2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【分類討論】直角三角形中的分類討論思想（解析版）

直角三角形中的分類討論思想

知識(shí)方法精講

1.直角三角形的性質(zhì)

(1)有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的

性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊

的中點(diǎn))

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形

中，如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

2.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么。2+店=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式*+62=C2的變形有：a=J26=/及c=J,2+卜2.

(4)由于。2+62=C2>02,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

3.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,。滿足/+62=C2,那么這個(gè)三角形就

是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合

其他已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩

條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

4.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和

直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，

三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑尺而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈?/p>

腰直角三角形的兩個(gè)小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三

角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑廠=1,則外接圓的半徑尺=亞+1,所以廠：R=l：

V2+1.

5.分類討論思想

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的,

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共4小題）

1.（2021?大慶模擬）已知RtAABC,AC=3,BC=4,則RtAABC的面積為（）

A.6或過-B.6或25C.12或3aD.12或45

2

【考點(diǎn)】勾股定理

【分析】需要分類討論：4為直角三角形的直角邊，利用面積公式求解；4為直角三角形的

斜邊，利用勾股定理求得另一直角邊，利用面積公式求解即可.

【解答】解：在RtAABC中，當(dāng)4C=4是直角邊，此時(shí)SRMABC=1x3x4=6；

2

在RtAABC中，當(dāng)NC=4是斜邊，此時(shí)另一直角邊長(zhǎng)為：底=近,此時(shí)

deRtAABC--X3XV/-?

綜上所述，RtAABC的面積為6或些.

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的勾股定理以及三角形的面積，解題時(shí)需要進(jìn)行分類討論，以

防漏接，屬于基礎(chǔ)題.

2.有一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)為4和5,要使三角形為直角三角形，則第三邊長(zhǎng)為()

A.3B.V41C.3或aD.3或歷

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【分析】要使三角形為直角三角形，則該三角形其中兩邊的平方和等于第三邊的平方.此題

考慮兩種情況：第三邊是直角邊或斜邊.

【解答】解：當(dāng)要求的邊是斜邊時(shí)，則第三邊的長(zhǎng)是J42+52="1；

當(dāng)要求的邊是直角邊時(shí)，則第三邊的長(zhǎng)是乒不=3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題要能夠熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理，不要漏掉一種情況.

3.將等腰直角三角形NOB按如圖所示放置，然后繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△4。所的位置,

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(V2,V2)C.(-1,1)D.(-V2,V2)

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)

【分析】根據(jù)圖形和已知條件可以求得點(diǎn)/的坐標(biāo)，由等腰直角三角形按如圖所示放

置，然后繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4A'OB'的位置，進(jìn)而得到A'的坐標(biāo).

【解答】解：???三角形NO2是等腰直角三角形，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為2,

OA=AB,ZOAB=90°,OB=2,

OA=AB=-\/2,

二點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,1）,

???等腰直角三角形按如圖所示放置，然后繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4A'OB'的位置，

.,.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1,1）,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所

求問題需要的條件.

4.（2021秋?陽信縣月考）在RtAABC中，乙4,ZB,2C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=3,

b=5,則c的長(zhǎng)為（）

A.2B.V34C.4D.4或后

【考點(diǎn)】勾股定理

【分析】分兩種情況利用勾股定理解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，乙4,/B,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,a=3,b=5,

貝!Jc=+b2=V32+52=A/34或c=A/52-32=4,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)分兩種情況利用勾股定理解答.

二.填空題（共8小題）

5.（2020秋?普陀區(qū)期末）在RtAABC中，ZC=90°,NC=6,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，將A4CO

沿直線翻折得到A4E。，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡,聯(lián)結(jié)如果A5DE是以8。為直角

邊的等腰直角三角形，那么8c的長(zhǎng)等于12或3后.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】根據(jù)題意可知，需要分兩種情況，ABDE=90°,ADBE=90°,畫出對(duì)應(yīng)的圖形，

再根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：①當(dāng)NBOE=90。時(shí)，如圖，

此時(shí)，四邊形是正方形,

貝。=DE=NC=6,

又A5DE是等腰直角三角形,

屬于BD=DE=6,

所以5C=CD+BO=12；

②當(dāng)NOBE=90。時(shí)，如圖，

設(shè)BD=x,貝UBE=x,DE=叵x,

由折疊可知，CD=DE=41X,

由題意可知，ZBDE=ZDEB=45°,

ZCDE=\35°,

ZCAE=45°,

即是等腰直角三角形，

AC=CF=6,N尸=45°,

/.BE=BF=x,

/.V2x+x+x=6,

解得x=6—3A/2,

BC-+x=3A/2.

故答案為：12或3收.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題.

6.(2020秋?九江期末)已知在平面直角坐標(biāo)系中N(-2月，0)、8(2,0)、C(0,2).點(diǎn)尸在

x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)/、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(0,0)一(:-0)」(-2,0)一

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、/、3在x軸上，所以P、/、8三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.再分RtAPAC

和TtNPBC兩種情況進(jìn)行分析即可.

【解答】解：?.,點(diǎn)尸、4、3在x軸上，

:.P、/、2三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(加,0).

當(dāng)AP/C為直角三角形時(shí)，

①N4PC=90。，易知點(diǎn)尸在原點(diǎn)處坐標(biāo)為(0,0)；

②44。=90。時(shí)，如圖，

■.■ZACP=9Q°

AC2+PC2=AP2,

(2如)2+2?+77?+22=(〃?+26)2,

解得，:空,

3

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(半，0)；

當(dāng)A^C為直角三角形時(shí)，

①NBPC=90。,易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為(0,0)；

②N8C尸=90。時(shí)，

???NBCP=90°,COLPB,

PO=BO=2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).

綜上所述點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0),(罕，0),(-2,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.解題的關(guān)鍵

是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類.

7.（2021?南潺區(qū)二模）如圖是用三張大小各不相同的正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的

“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五張大小各不相同的正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,

選取其中三張，按如圖方式組成圖案，所圍成的RtAABC的面積可以為正或如或1或

22

2

【考點(diǎn)】勾股定理

【分析】由勾股定理知，選取的紙片面積為1,2,3或2,3,5或1,4,5或1,3,4,四

種情形，分別計(jì)算即可.

【解答】解：?.?五種正方形紙片，面積是1，2,3,4,5,

.?.五種正方形紙片的邊長(zhǎng)分別為1,6,6,2,石，

由題意得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積,

i6

當(dāng)選取的三塊紙片的面積為1,2,3時(shí)，所圍成的RtAABC的面積為-xlx^=J；

22

當(dāng)選取的三塊紙片的面積為2,3,5,時(shí)，所圍成的RtAABC的面積為'后、百="；

22

當(dāng)選取的三塊紙片的面積為1,4,5時(shí)，所圍成的RtAABC的面積為L(zhǎng)xlx2=l；

2

1向

當(dāng)選取的三塊紙片的面積為1,3,4時(shí)，所圍成的RtAABC的面積為-xlxg=更，

22

故答案為：也或逅或1或苴.

222

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

8.(2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末)有一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是4和5,要使這個(gè)三角形成為直角

三角形，則第三邊長(zhǎng)為3或4I.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【分析】因?yàn)闆]有指明哪個(gè)是斜邊，所以分兩種情況進(jìn)行分析.

【解答】解：①當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r(shí)，第三邊="2+52=歷；

②當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊為斜邊時(shí)，第三邊=存二不=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了勾股定理求解，注意要分兩種情況討論.

9.(2021秋?樂平市期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知/(4,0),8(0,3),以48為一

77

邊在A4O3外部作等腰直角A43C.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(7,4)或(3,7)或(于］)—.

【考點(diǎn)】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

【分析】分三種情形討論求解即可.當(dāng)4B=AC,ZB/C=90。時(shí)，作CE_Lx軸于￡.由

NAOB=ACEA(AAS),推出4E=OB=3,CE=OA=\,可得。點(diǎn)坐標(biāo)，同法可得，當(dāng)

AB=BC,ZABC=90°,。(3,4),當(dāng)48是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，C”是8c的中點(diǎn),

C〃(2,2).

【解答】解：如圖，當(dāng)A5=NC,N8/C=90。時(shí)，作CE_Lx軸于E.

:.ZABO+ZBAO=90°fZOAB+ZCAE=90°,

/ABO=/CAE,

???AB=AC,

\AOB?ACEA(AAS),

:.AE=OB=3,CE=OA=4,

C(7,4),

同法可得，當(dāng)AB=BC,ZABC=90°,0(3,7),

當(dāng)/B是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，?！ㄊ?C的中點(diǎn)，C〃(g,|),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,4)或(3,7)或g,I).

故答案為：(7,4)或(3,7)或g,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

10.(2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)在學(xué)習(xí)完“探索全等三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)

總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計(jì)了以下問題給同桌解決：如圖，做一個(gè)“U”字形

框架尸48。，其中48=42c加，AP,2。足夠長(zhǎng)，R4_L于點(diǎn)2,點(diǎn)M從B出發(fā)向/運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從8出發(fā)向。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)的速度之比為3:4,當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬

間同時(shí)停止，此時(shí)在射線4P上取點(diǎn)C,使AACAf與全等,則線段NC的長(zhǎng)為18

或28cm.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定

【分析】設(shè)c加，則8N=4/c/，使A4CM與A&W全等，由//=Z8=90。可知,

分兩種情況：

情況一：當(dāng)=8N=4W時(shí)，列方程解得f,可得/C；

情況二：當(dāng)BM=AM,BN=/C時(shí)，列方程解得/,可得/C.

【解答】解：設(shè).BM=3tcm,則BN=4/cm,因?yàn)镹N=N3=90。，使A4CM與ABMN全等,

可分兩種情況：

情況一：當(dāng)BM=AC,8N=4W時(shí)，

BN=AM,AB=42cm,

At=42—37,

解得：f=6,

AC=BM=3；=3x6=18cm；

情況二：當(dāng)BM=AM,BN=/C時(shí)，

BM=AM,AB=42cm,

3t—42一3t，

解得：t=1,

AC=BN=4z=4x7=28cm,

綜上所述，/。=18。加或/。=28。m.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)并利用分類

討論思想是解答此題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?徐州期中）已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為1和2,則第三條邊長(zhǎng)的平

方是5或3.

【考點(diǎn)】勾股定理

【分析】分2為直角邊和斜邊兩種情形，分別利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：當(dāng)2是直角邊長(zhǎng)時(shí)，由勾股定理得：第三邊的平方為：『+22=5；

當(dāng)2為斜邊長(zhǎng)時(shí)，由勾股定理得：第三邊的平方為：22-12=3.

故答案為：5或3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?諸暨市期中）如圖，將一張三角形紙片/2C的一角折疊，使得點(diǎn)工落在四邊

形3CDE的外部4的位置，且4與點(diǎn)C在直線48的異側(cè)，折痕為￡>￡,已知NC=90。，

44=30。.若保持△4DE的一邊與8c平行，則NADE的度數(shù)_45?；?0。_.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理

【分析】分D4//3C或E4//3。兩種情況，分別畫出圖形，即可解決問題.

【解答】解：當(dāng)。H//BC時(shí)，如圖，

AA'DA=NACB=90°,

■：NADE沿DE折疊到A'DE,

NADE=NA'DE=-ZADA'=45°,

2

當(dāng)E4//3C時(shí)，如圖，連接44',

Z2=NABC=60°,

NA'AB=ZAA'E=30°,

ZDAA'=ZDA'A=60°,

△AA'D是等邊三角形,

Zl=120°,

???\ADE沿DE折疊到A'DE,

ZADE=ZA'DE=^ZADA'=^（180°-Zl）=30°,

綜上所述，N4DE的度數(shù)為：45?；?0。.

故答案為：45。或30。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，能根據(jù)題意，運(yùn)用分類討論思

想分別畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共11小題）

13.（2020秋?德惠市期末）如圖，A4BC是等邊三角形，AB=4cm.動(dòng)點(diǎn)尸，。分別從點(diǎn)

4、2同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)尸以1cm/s的速度沿NC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)。以2cm/s的速度沿

射線8C運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸出發(fā)后，過點(diǎn)尸作尸E//4B

交BC于點(diǎn)E,連結(jié)PQMPQ為邊作等邊三角形PQF,連結(jié)C尸，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為心）.

（1）用含/的代數(shù)式表示C。的長(zhǎng).

（2）求APCE的周長(zhǎng)（用含/的代數(shù)式表示）.

（3）求C/的長(zhǎng)（用含/的代數(shù)式表示）.

（4）當(dāng)APQF的邊與3c垂直時(shí)，直接寫出I的值.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)

【分析】（1）分兩種情況討論，點(diǎn)。在線段8c上，點(diǎn)。在射線CD上;

（2）先證明APEC是等邊三角形，然后求出PC即可；

（3）根據(jù)手拉手全等模型，證明A￡P(guān)。三ACPF即可；

（4）分兩種情況，PQLBC,QF1BC；

【解答】解：（1）由題意得：

AP=tcm,BQ=2tcm,

KABC是等邊二角形，

/.AB-BC=AC=4cm，

分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)。在線段5c上，CQ=BC—BQ=(4-2txm,

當(dāng)點(diǎn)。在射線CO上；CQ=BQ-BC=(2t-4)cm,

:.CQ的長(zhǎng)為(4-2t)cm或(It-4)cm；

(2)?.?A45C是等邊三角形，

NA=NB=NACB=60°，

???PE11AB,

AB=APEC=60°,NA=NEPC=60。,

/.APEC是等邊三角形，

vAC=4cm,AP=tcm，

PC=AC-AP=(4-t)cm,

APEC的周長(zhǎng)=3(4-1)=(12-3t)cm；

(3)APEC是等邊三角形，AP。b是等邊三角形，

/.PE=PC=EC,PQ=PF,/EPC=ZQPF=60°,

ZEPQ=ZCPF,

,\EPQ二ACPF(SAS),

,EQ=CF,

BE=AP=tcm,BQ=2tcm,

/.EQ=CF=BQ—BE-tcm；

(4)分兩種情況：

當(dāng)尸Q_L5C時(shí)，如圖：

???PE=PC,PQ1BC,

CE=2CQ,

,-.4-/=2(4-20,

4

t——，

3

當(dāng)尸Q_L5C時(shí)，如圖:

???APQb是等邊三角形，

ZFQP=60°,

二./尸。。=30。,

?.?ZACB=60°,

:.ZCPQ=3Q°,

:.CP=CQ,

「.4—t=2t—4，

8

..t——,

3

:.t的值為士或§.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖

形分析是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

14.(2021秋?歷下區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/坐標(biāo)為(3,0),

四邊形0/2C為平行四邊形，反比例函數(shù)y="(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,與邊4B交于點(diǎn)D,

X

若OC=2叵,tanZAOC=l.

(2)點(diǎn)P(a,O)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求|PC-P0最大時(shí)。的值；

(3)連接CN,在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得四邊形

W為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題

【分析】(1)先確定出O￡=C￡=2,即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)先求出OC解析式，由平行四邊形的性質(zhì)可得3c=CM=3,BC/IOA,ABHOC,利

用待定系數(shù)法可求解析式，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形關(guān)系可得出當(dāng)點(diǎn)P,C,D

三點(diǎn)共線時(shí)，|尸C-P0最大，求出直線CD的解析式，令＞=0即可求解；

(3)若四邊形C4上W為矩形，則是直角三角形且/C為一條直角邊，根據(jù)直角頂點(diǎn)

需要分兩種情況，畫出圖形分別求解即可.

【解答】解：(1)如圖，過點(diǎn)C作軸于E,

圖1

ZCEO=90°,

,/tanZ.AOC=1

...ACOA=45°,

/.ZOCE=45°,

???OC=2V2,

OE=CE=2,

C(2,2),

???點(diǎn)。在反比例函數(shù)圖象上，

.,.左=2x2=4,

反比例函數(shù)解析式為＞=3；

(2)?.?點(diǎn)C(2,2),點(diǎn)0(0,0),

解析式為：y=x，

?.?四邊形。4BC是平行四邊形，

BC=OA=3,BC//OA,AB!IOC,

二點(diǎn)2(5,2),

.?.設(shè)N8解析式為：y=x+b,

...2=5+6,

/.b=-3，

.?"解析式為：＞=%-3,

'_4

聯(lián)立方程組可得：

j=x-3

或[x=-l（舍去）,

[y=ib=-4

點(diǎn)。(4,1)；

在APCD中，|尸C-P0＜CO,則當(dāng)點(diǎn)尸，C,。三點(diǎn)共線時(shí)，|PC-P0=CO,此時(shí),

IPC-P0取得最大值，

由(1)知C(2,2),。(4,1),設(shè)直線CD的解析式為：y=mx+n,

f2m+n=2,?,m=--

,解得ZF2，

4m+n=\c

i[n=3

,直線CO的解析式為：y=--x+3,

2

令y=0,BP-—x+3=0)得x=6,

2

尸C-P0最大時(shí)°的值為6.

(3)存在，理由如下:

若四邊形C4MN為矩形，則是直角三角形，

則①當(dāng)點(diǎn)/為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2,過點(diǎn)/作/C的垂線與y=3交于點(diǎn)分別過點(diǎn)C,

M作X軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)尸，G,

由“一線三等角”模型可得入4斤。64區(qū)弘，

則NB:MG=CF:/G,

■.■C(2,2),N(3,0),

OF=CF=2,AF=1,

:.1:MG=2:AG,即MG:NG=1:2,

設(shè)MG=f,則ZG=2,

M(2/+3,f),

4

???點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=—的圖象上,

x

則Q+3）=4,

解得仁士回

,（負(fù)值舍去）,

4

圖2

圖3

②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，這種情況不成立;

3+V41-3+741

綜上，點(diǎn)Af的坐標(biāo)為（-).

24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)綜合問題，涉及矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判

定.第一問的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，第二問的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)尸，C,。三點(diǎn)共線時(shí),

|PC-尸。取得最大值，第三問的關(guān)鍵是利用矩形的內(nèi)角是直角進(jìn)行分類討論，利用相似三

角形的性質(zhì)建立等式.

15.（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線乙：y=fcc+6與x軸交于

點(diǎn)/(-6,0),與直線4：y=-2x交于點(diǎn)C(a,4),點(diǎn)￡為X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求直線4的解析式;

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,0),過點(diǎn)￡作直線軸，分別交直線于點(diǎn)尸，G.求ACFG

的面積;

(3)若以點(diǎn)C、/、E為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題

【分析】(1)首先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再將，(-6,0).。(-2,4)代入y=Ax+6,解方程即可;

(2)求出尸，G的坐標(biāo)，從而得出尸G的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式；

(3)分乙4￡。=90。或N/C￡=90。或NC/￡=90。，分別畫圖進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)將C(a,4)代入y=-2x得，-2a=4,

/.a=-2，

C(-2,4),

將4(一6,0).。(一2,4)代入y=Ax+b得,

-6k+6=0

一2左+6=4

解得

[b=6

：.直線/1的解析式y(tǒng)=x+6；

(2)如圖，當(dāng)x=3時(shí)，＞=3+6=9,，尸(3,9),

當(dāng)x=3時(shí)，y=-2x=-6,G(3,-6),

:.FG=15,

0175

SACFG=-X15x5=—；

(3)當(dāng)N/EC=90°時(shí)，￡'(-2,0),

當(dāng)N/CE=90。時(shí)，

AE'=CE'=4,

:.ZACE'=45°,

ZE'CE"=45°,

E'E"=CE=4,

.?.E"(2,0),

由題意知ZCAE不可能為90°,

綜上，￡(-2,0)或(2,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了兩直線的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，

三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?河?xùn)|區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，直線A8分別交x軸，y軸于/Q0),3(0,6),

且滿足J4+2+62-86+16=0.

(1)a=__—2__,b=

(2)點(diǎn)尸在直線48的右側(cè)：且乙4必=45。；

①若點(diǎn)尸在無軸上(圖1),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a,6的值；

(2)①由乙4PB=45。，APOB=90°,得OP=OB=4,從而得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②由A43尸為直角三角形，ZAPB=45°,只有情況：N48P=90。或NB/尸=90。，分別利用

上型全等可解決問題.

【解答】解：Vsla+2+b2-8/?+16=0,

Ja+2+(6-4)2=0,

/.a=—2Jb=4,

故答案為：-2,4；

(2)①如圖，

?.?/4尸5=45。，APOB=90°,

.-05=4,

尸(4,0),

故答案為：(4,0)；

②???〃=-2,6=4,

/.OB=2OA=4,

又?.?A45尸為直角三角形，NAPB=45。,

?.只有情況：NABP=90°或/BAP=90°,

I：如圖，若445尸=90。，過點(diǎn)尸作尸C_L05于C,

/PCB=ABOA=90°,

又??,NAPB=45。,

ZBAP=/APB=45°,

BA=BP,

又?.?AABO+AOBP=AOBP+NBPC=90°,

/ABO=ZBPC,

AABO=ABPC(AAS),

pc=OB=4,BC=OA=2,

OC=OB——BC=4—2=2,

??.P(4,2)；

II：如圖，若NBAP=90。，過點(diǎn)尸作尸。_LO4于。,

/PDA=ZAOB=90°,

又???N4PB=45。,

/ABP=/APB=45°,

AP=AB,

又??.ABAD+ZDAP=90°,

NDPA+ZDAP=90°,

/BAD=ZDPA,

:.ABAO=AAPD(AAS),

PD=OA=1,AD=OB=4,

:.OD=AD-OA=4-2=2,

P(2,-2),

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(4,2)或(2,-2).

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì),

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟悉基本模型利用左型全等解決問題是關(guān)鍵，同時(shí)滲透了

分類思想.

17.(2021秋?嵩縣期末)如圖，點(diǎn)。是等邊AA8C內(nèi)一點(diǎn)，E是A48c外的一點(diǎn)，

ZCDB=130°,ABDA=a,ABDA三ACEA.

(1)求證：是等邊三角形；

(2)若ACDE是直角三角形，求a的度數(shù).

【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=ZCAE=ABAD,根據(jù)等邊三角形的概

念證明結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ACEA=ABDA=a,用a表示出NCED,ZCDE,根據(jù)

直角三角形的概念列式計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：?.■A4BC為等邊三角形，

ABAC=60°,

VMDA=ACEA,

AE=AD,NCAE=NBAD,

NCAE+ZDAC=ABAD+ADAC=60°,

\AED是等邊三角形；

(2)解：V/^BDA=ACEA,

/.Z.CEA-Z.BDA-a,

VA4E。是等邊三角形,

NAED=ZADE=60°，

NCED="60°,ZCDE=360°-130°-e-60°=170°-a,

ZDCE=180°-ZCED-ZCDE=180°-(a-60°)-(170°-a)=70°,

當(dāng)NC￡D=90。時(shí)，&-60。=90。，

解得：a=150。，

當(dāng)NCDE=90°時(shí)，170°-a=90°,

解得：a=80。，

綜上所述：ACDE是直角三角形時(shí)，e的度數(shù)為150?；?0。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的概念和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),

掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

18.(2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考)如圖，在RtAABC中，乙4c3=90。，AC=6,ZABC=30°,

點(diǎn)D,￡分別在邊4S,AC±,在線段ED左側(cè)構(gòu)造RtADEF,使ADEFsABM

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若=點(diǎn)￡與點(diǎn)C重合，￡＞尸與相交于點(diǎn)X.求證：2cH=BH.

(2)當(dāng)/￡=2時(shí)，連接即，取8b的中點(diǎn)G,連接。G.

①如圖2,若點(diǎn)尸落在NC邊上，求DG的長(zhǎng).

②是否存在點(diǎn)D,使得AT^G是直角三角形？若存在，求ND的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由.

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)首先可證\AED是等邊三角形，則NHCD=30°,CH=DH,得ZBHD=60°,

ZBDH=90°,仄而有BH=2DH,即可證明結(jié)論；

(2)①延長(zhǎng)加至/,使4=①，連接歹/,同理可得A4FD是等邊三角形，得

AD=AF=AI=4,則AD=Z)/=8,則。G是AS打的中位線，求出口的長(zhǎng)，從而解決問

題;

②由①可知，DG//FI,得N5DG=N[=30。，貝IN陽G=180?！?5QG—/用4=90。，

AZ）尸G是直角三角形，此時(shí)4。=4；當(dāng)/DG尸=90。時(shí)，作。平_L/C于匹，設(shè)/O=2x,

貝l」Z沙=x,WD=y/3x,DB=FD=12-2x,EW=x-2,在RtADWE中，利用勾股定理

列方程即可得出答案；當(dāng)/。產(chǎn)G=90。時(shí)，作。O_L4C于0,FN1AC于N,于

M,設(shè)4。=2工，則/O=x,OD=6x,DB=12-2x,EO=2-x,利用K型相似，表

示出EN=x,FN=^~,再利用由A2）尸QsAFG尸得，22二￡2,代入各線段長(zhǎng)，得

PFGP

,從而解決問題.

上二(16+x)

【解答】（1）證明：???/4C5=90。，AD=BD,

CD=AD=BD,

??Z5C=30。，

N4=60°,

/.\AED是等邊三角形，

ZACD=ZADC=60°,

ZHCD=30°,

NDEF^\BCA,

ZHCD=ZHDC=/ABC=30°,ZDFE=60°,

CH=HD,

?/ZADC=60°,ZHDC=ZABC=30°,

/HFB=90°,

二.2DH=BH,

2CH=BH；

（2）解：①延長(zhǎng)。%至/,使4/=D4,連接尸/,

B

I

vZACB=90°,AC=6,ZABC=30°,

AB=12fBC=NAB?-AC2=6百,

???點(diǎn)/落在zc邊上，

??.ZDFA=ZA=60°,

/.\AFD是等邊三角形，

AE=2,

AD=AF=AI=4,

??.BD=DI=8,

???G是即的中點(diǎn),

2DG=FI,

vAF=AI,AA=60°,

/AFI=ZI=30°,

ZDFI=90°,

:.FI=y/DI2-DF2=473,

DG=2y/3；

②由①可知，DG//FI,

/BDG=〃=30°,

ZFDG=180°-NBDG-ZFDA=90°,

.?.ADbG是直角三角形，此時(shí)NO=4；

如圖，/DG尸=90。時(shí)，

:G是新的中點(diǎn)，

DB=FD,

作。少_L/C于匹，

設(shè)AD=2x,貝IJZFK=x,WD=43x,DB=FD=l2-2x,EW=x-2,

ADEFSABCA,

EF=6-x,ED=43(6-x),

(岳＞+(x-2)2=(60_岳了，

解得：x=6A/TO—16—6VTO—16(舍去)，

此時(shí)，NO=12&U-32；

如圖，NDFG=90。時(shí)，作。。_L/C于。，F(xiàn)N工AC于■N,FA/18C于"，交DO于Q,

GP工FM于P,

B

設(shè)/D=2x,貝=OD=A,DB=12-2x,E0=2-x,

ADEF^ABCA,

.33

EF

???ZFNE=ZDOE=/DEF=90°,

ZDEO+/ODE=90°,/DEO+ZFEN=90°,

/.ZODE=/FEN,

AODEs.EF,

DO_OEDE_

*'E/V-FT7"EF-'

EN=x,FN=^^,CN=FM=6-2-x=4-x,BM=6百-FN=66-

J3V3

由AZ)尸0SAFGP得，坐="，

PFGP

26c

---(2x-ln)

.5_________?2___

2-9f(16+x)

乙o

化簡(jiǎn)得，x2+17x-14=0,

解得：x=UZ或旦士(舍去)，

22

此時(shí)/￡>=取^-17；

綜上所述，/D的長(zhǎng)為屈^-17或12&U-32或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造K型相似是解題的關(guān)鍵，難度較大，屬于中考?jí)狠S題.

19.(2021秋?沐陽縣校級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/,8的坐標(biāo)分別為(-1,0),

(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)8分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)N,B

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,。，連接/C,BD,CD.(三角形可用符號(hào)△表示，面積用符號(hào)S表示)

(1)直接寫出點(diǎn)C,。的坐標(biāo)；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)W,連接MC,MD,使2sAMm，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，沿著x軸正方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)A5DP是直角三角形時(shí)，求。尸長(zhǎng).

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可直接得出答案；

(2)設(shè)點(diǎn)W(小,0),由5AM3c=25AM即，則CD=2的0,有4=2|〃?-3],從而得出"的坐

標(biāo);

(3)當(dāng)ZBPD=90°時(shí)，得DP=2；當(dāng)ZBDP=90°時(shí)，設(shè)P(m,0),則

8尸2=(冽-3)2=加2—6機(jī)+9,DP2-(m-4)2+22^m2-8m+20,=(4一3了+2?=5,

運(yùn)用勾股定理列方程可解決問題.

【解答】解：(D由平移知，點(diǎn)C(0,2),￡>(4,2).

CD=4,

設(shè)點(diǎn)M(m,Q),

???5(3,0),

:.BM=\m-3\

S.DC_2S.BD，

-CDx2=2x-BMx2,

22

CD=IBM,

4=21冽—3|,

.?.冽=5或冽=1,

.?.M(5,0)或(1,0).

,一。(4,2),

...DP=2,

設(shè)尸(加,0),

BP2=(m-3)2=m2-6m+9,

DP2=(m-4)2+22=m2-8m+20,

5Z)2=：(4-3)2+22=5,

m2-6m+9=m2-8m+20+5，

解得：加二8,

/.DP=dm2-8m+20=2退，

由題意知ZDBP不可能為90。，

綜上所述，當(dāng)A5QP為直角三角形時(shí)，DP的長(zhǎng)為2或2

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

20.（2021秋?鄲城縣月考）（1）觀察猜想：如圖1,AABC是以4B、/C為腰的等腰三角

形，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在、AC±,豆DEUBC,將NADE繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

次0。骨卷60。）.如圖1：請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后助與CE的數(shù)量關(guān)系_8O=CE_.

圖1

（2）探究證明：如圖2,A4cB是以/C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，DE//BC分別交AC

與兩邊于點(diǎn)E、點(diǎn)。.將A4DE繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是

否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖2

（3）拓展延伸：如圖3,A4C2是直角三角形，tanNB/C=J,BC=2,D、E分別是NC

2

與的中點(diǎn)，現(xiàn)將AADE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角＜180。），當(dāng)A4BE是直角三角形時(shí)，求C。的

長(zhǎng).

圖3

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題

【分析】(1)結(jié)論BD=CE.證明=A4c￡(&4S)；

(2)結(jié)論不成立.3。與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=叵CE.證明AD/BSAE/C,可得結(jié)論；

(3)分兩種情形：當(dāng)/瓦42=90。時(shí)，當(dāng)乙4助=90?？诖?，分別利用勾股定理,相似三角形

的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1)結(jié)論&)=CE.

理由：如圖1中，;NBAC=NDAE,

ABAD=ZCAE,

???AB=AC,AD=AE,

NABD=NACE(SAS),

BD=EC.

故答案為：BD=CE.

(2)結(jié)論不成立.3。與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=y[2CE.

理由：?.?A43C,ZUED都是等腰直角三角形，

ARAF)I—

ACAB=ZEAD=45°,——=——=<2,

ACAE

NDAB=ZEAC,

??.^DABs^EAC,

:總』=6,

CEAC

BD=42EC；

(3)RtAACB中，tanZBAC=-,BC=2,

2

BC_1

AC=4,

~AC~2

AB=V^C2+BC2=V22+42=2V5,

.:D,E分別是ZC,48的中點(diǎn),

AE=—AB=5/5,AD=—AC=2>

22

當(dāng)NE/5=90。時(shí)，EB=4AB1+=^(275)2+(V5)2=5,

當(dāng)//匹=90。時(shí)，EB=dAB?_AE?=J(2后_(后二詬,

???ZEAD=ABAC,

NEAB=ADAC,

AEAB加

?'AD~Hc~~r9

\AEB^\ADC,

EBAEV5八廠275“

DCAD25

當(dāng)￡8=5時(shí)，CD=2下,

當(dāng)=時(shí)，CD=2。

綜上所述，滿足條件的CD的值為2e或2G.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用

分類討論的思想思考問題.

21.(2021秋?尤溪縣期中)已知加組正整數(shù)：第一組：(4,3,5)；第二組：(6,8,10)；

第三組：(8,15,17)；第四組：(10,24,26)；第五組：(12,35,37)；...

(1)寫出符合上述規(guī)律的第六組三個(gè)數(shù)：48,14,50；

(2)是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為80?若存在，請(qǐng)求出這組數(shù)；若

不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長(zhǎng)，是否一定可以畫出一個(gè)直角三角形，使

得該直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)？若可以，請(qǐng)說明理由；若不可以，請(qǐng)舉出反例.

【考點(diǎn)】勾股定理；規(guī)律型：圖形的變化類；勾股定理的逆定理

【分析】(1)根據(jù)題意可知，這"組正整數(shù)符合規(guī)律/-1,2m,蘇+1(加用，且加為整

數(shù)）.

（2）分三種情況：m2-1=80；2m=80；m2+1=80；進(jìn)行討論即可求解；

（3）由于（加z