2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：三角形壓軸（原卷版）

專題10三角形壓軸

目錄

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

型

題

01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

型

題

02與三角形有關(guān)的平移問題

型

題

03與三角形有關(guān)的翻折問題

型

題

04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

型

題

05與三角形有關(guān)的全等/相似問題

型

題

06與三角形有關(guān)的最值問題

型

題

07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

型

題

08與三角形有關(guān)的新定義問題

型

題

09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題

型

題

型與三角形有關(guān)的存在性問題

題10

型

題11三角形與幾何圖形綜合

12三角形與函數(shù)綜合

?中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間：60分鐘）

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

I.（2023?陜西寶雞?一模）如圖，在△48C中，分別以AC,BC為邊作等邊△4CD和等邊△BCE.設(shè)

22

△ACD,ABCE,△ABC的面積分別是SiS，S3現(xiàn)有如下結(jié)論：?S1：S2=^C:BC；②連接力E,BD,則

ABCD=AECA；③若2CLBC,則弼，其中正確結(jié)論的序號是（）

D

A.①②B.①③C.①②③D.②③

2.（2023?浙江湖州?二模）如圖，在中，AACB=90°,4B=30。，點(diǎn)、D,E分別是邊4B和BC上的兩

點(diǎn)，連結(jié)DE,將沿DE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)M處，BM與DE交于點(diǎn)F.下列三個(gè)結(jié)論：①

DF=EF；?DMA.AM；③tanNCME=喈其中正確的是.（寫出正確結(jié)論的序號）

3.（2023?遼寧撫順?三模）如圖，在△ABC中，Z.BAC=45°,CD12B于點(diǎn)。，2ELBC于點(diǎn)E,4E與CD交

于點(diǎn)尸，連接8F,DE,下列結(jié)論中：?AF=BC；@2coszDEB=1,③AE-CE=^ED,④若N

CAE=30。，則竺浮=1,正確的是.（填寫序號）.

A

DB

題型02與三角形有關(guān)的平移問題

4.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）【問題原型】如圖①，在Rta/IBC中，AACB=90°,CDLAB.若4B=5,

BC=3,則CD的長為；

【操作一】如圖，②，將圖①中的，△4CD沿4c翻折得到△2CE,則四邊形4ECD的周長為；

【操作二】如圖③，將圖②中的△力CE沿射線方向平移，使點(diǎn)力與點(diǎn)D重合，得到△DGF,點(diǎn)E的對應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)F.

圖①圖②圖③

（1）求證：四邊形力DFE是菱形；

（2）直接寫出四邊形4DGF的周長.

5.（2023?山東青島?三模）已知：如圖①，△ABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、尸分別為4B、AC、BC

中點(diǎn)，連接DE、DF、EF.將△BD尸向右平移，使點(diǎn)3與點(diǎn)C重合；將△4DE向下平移，使點(diǎn)”與點(diǎn)C重

合，如圖②.

⑴設(shè)△4DE、△BDF、△"'（7的面積分別為Si、S2、S3,則Si+S2+S3K（用“＜、=、＞"填

空）

（2）已知：如圖③，/-AOB=Z.COD=A.EOF=60°,4。=CF=BE=2,設(shè)△4B。、AFEO、△CD。的面積

分別為Si、S2、S3；問：上述結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（可利用圖④

進(jìn)行探究）

6.（2023?遼寧沈陽?三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△DOE是等腰直角三角形，NODE=90。，DO=DE=3,

點(diǎn)。在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限，矩形ABC。的頂點(diǎn)B（4,2）,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)4在y軸的正

半軸上.將△DOE沿x軸向右平移，得到△。0出，，點(diǎn)D,0,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為。，O1,E'.

圖①圖②

（1）如圖1,當(dāng)E'。'經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)，求直線。'力的函數(shù)表達(dá)式;

（2）設(shè)。0,=t,△。。舊與矩形ABC。重疊部分的面積為S；

①如圖②，當(dāng)△ZT0E與矩形2BC0重疊部分為五邊形時(shí),與2B相交于點(diǎn)M,DO分別與48,BC交于

點(diǎn)N,P,用含有t的式子表示S-；直接寫出t的取值范圍」

②請直接寫出滿足S=（的所有珀勺值—.

題型03與三角形有關(guān)的翻折問題

7.（2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）如圖，中，“=90。，乙4=60。，4B=4,點(diǎn)E、F分別在直線4C、

邊BC上，連接EF,將△CEF沿著EF翻折，點(diǎn)C落在邊48上的點(diǎn)。處.過點(diǎn)。作DM128,交直線4c于M.

（2）當(dāng)CF=CE時(shí)，求證：4EMD三AFBD；

（3）當(dāng)母=：時(shí)，求4。的值；

(4)連接CD交EF于點(diǎn)P,當(dāng)2P+BP取最小值=_時(shí)，EF的值為

8.(2023?重慶?模擬預(yù)測)在RtaABC中，AABC=90°,過8點(diǎn)作BE，2C于點(diǎn)￡,點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn),

連接BD.

(1)如圖1,AB=2,AC=6,求ED的長度；

(2)如圖2,將線段繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段DG,止匕時(shí)DG_L4C,連接BG,點(diǎn)尸為BG的中點(diǎn)，連

接EF,求證：BC=2EF；

(3)如圖3,乙4c8=30。，48=3,點(diǎn)P是線段8。上一點(diǎn)，連接4P,將△2PB沿2P翻折到同一平面內(nèi)得到

AAPB',連接CB-將線段繞點(diǎn)C夕順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得線段CQ,連接BQ,當(dāng)BQ最小時(shí)，直接寫出ABCQ的

面積.

9.(2023?重慶渝北?二模)等邊△4BC中，點(diǎn)。為直線4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接DC.

F

⑴如圖1,在平面內(nèi)將線段。C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,連接BE,若。點(diǎn)在48邊上，且DC=遮,

-1

tanzXCD-求BE的長度.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在2B延長線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CB延長線上，連接FG、AG.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)

過程中，若NG4F+NABF=180°,且FB—BD=AC,猜想線段CG與線段OG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

猜想.

⑶如圖3,將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)得到△BD￡,M點(diǎn)在48邊上，且將

M力繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段AN,點(diǎn)H是直線4C上一動(dòng)點(diǎn)，將△MNH沿直線翻折至△MNH所在

平面內(nèi)得到△MVH,在點(diǎn)D、"運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)N7X最小時(shí)，若力B=4,請直接寫出△DNH的面積.

題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

10.(2023?重慶九龍坡?模擬預(yù)測)在等腰△ABC中，NABC=90。，AB=BC,將斜邊AC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

一定角度得到線段力。，2。交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CF14D于點(diǎn)足

(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5。時(shí)，若BG=1,求4C的長；

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時(shí)，連接BD,CD,延長CF交BD于點(diǎn)E,連接EG,求證：AG=CE+EG；

(3)如圖3,點(diǎn)M是4C邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)N,使NB+M4+NC的值最小時(shí)，若N4=2,請

直接寫出△CNM的面積.

11.2023?貴州貴陽?二模)在△4BC中,NC4B=90。,在△?!￡)￡1中,NE4D=90。，已知Rt△4BC和Rt△4DE

有公共頂點(diǎn)/,連接和CE.

位置關(guān)系是;

(2)如圖②，^AD-.AE=AB-.AC=1-.V3,當(dāng)Rt△4BC繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)a(0。<a<360。)，(1)中BD和CE的數(shù)量關(guān)

系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若4D=2g,AB=?在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出CE的

長度.

12.（2023?廣東云浮?三模）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在中，ZBXC=90°,AB=AC,點(diǎn)、D、E在邊BC上,

^DAE=45°.若BD=3,CE=1,求OE的長.

小明發(fā)現(xiàn)，將△48。繞點(diǎn)N按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△4CF,連接EF（如圖2）,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

等腰直角三角形的性質(zhì)以及=45。，可證△F4E三△￡?”，得FE=DE.?AFCE,可求得FE（即

DE）的長.

（2）參考小明思考問題的方法，解決下列問題：

①己知：如圖3,正方形ABCD,BM,DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足NM4V=45。，連接MN,若

以8M、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是

②如圖4,在四邊形力BCD中，AB=AD,z5+zD=180°,E、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且=：

/-BAD.猜想線段BE、EF、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題

13.（2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）【問題探究】

(1)如圖1,BD、2C相交于點(diǎn)P,連接8C、AD,且N1=N2,若PB=6,PC=3,PD=4,貝l]P4的長為

（2）如圖2,NM0N=120。，點(diǎn)P是NM0N平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)4、B分別在射線。M、ON上，且

^APB=60°,求證：四邊形04PB的面積是定值;

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形A8CD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中40IBC,

NB=90。，AB=120米，4D=60米，BC=110米，點(diǎn)E為入口，點(diǎn)E在4B上，且=小李計(jì)劃過點(diǎn)E

修一條垂直于的筆直小路EF,將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域?yàn)榉涑矃^(qū)，四邊形BCFE區(qū)域?yàn)榉湓?/p>

植物生長區(qū)，在點(diǎn)F處設(shè)立售蜜點(diǎn)，為了方便取蜜，計(jì)劃再沿4F修一條筆直的小路力F,直接寫出小路4F的

長（小路的寬度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號）

14.（2023?安徽合肥?一模）如圖，已知aaBC是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在4C/8上，且CD=4E,BD

與CE相交于點(diǎn)P.

圖2

（2）如圖2,將△CPD沿直線CP翻折得到對應(yīng)的△CPM,過C作CGII4B,交射線PM于點(diǎn)G,PG與8c相交于

點(diǎn)、F,連接BG.

①試判斷四邊形A8GC的形狀，并說明理由;

②若四邊形ABGC的面積為6g，PF=1,求CE的長.

15.（2023?重慶萬州?模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角三角形ZBC中，ZC=9O°,過點(diǎn)C作CD||4B交過點(diǎn)B的直

線于點(diǎn)D,乙48。=30。,直線8。交4C于H.

圖1

(1)如圖1,若4B=2,

(2)如圖2,過點(diǎn)力作4G1BD交BD于點(diǎn)G,交BC的延長線于E,取線段4B的中點(diǎn)F,連接GF,求證：GF+V3

GH=BH.

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)。作4B交48于點(diǎn)P,若點(diǎn)M是線段GF上任一點(diǎn)，連接將△BGM沿

折疊，折疊后的三角形記為當(dāng)爭1G―DG取得最小時(shí)，直接寫出tan/PM的值.

題型06與三角形有關(guān)的最值問題

16.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）【問題提出】

圖①圖③

（1）如圖①，4B為。。的一條弦，圓心。到弦的距離為4,若。。的半徑為7,則。。上的點(diǎn)到弦4B

的距離最大值為

【問題探究】

（2）如圖②，在△4BC中，NB4C=60。,力。為BC邊上的高，若4。=6,求△ABC面積的最小值;

【問題解決】

（3）如圖③，在△4BC中，228。=90。,8。平分乙48。交2。于點(diǎn)。，點(diǎn)「為8。上一點(diǎn)，B￡）=80戈米,

ZCDP=45°.則四邊形48PD的面積的最小值為.

17.（2023?河南周口?二模）已知在等腰△力BC中，AB=AC,。為BC中點(diǎn)，連接4D.分別以48為圓心,

大于的長為半徑畫弧,在4B的兩側(cè)分別交于點(diǎn)M、N,連接MN,MN交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,連接

ED、FC.

D

圖3

（1）如圖1,若aaBC為正三角形，則ADEC=

（2）如圖2,若AD=BC=2,EF的延長線交4C于點(diǎn)尸，求器的值和FP的長.

⑶如圖3,若AD=BC=2,把圖2中的△4EF繞著點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，直接寫出標(biāo)的值，以及的最小值和最大

值.

18.(2023?四川成都?模擬預(yù)測)如圖，在銳角△ABC中，zB=60°,點(diǎn)、D,E分別是BC,4C上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AD,DE.

(1)如圖1,若AB>BC,S.BD=DE,4D平分NB4C,求NCED的度數(shù).

(2)如圖2,若AB=BC,在平面內(nèi)將線段AD繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度得到線段DF,連接BF,過點(diǎn)F做

FGLAB,垂足為點(diǎn)G,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BD,BA,4G之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜

想.

(3)如圖3,若點(diǎn)H為AC下方一點(diǎn)，連接A”，CH,△AC”為等邊三角形，將△AC"沿直線翻折得到

AAHP.M是線段PB上一點(diǎn)，將沿直線翻折得到連接PN,當(dāng)線段PB取得最小值，且

tanNPHN=誓時(shí)，請求出PN4C的值.

題型07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

19.(2023?吉林長春?二模)在△4BC中，NC=90。，力B=5,AC=4,點(diǎn)。是邊8c上的一點(diǎn)，且BD=2.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B2—AC以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD,作點(diǎn)B關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)

B',連結(jié)B?、設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

A

B'

BDC

⑴線段CD的長為.

(2)用含珀勺代數(shù)式表示線段2PQ4P>0)的長.

(3)連結(jié)人方，求力的最小值.

(4)當(dāng)0B1I4C時(shí),直接寫出珀勺值.

20.(2023?吉林長春?模擬預(yù)測)如圖，在Rta4BC中，乙4cB=90。,乙4=30。,8。=4,動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)4出發(fā)沿

折線AC—CB向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，在4C上的速度為每秒g個(gè)單位長度，在BC上的速度為每秒1個(gè)單位長度.當(dāng)

點(diǎn)尸不與點(diǎn)C重合時(shí)，以CF為邊在點(diǎn)C的右上方作等邊設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，點(diǎn)F到48的距離

為九.

⑴ac=；

(2)求％與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍;

⑶當(dāng)點(diǎn)尸在4C邊上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到4B的距離為|伍求t的值；

(4)作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為。，當(dāng)以C,F,Q，為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形時(shí)，直接寫出入的取值范圍.

21.(2023?吉林松原?模擬預(yù)測)如圖，在△4BC中，zX=ZB=30°,AC=2cm,CD14B于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)4出發(fā).以V^cm/s的速度沿邊力B向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)/、8重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ14B交折線

AC—CB于點(diǎn)Q,將線段PQ繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段QM,連接PM,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),回答下

列問題.

(1)直接寫出=cm；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊NC上時(shí)，CQ的長為cm(用含x的代數(shù)式表示);

(3)當(dāng)點(diǎn)M落在邊CD上時(shí)，求工的值；

(4)在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，作點(diǎn)M關(guān)于直線力B的對稱點(diǎn)N,連接PN、MN,設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分

圖形的面積為ycm2,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

題型08與三角形有關(guān)的新定義問題

22.(2023?四川遂寧?一模)定義1：如圖1,若點(diǎn)H在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH,

滿足41=N2,則稱和NH關(guān)于直線I滿足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2,在△力BC中，的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC、AC,AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足，光

學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△4BC的光線

三角形.

閱讀以上定義，并探究問題：

HBDCFc

圖1圖3圖4

在△4BC中，ZX=30°,AB=AC,△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分另!］在BC、AC.4B上.

⑴如圖3,若FEIIBC,DE和FE關(guān)于力C滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求NEDC的度數(shù)；

(2)如圖4,在△ABC中，作CF,48于F,以48為直徑的圓分別交4C,BC于點(diǎn)E,。.證明：ADEF為aABC

的光線三角形.

23.(2023?浙江寧波?二模)定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個(gè)相似

三角形為疊似三角形.

BD

1

(1)如圖1,四邊形48CD中，對角線AC平分NBA。，4BCD+-Z.BAD=180°,求證：ZiaCB和△4DC為疊

似三角形；

(2)如圖2,AACB和△4DC為疊似三角形，若4B||CD,AD=4,AC=6,求四邊形4BCD的周長；

(3)如圖3,在△ABC中，。是BC上一點(diǎn)，連接4D,點(diǎn)￡在40上，且DE=DC,尸為AC中點(diǎn)，且

ABEC=^AEF,若BC=9,AE=4,求百的值.

24.(2023?山東青島?一模)定義：三角形一邊中線的中點(diǎn)和該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為中原三角

形.如圖①，AD是△ABC的中線,尸是4。的中點(diǎn)，則是中原三角形.

⑴求中原三角形與原三角形的面積之比(直接寫出答案).

(2)如圖②，力。是△ABC的中線,E是邊4C上的點(diǎn)，AC^3AE,BE與AD相交于點(diǎn)凡連接CF.求證：AFBC

是中原三角形.

(3)如圖③，在(2)的條件下，延長CF交力B于點(diǎn)連接ME,求△FEM與△ABC的面積之比.

題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題

1

.-.ZOP(2=-(180°-zO),

??-ZO/VM=|(180°-ZO),

小穎：我認(rèn)為小琦的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，作NOMN的角平分線MC交OB于點(diǎn)

P,作MP的垂直平分線EG交。M于點(diǎn)。，貝UPQIIMN....

任務(wù)：

(1)小琦得出△PM。三△QN。的依據(jù)是_(填序號).

①SSS②SAS③AAS④ASA

(2)小穎的作法正確嗎？若正確，請加以證明；

(3)如圖4,已知N4OB=30。，點(diǎn)、M、N分別在射線04、OB上，且。M=ON,點(diǎn)尸在線段。B上，點(diǎn)。是射

線。力上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4。”(？=4(2%。=45。時(shí)，請直接寫出愛吆的值.

◎△PQM

圖4

26.(2023?河南南陽?二模)請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù).

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常采用倍長中線法添加輔助線.

所謂倍長中線法，即延長邊上(不一定是底邊)的中線，使所延長-部分與中線相等，以便構(gòu)造全等三角形,

從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的一種方法.

如圖①，在aABC中，4D是BC邊上的中線，若AB=3,AC=5,求力。的長的取值范圍.

解題思路：如圖①，延長4。到點(diǎn)E,使DE=D4,連接CE,則可證得△EC。三△ABO(依據(jù))，得出

EC=AB=3,在△ACE中，AE=2AD,AC=5,CE=3,即可得到力E的取值范圍，進(jìn)一步得到4。的取值

范圍.

A

圖①

任務(wù)：

（1）上述解題思路中的“依據(jù)”是（填序號）

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL

（2）如圖②，在△2BC中，。為邊BC的中點(diǎn)，已知4B=5,2C=3,AD=2,求BC的長.

A

圖②

（3）如圖③，在矩形4BCD中，4B=4后點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接4E,點(diǎn)F在直線BC上，且第=也若

Z.FAE=Z.DAE,請直接寫出CF的長.

圖③

27.（2023?山西忻州?模擬預(yù)測）閱讀與思考

如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

平面直角坐標(biāo)系與直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行分類討論

口訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：已知4（3,0）、B（0,4）,在直線x=l上求點(diǎn)C,使得△48C為直角三角形.以下分三種

情況討論:

情況一：當(dāng)/為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)/作力B的垂線/交直線久=1于點(diǎn)C,則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如圖①，有

G一個(gè)點(diǎn)；

情況二：當(dāng)8為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)8作力B的垂線/交直線x=l于點(diǎn)C,則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C如圖②，有

。2一個(gè)點(diǎn)：

情況三：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以A8為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如圖③，有。3,

C4兩個(gè)點(diǎn)；

二、代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式，列方程，解方程，檢驗(yàn)根；

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn).

任務(wù)：

(1)上面課堂筆記中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是一(從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可)；

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計(jì)思想C.分類討論D.轉(zhuǎn)化思想

(2)選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中Ci的坐標(biāo).

(3)直接寫出“情況二”中C2的坐標(biāo)」

(4)請你寫出在“情況三”中，確定C3、圓的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過程中，所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或原理(寫出一個(gè)

即可).

題型10與三角形有關(guān)的存在性問題

28.(2023?浙江金華?三模)在Rt△力BC中，^ABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為折

線力一B—C上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,以DE為邊作正方形DEFG(點(diǎn)/為點(diǎn)。繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到)，直線

FG與直線BC,AC的交點(diǎn)分別為M,N.

⑴當(dāng)點(diǎn)E在線段4B上時(shí)，

①若4E=ED,求此時(shí)力E的長；

②若直線FG過點(diǎn)C,求此時(shí)正方形DEFG的面積；

(2)是否存在點(diǎn)E,使得△CMN是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長，若不存在，請說明理由.

29.(2024?廣東湛江?一模)【建立模型】(1)如圖1,點(diǎn)8是線段CD上的一點(diǎn)，AC1BC,AB1BE,

ED1BD,垂足分別為C,B,D,AB=BE.求證：AACB=ABDE；

【類比遷移】(2)如圖2,點(diǎn)火一3,a)在反比例函數(shù)丫=嚏圖象上，連接。4將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到

OB,若反比例函數(shù)y=：經(jīng)過點(diǎn)&求反比例函數(shù)y的解析式；

【拓展延伸】(3)如圖3拋物線)/=K2+2%—3與；＜:軸交于/,B兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸交于C

點(diǎn)，已知點(diǎn)Q(0,—1),連接2Q,拋物線上是否存在點(diǎn)M,便得NM4Q=45。，若存在，求出點(diǎn)M的橫坐

標(biāo).

題型11三角形與幾何圖形綜合

30.(2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測)【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在△Q4B中，OB=3,若將aCMB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得。4方，連接則=

【問題探究】

(2)如圖2,已知△4BC是邊長為4巡的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD,尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn),

連接2P,BP,CP,將aBPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得△%（7,求P4+PB+PC的最小值;

【實(shí)際應(yīng)用】

（3）如圖3,在長方形4BCD中，邊力B=10,AD=20,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，Q為△4DP內(nèi)的任意一點(diǎn)，

是否存在一點(diǎn)尸和一點(diǎn)。，使得力Q+DQ+PQ有最小值？若存在，請求出此時(shí)PQ的長，若不存在，請說明

理由.

圖1圖2圖3

31.（2023?廣西?三模）知識回顧

例如，在證明三角形中位線定理時(shí)，就采用了如圖①的倍長中線方式，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形使問題

得以解決.

實(shí)踐操作

如圖②，在梯形4BCD中，AD||BC,F是腰DC的中點(diǎn)，請你延長4F交BC延長線于點(diǎn)M,我們易證△ADF三

△MCF（自行補(bǔ)充圖形）.

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

如圖③，在梯形4BCD中，AD||BC,E、F分別是兩腰力B、DC的中點(diǎn)，我們把EF叫做梯形力BCD的中位

線.請類比三角形的中位線的性質(zhì)，猜想EF和2D、8c有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？_（用字母及符號表示）.

證明猜想

請結(jié)合“實(shí)踐操作”完成猜想的證明.

已知：

求證：

證明：

實(shí)際應(yīng)用

如圖，在口4BCD中，AB=5,BC=8,E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是口/lBCD內(nèi)一點(diǎn)，且NBFC=90。,連接力F并延

長，交CD于點(diǎn)G,若EFII28,求DG的長.

32.（2023?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐

旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與我們所學(xué)過的全等三角形等等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決問題,

有時(shí)我們還能從中探索學(xué)習(xí)一些新知.小苗在研究三角形旋轉(zhuǎn)過程中,進(jìn)行如下探究：如圖，已知正方形

圖1圖2圖3圖4

觀察猜想:

（1）在圖1中，點(diǎn)F,G分別在邊AB,AC,4。上，直接寫出筆=；

FC—

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：

（2）將正方形2EFG繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接DG,FC,請問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化?

并加以證明：

聯(lián)系舊知：

（3）如果正方形力BCD的邊長為5,正方形2EFG的邊長為3.將正方形力EFG繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3所示

位置，連接EG交4B于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,若NG=理,直接寫出EM的長」

探求新知：

（4）在（3）的條件下，當(dāng)正方形2EFG繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,F,8三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出CG的

長.

題型12三角形與函數(shù)綜合

33.(2023?寧夏銀川?二模)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個(gè)圖形的面積相

等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等

性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡

便快捷.

請用等面積法的思想解決下列問題：

(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為.

(2)如圖1,反比例函數(shù)丫=一:(％>0)的圖像上有一點(diǎn)尸，P2,無軸于點(diǎn)/，點(diǎn)8在y軸上，則△248的面

積為.

(3)如圖2,P是邊長為。的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為△4BC的中心，設(shè)點(diǎn)尸到△ABC各邊距離分別為

八1，八2，八3，連接AP,BP,CP,由等面積法，易知5a(電+%+九3)=SAABC=3s可得+h2+”3

=§a；如圖3,若尸是邊長為4的正五邊形4BCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形力BCDE各邊距離分別為

hl，h2,九3，九4，包，參照上面的探索過程，求九1+/12+九3+h4+九5的值.(參考數(shù)據(jù)：tan36°tan

3

54。嗎)

(4)如圖4,已知。。的半徑為1,點(diǎn)/為O。外一點(diǎn)，。4=2,28切O。于點(diǎn)3,弦BCIIO4連接AC,求

圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留兀)

(5)我國數(shù)學(xué)家祖曜，提出了一個(gè)祖眶原理：“幕勢既同，則積不容異”.意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所

有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等.如圖所示，某帳篷的造型是兩個(gè)全等圓柱垂

直相交的公共部分的一半（這個(gè)公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線力。C和BOD均是以1為半徑的半圓.用

任意平行于帳篷底面力BCD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷

同底等高的正四棱柱中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面

積），因此該帳篷的體積為.（正棱錐的體積U=：底面積x高）

34.（2023?山東聊城?二模）如圖，拋物線y=尤2+版+c與工軸交于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)4的坐

標(biāo)為（一1,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,—3）,直線CD：y=2%—3與久軸交于點(diǎn)。.動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作

軸，垂足為點(diǎn)P,交直線CD于點(diǎn)N.

\jl/

w

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OD上時(shí)，△CDM的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使以C,N,M為頂點(diǎn)的三角形是以NM為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接

寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

35.（2023?西藏日喀則?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a久2+版一4與x軸交于4（一1,0）,B（4,0）

兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求這條拋物線的解析式：

（2）如圖（甲），在x軸上是否存在點(diǎn)E,使得以E,B,C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請直接寫

出點(diǎn)￡坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（乙），動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PBC面積的最大

值.

36.（2023?山東濟(jì)南?二模）如圖，點(diǎn)2坐標(biāo)為（一1,0）,點(diǎn)/在x軸的正半軸上，四邊形BOE4是平行四邊

形，DF1x軸于點(diǎn)尸，BD=3V5,tanz￡）B/l=2,反比例函數(shù)y=>0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與AE

（1）求反比例函數(shù)解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若線段BD上一點(diǎn)P,使得乙DCP=4BDF,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)C作CGIIy軸，交DE于點(diǎn)G,點(diǎn)M為直線CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，〃為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這

樣的點(diǎn)X、M,使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出所有滿足條件的〃■點(diǎn)坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間：60分鐘）

一、單選題

I.（2024?四川廣元?二模）如圖，在等邊三角形48C中，。是邊BC上的中點(diǎn)，DE\\AB.將△COE繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（（F<a<360。），得到△CDE,連接4ZT,AE',當(dāng)力E，=V^CD時(shí)，a的大小是（）

A.60°或90°B.90°或120°C.60°或300°D.120°或150°

2.（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖，D,E分別在等邊△ABC的邊AB,BC上,且BD=CE,CD與2E交于點(diǎn)

F.延長CD到點(diǎn)尸，使N8PD=30。，若4F=a,CF=b,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A

A.ZXFD=60°B.BF的長度的最小值等于爭18

C.PC的長度為a+g6D.△4CF的面積的最大值是△ABC的面積的!

3.（2024?河南信陽?一模）如圖1,已知CJABCD的邊長4B為4仃，NB=30。，4E1BC于點(diǎn)￡現(xiàn)將△ABE

沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的△力BE與口/lBCD重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的函數(shù)

圖象如圖2,則當(dāng)/為9時(shí)，S的值是（）

D.5V3

4.（2024?河北衡水?一模）如圖，在△4BC中，zB=zC=65°,將△MNC沿MN折疊得△MN。，若MO與

△48C的邊平行，貝！ULMN的度數(shù)為（）

A.57.5°B.25°C.57.5。或25°D.115°或25°

5.（2024?安徽?一模）如圖，△4BC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC,CD=DE,

ZXBC=ZCD￡=90°,^A,C,￡共線，點(diǎn)廠和點(diǎn)G分別是BD和AE的中點(diǎn)，AE=4,連接4/，CF,FG,

EF,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CF+FG的最小值是2B.S^BCO的最大值為1

C.S^ABC+5△￡?￡）￡的最小值為2四D.AF+EF的最小值為2通

二、填空題

6.（23-24九年級下?四川成都?階段練習(xí)）如圖,△ABC是等邊三角形，AB=4,點(diǎn)。在邊AC上由。向/

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在邊BC上由8向C運(yùn)動(dòng)，且=連接B。、2