=NAED=45°,

ZBAD=90°+45°=135°,即ZCED=135°,

.?.ZCED+ZAED=180°,即A、E、C三點共線.

AE=AC-CE=472-272=2^/2

在等腰RtZiADE中,2AD2=AE2=8,解得AD=2.

B

圖2

故答案為：6或2.

【點睛】

本題主要考查了旋轉的性質、勾股定理，解決這類等邊(或共邊)的兩個三角形問題，一

般是通過旋轉的方式作輔助線，轉化線段使得已知線段于一個特殊三角形中進行求解.

16.【分析】

根據面積的差得出a+b的值，再利用a-b=7,解得a,b的值代入即可.

【詳解】

■，->48=13,EF=7,

???大正方形的面積是169,小正方形的面積是49,

二四個直角三角形面積和為169-49=120,設AE為a,DE為b,即4義一=120,

2

2afa=120,a2+fa2=169,

(a+b)2=a2+b2+2ab=169+120=289,

a+b—17,

a-b=7,

解得：a=12,b=5,

AE=12,DE=5,

AH=12-7=5.

故答案為：5.

【點睛】

此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值.

17.4

【分析】

根據線段垂直平分線得出AE=EC,ZAEG=ZAEF=90°,求出NB=/C=NG=30。，根據勾股定

理和含30。角的直角三角形性質求出AE和EF,即可求出FG,再求出BF=FG即可

【詳解】

VAC的垂直平分線FG,

；.AE=EC,ZAEG=ZAEF=90°,

VZBAC=120°,

ZG=ZBAC-ZAEG=120°-90°=30°,

VZBAC=120°,AB=AC,

.\ZB=ZC=—（180°-ZBAC）=30°,

2

，/B=NG,

，BF=FG,

:在RtAAEG中，ZG=30°,EG=3,

；.AG=2AE,

即（2AE）2=AE2+32,

.".AE=y/3（負值舍去）

即CE=后,

同理在RtZkCEF中，ZC=30°,CF=2EF,

（2EF）2=EF2+（6）2,

.?.EF=1（負值舍去），

/.BF=GF=EF+CE=l+3=4,

故答案為4.

【點睛】

本題考查了勾股定理，含30。角的直角三角形性質，等腰三角形的性質和判定等知識點，

能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

18.等腰直角三角形

【解析】

根據非負數的意義，由卜2—4—尸）2+,一4=0,可知c2=4+b2,a=b,可知此三角

形是等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形.

點睛：此題主要考查了三角形形狀的確定，根據非負數的性質，可分別得到關系式，然后

結合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比較容易，

關鍵是利用非負數的性質得到關系式.

19.12

【解析】

如圖，過點N作NGLBC于點G,連接CN,根據軸對稱的性質有：

MA=MC,NA=NC,ZAMN=ZCMN.

因為四邊形ABCD是矩形，所以ADIIBC,所以NANM=NCMN.

所以NAMN=NANM,所以AM=AN.

所以AM=AN=CM=CN.

因為△CDN的面積與小CMN的面積比為1：3,所以DN:CM=1:3.

設DN=x,貝！］CG=x,AM=AN=CM=CN=3x,

由勾股定理可得NG=^(3x)2-%2=2A/2X，

所以MN1(2岳『+(3x—=12必，BM2=(3x)2—(2缶『=/.

枚本題應填12.

點睛：矩形中的折疊問題，其本質是軸對稱問題，根據軸對稱的性質，找到對應的線段和

角，也就找到了相等的線段和角，矩形中的折疊一般會伴隨著等腰三角形(也就是基本圖形

"平行線+角平分線f等腰三角形")，所以常常會結合等腰三角形，勾股定理來列方程求解.

7

20.一

8

【解析】

試題分析：根據矩形性質得AB=DC=6,BC=AD=8,AD/7BC,ZB=90°,再根據折疊性質得

NDAC=ND，AC,而NDAC=NACB,則ND，AC=NACB,所以AE=EC,設BE=x,則EC=4-

x,AE=4-x,然后在RtAABE中利用勾股定理可計算出BE的長即可.

試題解析：???四邊形ABCD為矩形，

；.AB=DC=3,BC=AD=4,AD〃BC,ZB=90°,

「△ACD沿AC折疊到AACD',AD'與BC交于點E,

.,.ZDAC=ZD/AC,

：AD〃BC,.\ZDAC=ZACB,

.?.ND'AC=ZACB,.\AE=EC,

設BE=x,則EC=4-x,AE=4-x,

在RtAABE中,?.*AB2+BE2=AE2,

7

32+X"=(4-x)2,解得x=一,

8

7

即BE的長為..

三、解答題

21.(1)出；(2)150°；(3)岳.

【分析】

(1)根據等邊三角形的性質可利用SAS證明△BCD/^ACE,再根據全等三角形的性質即

得結果；

(2)在中，根據勾股定理的逆定理可得/AED=90。，進而可求出/AEC的度數，再

根據全等三角形的性質即得答案；

(3)過C作CPLOE于點P,設AC與DE交于G,如圖，根據等邊三角形的性質和勾股定

理可得PE與CP的長，進而可得AE=CP,然后即可根據AAS證明AAEG之ZXCPG,于是可

得AG=CG,PG=EG,根據勾股定理可求出4G的長，進一步即可求出結果.

【詳解】

解：(1)ZX/iBC和△￡￡)￡?都是等邊三角形，

；.BC=AC,CD=CE=DE=2,NACB=NDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BC。與△ACE中，

：BC=AC,ZBCD=ZACE,CD=CE,

；.ABC哈LACE,

:.AE=BD=6；

(2)在中，:AD=幣,AE=M,DE=2,

2222

.1.DEME=2+(V3)=(b『=AC>2,

ZAED=90°,

VZDEC=60°,

ZAEC^150°,

"：ABCD^AACE,

：.ZBDC=ZAEC=150°；

(3)過C作CP_LDE于點P,設AC與DE交于G,如圖，

'/ACD￡是等邊二角形，

；?PE=WDE=LCP=也2―心=也,

：.AE=CP,

在△AEG與ACPG中，

VZAEG=ZCPG=90°,NAGE=NCGP,AE=CP,

：.AAEGmACPG,

1

：.AG=CG,PG=EG=—,

2

?MG=VAE2+EG1=J(可=孚，

：.AC=2AG=-J13■

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理及其逆定理等知識,

熟練掌握上述知識、靈活應用全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

22.(1)梯子頂端離地面24米(2)梯子底端將向左滑動了8米

【解析】

試題分析：(1)構建數學模型，根據勾股定理可求解出梯子頂端離地面的距離；

(2)構建直角三角形，然后根據購股定理列方程求解即可.

試題解析:(1)如圖,AB=25米，BE=7米,

梯子距離地面的高度AE=7252-72=24米.

答：此時梯子頂端離地面24米；

(2)梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度CE=(24-4)=20米，

BD+BE=DE=7CD2-CE2=A/252-202=15，

DE=15-7=8(米),即下端滑行了8米.

答：梯子底端將向左滑動了8米.

23.(1)見解析；(2)①見解析；②2.

【分析】

(1)當。、E兩點重合時，貝！|AD=CD,然后由等邊三角形的性質可得NCBD的度數，根據

等腰三角形的性質和三角形的外角性質可得NF的度數，于是可得/C3。與NF的關系，進

而可得結論；

(2)①過點E作EM〃BC交AB于點連接BE,如圖4,則易得AAHE是等邊三角形，根

據等邊三角形的性質和已知條件可得EH=CF,NBHE=/ECF=12O°,BH=EC,于是可根據SAS

證明ABHE絲△￡%,可得/EBH=/FEC,易證可得NABE=NCBD,從而有

NFEC=NCBD,然后根據三角形的內角和定理可得/BGE=/BCD,進而可得結論；

②易得NBEG=90°,于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30。角的直角三角形的性質和等

腰直角三角形的性質易求得BE和BF的長，過點E作E/W_LBF于點F,過點C作CN_LEF于

點、N,如圖5,則ABEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形

的性質和30。角的直角三角形的性質可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長，進而

可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有NSCG=90°,故所求的小BCG的面積

=-BCCG,而BC和CG可得，問題即得解決.

2

【詳解】

解：(1);△ABC是等邊三角形，/.ZABC=ZACB=60°,

當。、E兩點重合時，則AD=CD,：.ZDBC=-ZABC=30°,

2

,：CF=CD,:.NF=/CDF,

VZF+ZCDF^ZACB=60°,/.ZF=30°,

：.ZCBD=ZF,:.BD=DF;

(2)①:△ABC是等邊三角形，/ABC=/ACB=60。，AB=AC,

過點E作E”〃8c交陽于點”，連接BE,如圖4,則/AHE=NABC=60。,

ZAEH=ZACB=E>0°,

.,.△AHE是等邊三角形，；.AH=AE=HE,：.BH=EC,

"：AE=CD,CD=CF,：.EH=CF,

又?：/BHE=/ECF=120°,：.ABHE^/\ECF(SAS),

:.NEBH=NFEC,EB=EF,

BA=BC,/A=/ACB=60°,AE=CD,

；.ABAE經ABCD(SAS),/.ZABE=ZCBD,：.ZFEC=ZCBD,

?；NEDG=NBDC,：.ZBGE=ZBCD=60°；

②；NBGE=60°,ZEBD=30°,：.ZBEG=90°,

；EB=EF,；./F=/EBF=45°,

：/EBG=30°,BG=4,：.EG=2,BE=2若，

:.BF=O_BE=2瓜，GF=26-2,

過點E作EM±BF于點F,過點C作CN±EF于點N,如圖5,則^BEM、AEMF和4CFN

都是等腰直角三角形，

BM=ME=MF=&,

VZACB=G0°,：.ZMEC=30°,：.MC=0，

???BC=V6+V2，CF=2瓜-瓜-亞=瓜-叵,

???CN=FN=今義,娓_吟=0_\，

AGN=GF-FN=273-2-(73-1)=73-1=CN,

，ZGCN=ZCGN=45°,/.ZGCF=90°=ZGCB,

：■CG=CF=瓜—6，

.?.△BCG的面積=；3c-CG=g（C+后）（痛—四）=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角

三角形的判定與性質、30。角的直角三角形的性質和勾股定理等知識，涉及的知識點多、難

度較大，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定與性質是解①題的關鍵，靈活應用

等腰直角三角形的性質和30。角的直角三角形的性質解②題的關鍵.

24.（1）證明見解析；（2）21.

【分析】

（1）只需要證明NA'QB=N3=30。，再根據等角對等邊即可證明45,再結合

小明的分析即可證明；

（2）作AADC關于AC的對稱圖形‘AD'C,過點C作CELAB于點E,則￡TE=BE.設

D'￡=BE=x.在RSCEB和RtACEA中，根據勾股定理構建方程即可解決問題.

【詳解】

解：（1）證明：如下圖，作AADC關于CD的對稱圖形AA，DC,

.*.A'D=AD,CA=CA,/CA'D=/A=60°,

VCD平分NACB,

.??A，點落在CB上

VZACB=90°,

.?.ZB=90°-ZA=30",

ZA,DB=ZCA,D-ZB=30°,即NA'DB=NB,

.?.A'D=A'B,

CA+AD=CA'+A'D=CA'+A'B=CB.

(2)如圖，作AADC關于AC的對稱圖形AADC

.*.D'A=DA=9,D,C=DC=10,

：AC平分/BAD,

??Q點落在AB±,

VBC=10,

.?.D'C=BC,

過點C作CE_LAB于點E,貝ID，E=BE,

設D'E=BE=x,

在RtACEB中，CE2=CB2-BE2=102-X2,

在RtACEA中,CE2=AC2-AE2=172-(9+x)2.

.?.102-x2=172-(9+x)2,

解得：x=6,

.?.AB=AD'+D'E+EB=9+6+6=2L

【點睛】

本題考查軸對稱的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形外角的性質.(1)中證明

NA，DB=NB不是經常用的等量代換，而是利用角之間的計算求得它們的度數相等，這有點

困難，需要多注意；(2)中掌握方程思想是解題關鍵.

25.(1)ZCBD=20°；(2)AD=6-；(3)ABCD的周長為m+2

4

【分析】

(1)根據折疊可得/1=NA=35°,根據三角形內角和定理可以計算出NABC=55°,進而

得到/CBD=20°；

(2)根據折疊可得AD=DB,設CD=x,貝I」AD=BD=8-x,再在RdCDB中利用勾股定理

可得x?+62=(8-x)2,再解方程可得x的值，進而得到AD的長；

(3)根據三角形ACB的面積可得=+

2

進而得至UAC?BC=2m+2,再在RtZ\CAB中，CA2+CB2=BA2,再把左邊配成完全平方可得

CA+CB的長，進而得到aBCD的周長.

【詳解】

C

D

AF.B

:把AABC沿直線DE折疊，使4ADE與ABDE重合，

.?.N1=NA=35°,

VZC=90°,

.?.ZABC=180°-90°-35°=55°,

AZ2=55°-35°=20°,

即/CBD=20。；

(2)?.?把△ABC沿直線DE折疊，使AADE與ABDE重合，

；.AD=DB,

設CD=x,貝!|AD=BD=8-x,

在Rt^CDB中，CD2+CB2=BD2,

x2+62=(8-x)2,

,7

解得：x=—,

4

7/

AD=8—=6—；

44

(3);△ABC的面積為m+1,

1

■.—AC*BC=m+l,

2

...AOBC=2m+2,

:在RL^CAB中，CA2+CB2=BA2,

.?.CA2+CB2+2AC?BC=BA2+2AC-BC,

(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,

CA+CB=m+2,

VAD=DB,

CD+DB+BC=m+2.

即ABCD的周長為m+2.

【點睛】

此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理，完全平方公式，關鍵是掌握勾股定理，

以及折疊后哪些是對應角和對應線段.

1049

26.(1)見詳解；(2)①t值為：-s或6s；②t值為：4.5或5或一.

312

【分析】

(1)設BD=2x,AD=3x,CD=4x,則AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出結論；

(2)由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當MN〃BC時，AM=AN；當DN〃BC時,

AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根據題意得出當點M在DA上，即2<tW5時，4MDE為等腰三角形，有3種可能：如

果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分別得出方程，解方程即可.

【詳解】

解：(1)證明：設BD=2x,AD=3x,CD=4x,則AB=5x,

在RtAACD中，AC=5x,

；.AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形；

(2)解：由(1)知，AB=5x,CD=4x,

SABC=-x5xx4x=40cm2,而x>0,

A2

??x=2cm,

貝?。軧D=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AB=AC=10cm.

由運動知，AM=10-2t,AN=t,

①當MN〃BC時，AM=AN,

即10-2t=t,

.10

,?t-----;

3

當DN〃BC時，AD=AN,

6=t,

得：t=6；

.。.若△DMN的邊與BC平行時，t值為qs或6s.

3

②存在，理由：

I、當點M在BD上，即04t<2時，AMDE為鈍角三角形，但DMwDE；

II、當t=2時，點M運動到點D,不構成三角形

IIL當點M在DA上，即2Vt45時，AMDE為等腰三角形，有3種可能.

:點E是邊AC的中點，

1

；.DE=-AC=5

2

當DE=DM,則2t-4=5,

/.t=4.5s；

當ED=EM,則點M運動到點A,

.*.