(完整)初二數學-面積法解題

種一…種一…1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd初二數學…面積法解題【本講教育信息】【講解內容】——怎樣證明面積問題以及用面積法解幾何問題【教學目標】使學生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力?！局攸c、難點】：重點：證明面積問題的理論依據和方法技巧。難點：靈活運用所學知識證明面積問題?！窘虒W過程】（一）證明面積問題常用的理論依據5.三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的部分。同底同高或等底等高的兩個三角形面積相等。5.14141—。4三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的三角形三邊中點的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的有一個角相等或互補的兩個三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）證明面積問題常用的證題思路和方法分解法：通常把一個復雜的圖形，分解成幾個三角形。作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。利用有關性質法：比如利用中點、中位線等的性質。還可以利用面積解決其它問題?！镜湫屠}】（一）怎樣證明面積問題分解法例1.從4ABC的各頂點作三條平行線AD、BE、CF,各與對邊或延長線交于D、E、F,求證：4DEF的面積=24ABC的面積。B D C分析：從圖形上觀察，^DEF可分為三部分，其中①是^ADE，它與4ADB同底等??,一1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd高，故S=SAADE AADB②二是△ADF,和上面一樣，S=SAADF AADC③三是△AEF,只要再證出它與4ABC的面積相等即可由S△CFE-S△CFB故可得出Saaef=Saabc△△證明：?「AD//BE//CF?.△ADB和4ADE同底等高，S△ADB-S△ADE同理可證：S =S：△ADC △ADF,?S△ABC—0△ADE+SaADFWS=S△CEF △CBF，S△ABC-S△AEF,'S△aef+S△ade+S△adf_2S△abc*Sn口口=2S△DEF △ABC作平行線法例2.已知：在梯形ABCD中，DC/AB,M為腰BC上的中點1求證：S=SAADM2ABCDS=S+SAAMD ADMN AAMN2證明：過M作S=S+SAAMD ADMN AAMN2證明：過M作MN//ABVM為腰BC的中點???MN是梯形的中位線設梯形的高為hDC+ABMN= 2ABCD2則S =MN?hABCD1又?S=S+S=MN-hAAMD AAMN AMND 21:.S=SAADM 2ABCD（二）用面積法解幾何問題有些幾何問題，往往可以用面積法來解決，用面積法解幾何問題常用到下列性質：

性質1：等底等高的三角形面積相等性質2：同底等高的三角形面積相等性質3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半性質4：等高的兩個三角形的面積比等于底之比性質5：等底的兩個三角形的面積比等于高之比1.證線段之積相等例3.設AD、BE和CF是^ABC的三條高，求證：AD?BC=BE?AC=CF?ABAA分析：分析：B DC從結論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到可用面積法。證明：?「AD、BE、CF是^ABC的三條高c AD-BCBE-ACCF-AB:.S= = = aabc 2 2 2...AD-BC=BE-AC=CF-ABF分析：因為AB//DF,所以AABF與AABC是同底AB和等高的兩個三角形，所以這兩個三角形的面積相等。證明：連結AC「CF//ABS=S=1SAABF AABC 2平行四邊形ABCD又「CE//AD1...S =S =SAADE AACD2平行四邊形ABCD:.S =SAABF AADE3.證線段之和例5.已知△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上任一點，PE±AB,PF±AC,BH±AC,求證：PE+PF=BHABP C分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結AP,則11S=S+S=AB-PE+-AC-PFAABC AABP AAPC221又由AB=AC,所以S=AC-(PE+PF)AABC21又S =AC-BHAABC2故PE+PF=BH證明：連結AP,則S=S+SAABC AABP AAPCVAB=AC,PE±AB,PF±AC111S=AB-PE+-AC-PF=-AC-(PE+PF)AABC2 2 2XVBHXAC1...S=AC-BHAABC211：.—AC-(PE+PF)=AC-BH2 2.\PE+PF=BH4.證角平分線例6.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點F、E,使AE=CF,連AE、CF交于P,求證：BP平分NAPC。D E C分析：要證BP平分NAPC,我們可以考慮，只要能證出B點到PA、PC的距離相等即可，也就是△ABE和4BFC的高相等即可，又由已知AE=FC可聯(lián)想到三角形的面積，因此只要證出Sx=S?F即可△ABE一SAABC，S△BFC-S△ABC所以SaABF=SABfc，因此問題便得解。△ABE △BFC

證明：連結AC、BE、BF???四邊形ABCD是平行四邊形*，S△ABE-S△ABCSS△BFC △ABC*SS△ABE △BFCXVAE=CF而^ABE和^BFC的底分別是AE、CF.二△ABE和^BFC的高也相等即B至UPA、PC的距離相等*B點在NAPC的平分線上APB平分NAPC【模擬試題】（答題時間：25分鐘）連結AF、AE,求證：S△1.在平行四邊形ABCD中，E連結AF、AE,求證：S△=SABE △ADF2.在梯形2.在梯形ABCD中，DC//AB,M為腰BC上的中點，求證:S=S+SAADM ADCM AABM111+ 二——Rt△ABCRt△ABC中，NACB=90°,a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h,求證：a2b2h24.已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點，G、H為邊DC的三等分點，求證:1S=SEFGH3ABCD種一…種一…1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,LtdCE_15.在^ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且AC3,CD和BE交于G,求△ABC和四邊形ADGE的面積比。??,一1-rinrntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司ChangshuWonderfulSailingEducationCo.,Ltd【試題答案】.證明：連結AC，則SAABC=SAADC又VE、F分別為BC、CD的中點1...S=SSKADF:.SAABEAABESKADF:.SAABE2AADC二SAADF.證明：過M作MN//DC//ABVVM為腰BC上的中點.,.△DCM和^ABM的高相等，設為h1:.S +SADCM AABM:.S +SADCM AABM1,1,=DC-h+AB-h121=_(DC+AB)-勺又V^DMN與^AMN的高也為h1...S=S+SAADM ADMN AAMN12=1MN.h+1MN.12=1MN(h+h)2 1 1=MN?h1VMN為梯形的中位線1，，一、MN=-(AB+CD).??2...S=S+SCDXCDXAB.證明：V在Rt^ABC中，NACB=9011/.S =ab=AB-hAABC2 2.ab=AB?h:.a2b2=AB2-h2=(a2+b2)-h2.兩邊同時除以a2+b2得：1 1 1—十——=—a2b2h2.證明：連結FD、FG、FC

DFCMBDFCM1S—S則由已知可得AFGH 3ADFC:.SAEFG1=2EF(h+a)?SAAFD+SABFC11=—AF?h+—BF?(h+3a)22:.SAEFG1=2EF(h+a)?SAAFD+SABFC11=—AF?h+—BF?(h+3a)2213EF?h+—EF?h+—EF?a233—EF?h+—EF?a113(—EF?h+-EF2 213?2EF?(h+a)3SAEFGS即AEFG—-(S3AAFD+SABFC)1S—-S①+②得：EFGH3ABCD.證明：作DF〃AC交BE于F可得