2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)學(xué)案北師大版必修1

正整數(shù)指數(shù)函數(shù)1．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)及指數(shù)型函數(shù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)型函數(shù)條件a>0且a≠1自變量x定義域正整數(shù)集N＋實數(shù)集R解析式y(tǒng)＝axy＝kax，k∈R正整數(shù)指數(shù)函數(shù)有何特征？提示：①系數(shù)：ax的系數(shù)必須是1.②底數(shù)：a是大于0不等于1的常數(shù)．③指數(shù)：單個x在指數(shù)位置上．④定義域：正整數(shù)集N＋.2．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是由第一象限內(nèi)的一些孤立的點構(gòu)成的，是離散而不是連續(xù)的．(2)分布規(guī)律：①當(dāng)0<a<1時，自左向右這些孤立的點是下降的；②當(dāng)a>1時，自左向右這些孤立的點是上升的．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)函數(shù)y＝1x，y＝－4x，y＝(－8)x都不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．(√)提示：三個函數(shù)都不符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的表示形式．(2)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的圖像是一系列上升的點．(√)提示：底數(shù)大于1，所以函數(shù)是遞增的．(3)函數(shù)y＝(a2－3a＋3)·ax(x∈N＋)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則a＝1或a＝2.(×)提示：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1.))所以a＝2.2．已知函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上的最大值為8，則a的值是________．【解析】由題意知a＞1，且a3＝8，解得a＝2.答案：23．(教材二次開發(fā)：P62例題)某細(xì)胞在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次(由1個分裂成2個)，經(jīng)過兩個小時，1個這樣的細(xì)胞可以分裂成________個細(xì)胞．【解析】2小時共分裂8次，所以共分裂成28個．答案：28(或256)類型一正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義(數(shù)學(xué)抽象)1．下列函數(shù)中是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝10x＋1(x∈N＋) B．y＝(－2)x(x∈N＋)C．y＝5·2x(x∈N＋) D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)【解析】選D.A中y＝10x＋1的指數(shù)為x＋1，而不是x，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；B中y＝(－2)x的底數(shù)－2<0，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；C中y＝5·2x的系數(shù)為5，不是1，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；D中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．2．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,9)))，則此函數(shù)的解析式為________．【解析】把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,9)))代入y＝ax(a>0，且a≠1)，得eq\f(16,9)＝a2，所以a＝eq\f(4,3)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)，x∈N＋.答案：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)，x∈N＋判斷一個函數(shù)是否是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的步驟一看形式：函數(shù)解析式為指數(shù)冪的形式，系數(shù)為1，且冪的底數(shù)為常數(shù)，此常數(shù)大于零且不為1，指數(shù)位置僅為x；二看定義域：x的取值為全體正整數(shù)．以上同時滿足，函數(shù)就是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，只要有一條不滿足，函數(shù)就不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．提醒：注意正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)與冪函數(shù)y＝xa的區(qū)別．【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列函數(shù)哪些是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)？哪些不是？為什么？(1)y＝4x(x∈N＋).(2)y＝x4(x∈N＋).(3)y＝－4x(x∈N＋).(4)y＝(－4)x(x∈N＋).(5)y＝xx(x∈N＋).(6)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，a≠1，x∈N＋)).【解析】(1)(6)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，因為它們符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．(2)為冪函數(shù)．(3)中函數(shù)的系數(shù)為－1，不符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．(4)中函數(shù)的底數(shù)a＝－4<0，不符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．(5)中函數(shù)的底數(shù)是變量而不是常量，也不符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．類型二正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝(a－1)x(x∈N＋)的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．1<a<2B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)>1D．a(chǎn)>2【思路導(dǎo)引】根據(jù)函數(shù)圖像與直線y＝1的關(guān)系，求出參數(shù)的范圍．【解析】選D.在y＝(a－1)x中，因為x∈N＋時，y>1，則必有a－1>1，所以a>2.2．已知0<a<1，則函數(shù)y＝ax－1(x∈N＋)的圖像在第______象限．【思路導(dǎo)引】先作出y＝ax(x∈N＋)的圖像，再平行向下移動1個單位，觀察得出結(jié)論．【解析】y＝ax(0＜a＜1，x∈N＋)的圖像在第一象限中x軸上方、直線y＝1下方的一個區(qū)域內(nèi)，而y＝ax－1的圖像是將y＝ax的圖像向下平移1個單位，因此，圖像在第四象限．答案：四3．畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性．【思路導(dǎo)引】使用描點法畫圖像，注意函數(shù)的定義域是N＋.【解析】函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)的圖像如圖所示，從圖像可知，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)(x∈N＋)是遞減的．畫正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像的方法由于正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N＋，而正整數(shù)集是不連續(xù)的，所以用描點法畫正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像時，不能用平滑的曲線連起來．提醒：研究正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)要注意分底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1兩類討論．1．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋的圖像是()A．一條上升的曲線 B．一條下降的曲線C．一系列上升的點 D．一系列下降的點【解析】選D.由于x∈N＋且底數(shù)為eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋的圖像是一系列下降的點．2．函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1，3]上是增加的，且最大值與最小值的差為a，則a＝________．【解析】因為f(x)在[1，3]上是增加的，所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a，f(x)max＝f(3)＝a3.所以a3－a＝a，即a(a2－2)＝0.又因為a>0，且a≠1，所以a＝eq\r(2).答案：eq\r(2)類型三正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)角度1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)在生活中的應(yīng)用【典例】已知每天荷葉覆蓋水面的面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全覆蓋池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積的一半時，荷葉已生長了()A．10天B．15天C．19天D．20天【思路導(dǎo)引】設(shè)荷葉覆蓋水面初始面積為a，根據(jù)每天覆蓋面積是前一天的2倍，20天完全覆蓋水面，列出方程求解即可．【解析】選C.設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為a，設(shè)x天后荷葉覆蓋水面的一半，因為每天荷葉覆蓋水面的面積是前一天的2倍，所以x天后荷葉覆蓋水面的面積為a·2x(x∈N＋)，又因為荷葉20天可以完全覆蓋池塘水面，所以2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.角度2正整數(shù)指數(shù)函數(shù)在放射性問題中的應(yīng)用【典例】已知鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為20克的鐳經(jīng)過x百年后剩留量為y克(其中x∈N＋)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出經(jīng)過1000年后鐳的質(zhì)量．【思路導(dǎo)引】由每一百年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，列出函數(shù)關(guān)系式．【解析】鐳原來質(zhì)量為20克，100年后鐳的質(zhì)量為20×95.76%(克)，200年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)2(克)，300年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)3(克)，……x百年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)x，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)，所以經(jīng)過1000年(即x＝10)后鐳的質(zhì)量為y＝20×(95.76%)10(克).本例條件不變，大約經(jīng)過多少年鐳的質(zhì)量為原來的80%?【解析】設(shè)原來質(zhì)量為1，經(jīng)x年剩留質(zhì)量為y，則y＝(95.76%)，列x與y的對應(yīng)值表x200300400500600…y0.91700.87810.84090.80520.7711…觀察表中數(shù)據(jù)y≈0.8時對應(yīng)的x≈500，即大約經(jīng)過500年鐳的質(zhì)量為原來的80%.實際生活中正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)在實際生產(chǎn)、生活中具有廣泛的應(yīng)用，增長率問題、復(fù)利問題、細(xì)胞分裂問題、質(zhì)量濃度等問題都與正整數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)．(2)求解實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言進(jìn)而建模，求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最后回歸到實際問題．1．一個工廠計劃2020年起，年產(chǎn)值在10年內(nèi)翻兩番，則其年平均增長率是()A．eq\f(4,10)B．eq\r(10,4)C．eq\r(10,4)－1D．eq\r(10,2)－1【解析】選C.設(shè)2019年底的總產(chǎn)量為a，年平均增長率為x，則4a＝a(1＋x)10，所以(1＋x)10＝4，所以x＝eq\r(10,4)－1(負(fù)值舍去).2．某林區(qū)2019年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴(yán)禁砍伐等措施，使木材蓄積量的年平均增長率達(dá)到5%.(1)若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的關(guān)系式，并求此函數(shù)的定義域．(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖像，并應(yīng)用圖像求經(jīng)過多少年后，林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬立方米．【解析】(1)現(xiàn)有木材的蓄積量為200萬立方米，經(jīng)過1年后木材蓄積量為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2，所以經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(1＋5%)x.所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋).(2)作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的圖像，如圖所示．設(shè)直線y＝300與函數(shù)y＝200(1＋5%)x的圖像交于A點，則A(x0，300)，A點的橫坐標(biāo)x0的值就是y＝300時(木材蓄積量為300萬立方米時)所經(jīng)過的年數(shù)x的值．因為8<x0<9，則取x0＝9，所以經(jīng)過9年后，林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬立方米．3．霧霾對人的身體健康的危害日益嚴(yán)重，患呼吸道疾病的人數(shù)明顯增多，若某地從2015年到2019年間平均每年上升2%.若按這個增長率進(jìn)行研究，設(shè)從2014年開始經(jīng)過x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人數(shù)為y萬人，若2019年患病人數(shù)為11萬人：(參考數(shù)據(jù)1.023≈1.06，1.025≈1.1)(1)試計算出2014年患呼吸道疾病的人數(shù)．(2)寫出x，y之間的關(guān)系式，并計算2022年患呼吸道疾病的人數(shù)．【解析】(1)設(shè)2014年患病人數(shù)為a萬人，則a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.因為1.025≈1.1，所以a≈10，所以2014年患呼吸道疾病的人數(shù)約10萬人．(2)2015年患病的人數(shù)為10(1＋2%)，2016年患病的人數(shù)為10(1＋2%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2017年患病的人數(shù)為10(1＋2%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3；……x年后患病的人數(shù)為10(1＋2%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，到2022年x＝8，故患病人數(shù)y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(萬人).所以2022年患呼吸道疾病的人數(shù)約11.66萬人．【補(bǔ)償訓(xùn)練】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式．(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人).(3)計算大約多少年以后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人(精確到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?【解析】(1)1年后該城市人口總數(shù)為y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(萬人).(3)令y＝120，則有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.即大約16年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人．1．下列各項對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的理解正確的有()①底數(shù)a≥0；②指數(shù)x∈N＋；③底數(shù)不為0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋).A．0個B．1個