北京市海淀區(qū)2024-2025學年高三年級上冊期中練習數(shù)學試題【含解析】

北京市海淀區(qū)2024-2025學年高三上學期期中練習數(shù)學試題

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無

效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合/={#<°或久>1},82,0」,2},則如5=（）

A.{-2,2}B.{-2,1,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】利用交集的定義可求得集合

【詳解】因為集合幺={#<0或久>1},5={-2,0,1,2},則=2,0,2}.

故選：C.

2.若復數(shù)Z滿足i.z=l—i,則2=（）

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)乘法運算計算即得.

【詳解】由i-z=l—i,得—i2-z=（l—i>（—i）,所以z=—1—i.

故選：D

3.若。<6<0,則下列不等式成立的是（)

baba、

A.a1<b1B.a1<abC.->-D.-+->2

abab

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及基本不等式，逐項分析即可得解.

【詳解】因為。<6<0,

所以—a>—b〉0,所以（一。）2〉（一6）2,即/〉〃，故A錯誤;

因為q<Z?vO,所以孑>ab，故B錯誤;

由A知/〉/,兩邊同乘以正數(shù)工，則f〉2,故c錯誤;

abba

因為a<b<0,所以f〉0,2〉0,所以2+322、口?巴=2（a手b,等號不成立）,

baab\ab

故—I—>2,故D正確.

ab

故選：D

4.已知/（力=業(yè)，則/'馬=（）

cosx<4J

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，計算得解.

【詳解】因為/（》）=",

COSX

cos2x+s?m?x1

所以/'(x)=

cos2Xcos2X

2

故選：B

5.下列不等式成立的是（）

0203

A.log030.2<1B.O.3<1C.log030.2<0D.O.2>1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項即可.

【詳解】因為函數(shù)y=logo,3X在（0，+。）上單調(diào)遞減，

所以logo.30.2>logo,30.3=1,logo,30.2>logo.31=0,故AC錯誤;

因為函數(shù)y=0.3、在R上單調(diào)遞減,

所以0.3°,2<03°=1，故B正確；

因為函數(shù)了=0.2，在R上單調(diào)遞減,

所以0.2°3<0.2°=1，故D錯誤.

故選：B.

-2

xxNa

6.若/(x)=<'-'在R上為增函數(shù)，則。的取值范圍是()

[2x+3,x<a

A.工+。)B.[3,+oo)C.[-1,3]D.(-?,-l]U[3,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式運算得解.

【詳解】因為/(x)是R上單調(diào)遞增函數(shù)，

?>0

所以〈2c」解得

a1>2^+3

所以實數(shù)。的取值范圍為[3,+00).

故選：B.

7.已知向量￡=(x,l)》=(-l,y),則下列等式中，有且僅有一組實數(shù)x,y使其成立的是()

A.a-S=0B.|a|+|S|=2C.|a|=向D.\a+b\^2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標運算，向量的模，向量的數(shù)量積，建立方程，分析方程的解的個數(shù)即可得出答案.

【詳解】當鼠3=0時，—x+y=0,有無數(shù)組解，故A錯誤；

當日+⑻=2時，&+1+,1+產(chǎn)=2,因為6+121,71+「.1，

所以+22,當且僅當》=>=0時，等號成立，

故方程有且僅有一組解，故B正確；

當0|=歷|時，G+1=J1+/,當了=>或x=-了時方程成立，方程有無數(shù)組解，故C錯誤；

當0+加=2時，即加_1)2+(1+?=2,即(X—1『+(1+田2=4,方程有無數(shù)組解，故D錯誤.

故選：B

8.大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差(一天

氣溫的最高值與最低值之差).下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設除綠化外，其它可能影響甲、

乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

小氣溫/C

24---------

O\6121824時商/時

A.由上圖推測，甲地的綠化好于乙地

B.當日6時到12時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

C.當日12時到18時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

D.當日必存在一個時刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項即可.

【詳解】對于A,由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，

所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；

對于B,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢更大，

所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；

對于C,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負數(shù)，且乙地的變化趨勢更大，

所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯誤；

對于D,由圖可知，存在一個時刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同，故D正確.

故選：C.

9.設無窮等差數(shù)列｛%｝的前〃項積為7；.若為<0,則“7；有最大值”是“公差420”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】分析公差d>0,d=0,d<0三種情況，當d=0,d<0時7；無最大值，當d〉0時,

不一有最大值，即可得出論

【詳解】對于無窮等差數(shù)列｛即｝，由于為<0，

當d〉0時，若數(shù)列中小于0的項為偶數(shù)項，且數(shù)列中無0時，顯然北沒有最大值,

當d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，當可不等于-1時，T“=a；,無最大值，

所以公差d>0不能推出T?有最大值，

當d<0時，％,<0,所以|圖趨于正無窮，｛1｝為正負間隔的擺動數(shù)列，沒有最大值,

所以當(有最大值時，只能d?0,

綜上，“北有最大值”是“公差c/>0”的充分不必要條件，

故選：A

10.已知數(shù)列｛47｝滿足。"+1=7乜0(1-%)(〃=1,2,3,?一),為€(0,1),則()

A.當r=2時，存在〃使得見,21

B.當尸=3時，存在〃使得%<0

C.當廠=3時，存在正整數(shù)N,當〃〉N時，an+l>an

D.當r=2時，存在正整數(shù)N,當"〉N時，an+x-an<-^—

,"2024

【答案】D

【解析】

【分析】需要根據(jù)給定的「值，分析數(shù)列｛4｝的性質(zhì).通過對遞推式的分析和一些特殊情況的探討，結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)來判斷每個選項的正確性.

【詳解】對于A選項，當\=2時,a用=2%—

令/(%)=2x(1-x)=-2x2+2x,xe(0,1).

對于二次函數(shù)y=—2/+2X,其對稱軸為x=g,最大值為/(；)=g.

因為%e(0,1),由遞推關系可知e(0,1),所以不存在〃使得凡A選項錯誤.

對于B選項，當r=3時，an+i=3an(l-an).

令％=xe(0,1),y=3x(1-x)=-3x2+3x.

因為y=—3/+3x的值域為(0,3],且％e(0,l),所以由遞推關系可知a.e(0,1),不存在〃使得

<0,B選項錯誤.

對于C選項，當尸=3時,an+i=3an(l-an).

令%=X￡(0,1),y=3x(1-x)=-3x2+3x.

設%=3%an=2an-3a；.

令g(x)=2x—3/,xe(0,l),g(x)對稱軸為x=1,g(x)在(0,；)上遞增，在(；,1)上遞減.

當xe(0,1)時，g(x)的值不是恒大于0的，所以不存在正整數(shù)N,當〃〉N時，an+x>an,C選項錯誤.

對于D選項，當外=2時，4+1=2a“(l—4).

設b“=an+l-an=2a“(1—%)-%=an-2a：.

因為a〃e(0,l),y=—2/+x在(0,；)上遞增，在(；1)上遞減.

當?足夠大時，an會趨近于某個值a(0<a<1),此時bn=an+1-an會趨近于0.

所以存在正整數(shù)N,當n>N時，an+i-an<-^—,D選項正確.

2024

故選：D.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

II.已知10"=2,10"=5,則a+b=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算求解.

【詳解】因為10"=2,10:5,

所以a=lg2,b=lg5,

故。+6=愴2+愴5=愴10=1,

故答案為：1

7T

12.在平面直角坐標系xQy中，角a的終邊經(jīng)過點尸(2,1).若角a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn),得到角4的終邊，

則sin0=.

【答案】拽##2指

55

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式求解.

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點尸(2,1),

,,2275

所ce以cosa='.二----，

V22+l25

又A=tz+5,

所以sin尸=sin[0+]]=cosa=~~~

故答案為：2叵

5

13.如圖所示，四點Q4瓦C在正方形網(wǎng)格的格點處.若反=2厲+〃礪，則4=，〃=

2_1

【答案】①.§-

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算得解.

【詳解】建立平面直角坐標系，如圖，

則0(0,0),4(3,6),0(4,5),3(6,3),

所以雙=(4,5),E=(3,6),礪=(6,3),

^OC=WA+nOB可得(4,5)=2(3,6)+“6,3),

34+6M=412

即《解得"=-,2,

64+3M=533

—121

故答案為：一；一

33

14.已知函數(shù)/(x)=sin(s+夕)]。>0」"|<曰滿足/(x)>一2/(0)恒成立.

①。的取值范圍是；

-2/(0),則。的最小值為

JT7T一

【答案】①.—<(p<—②.2

62

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知-2/(0)<-1一27(0)確定了-1,

解出。，由。>0可得最小值.

【詳解】因為/(x)=sin(ox+。)，所以/(x)min=-1

所以由/(x)>-2/(0)可得—2/(0)<-1,

即/(0)=sin^>^-,

兀兀兀

由|。|<一可知，一v0<一,

262

因為%V/(O)<1,所以—2<—2/(O)<—1,

2兀

因為一所以由/-27(0)可知-2/(0)=-1,

即/⑼=sin0=；,^=~

,,?./2兀1.(271兀、1LLlI2兀71兀27r

此時f\——sin—coH———1,所以—co-\——---卜2kekeZ,

V3J<36)362

解得刃=3E—11￡Z,又。>0,所以端皿二？.

JTJT

故答案為：—<(p<—；2

62

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于對正弦函數(shù)最值的理解，理解了正弦函數(shù)最值就能根據(jù)

/(X)2-2/(0)恒成立轉(zhuǎn)化為—2/(0)<-1,也能根據(jù)/fyl=-2/(0)轉(zhuǎn)化出/[g]=-1.

15.已知函數(shù)/(x)=ln'+l),其定義域記為集合。，凡be。，給出下列四個結(jié)論：

Inx

①。={x|x〉0且x片1}；

②若。6=1,則"(a)—/(b)|>1；

③存在awb,使得在(a)=/(6)；

④對任意。，存在b使得/(a)+/S)=L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)解析式求定義域判斷①，利用對數(shù)運算化簡及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②，求函數(shù)導數(shù),

利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性及范圍可判斷③，取6=工后利用對數(shù)運算化簡可判斷④.

a

ln(x+1)x+1>0

【詳解】由/a)=T—^知，八且xwi,解得x>0且xw1,

Inx[x>0

所以{x|x>0且xwl},故①正確；

ln(a+l)+ln(』+l]

ln(a+l)+

當必=1時，/⑷_/s)=T~)一--取1=

吊。ln-3-Ina

a

In|2+H—|/、

Ia)i八”，

=,y=logl2+a+

InaIaJ

因為2+QH—>一，當0<a<l時，logJ2+aH-]<-1,

aa\a)

當1<4時，因為2+Q+，〉Q,logj2+6Z+-|>1,

a\aJ

所以log(2+a+：]〉1,故②正確；

Inxln(x+1)

=x+1X=xlnx-(x+l)ln(x+l),當0<x<l時，xlnx<0,(x+l)ln(x+l)>0,

In2xx(x+l)ln2x

所以xlnx-(x+l)ln(x+l)<0,又x(x+l)ln2x>0,所以/'(x)<0,/(x)在(0,1)上

單調(diào)遞減，當x〉l時，y=xlnx單調(diào)遞增，所以xlnx<(x+l)ln(x+l),

同理可得/'(x)<0，/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

又xf0時，lnx(0,ln(x+l》0,所以/(口=隼乎<0,

當Xf+00時，ln(x+l)>Inx>0,所以/(》)=“、+1〉],即當0<》<1時，

函數(shù)圖象在x軸下方單調(diào)遞減，當x>l時，函數(shù)圖象在y=l上方單調(diào)遞減，

所以不存在〃Wb,使得/(0=/S),故③錯誤；

1ln|—bl]ln(a+l)-ln(—F1|

由②可聯(lián)想考慮當b=4時，/(?)+f(b)=皿,+1)+J=------------一L=止=1,

a]na]口2_山。Ina

a

即對任意。，存在使得/伍)+/3)=1,故④正確.

a

故答案為：①②④

【點睛】關鍵點點睛：判斷③時，關鍵在于求導數(shù)后，能分類討論得到導數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)

性，再分析兩段函數(shù)圖象的上下界，才能作出正確的結(jié)論.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知無窮等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S',=3"+6.

(1)求"外的值；

(2)設。"=。2“+2〃一1,〃=1,2,3b一，求數(shù)列｛c“｝的前〃項和北.

【答案】(1)b=-1,^=2

(2)w(9"—1)+〃2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列中%,S,的關系可得解；

(2)根據(jù)分組求和，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式得解.

【小問1詳解】

當〃22時,a”=S“-Si=2x3"T,

因為｛4｝是等比數(shù)列，所以q=2,

又因為q=E=3+6,所以6=一1.

【小問2詳解】

由⑴知/=2x3"T,

因為出=6,且&^=9,

所以｛的.｝是以6為首項，9為公比的等比數(shù)歹!J,

+%.）+[1+3+…+（2〃-1）]

17.設函數(shù)/（x）=Nsin2x—Zsi/x+l（幺＞0）,從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為

己知.

（1）求A的值；

（2）若/（x）在（0,加）上有且僅有兩個極大值點，求機的取值范圍.

條件①：f

JT

條件②：將/（X）的圖象向右平移一個單位長度后所得的圖象關于原點對稱;

12

條件③：對于任意的實數(shù)匹,》2，|/（匹）-/（》2）|的最大值為4.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）也

7兀13兀

【解析】

【分析】（1）化簡/（x）后，選條件①，根據(jù)/：7兀

120化簡得解；選條件②，由平移可知

0,化簡求解；選條件③，轉(zhuǎn)化為振幅"71=2得解;

(2)由正弦型函數(shù)性質(zhì)求出極大值點，再根據(jù)題意知一在區(qū)間內(nèi)，一不在區(qū)間內(nèi)即可得解.

66

【小問1詳解】

條件①

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以Z—4—走=0,解得/=也.

22

條件②

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以/(x)的圖象向右平移后所得圖象關于原點對稱，

所以/［培］=。，即Zs?j+cos1W=V+g=0,

解得/=，經(jīng)驗證：A=Vs-

條件③

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以/(x)=HIsin(2x+0),其中tan0=7，9e。丹

A

由題意知，|/(x)max—/(x)mm|=4,即"Z=2，

因為Z〉0,所以Z=JL

【小問2詳解】

/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin12x+今

當2x+^=^+2E#eZ時，〃x)取得極大值,

62

7T

即％=—+左兀,左￡Z.

6

因為/(X)在(0,機)上有且僅有兩個極大值點，

所以左=0,1符合題意,

77r13兀

所以機e

66

18.已知函數(shù)/(x)=三二區(qū)油線歹=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程為^=紅一3.

ex

(1)求見左的值;

(2)求/(x)的最小值.

【答案】(1)a=k=3

(2)-2e

【解析】

【分析】(1)求出導函數(shù)，根據(jù)題意列出方程即可求解;

(2)求出導函數(shù)的零點，列表即可得出函數(shù)最小值.

【小問1詳解】

,e-%222

z)_'(_2x-e'-(x__x+2x+a

(4二—(4—

</⑼=-。=-3

依題意,解得a=k=3.

J'(0)=a=k

【小問2詳解】

2_Q

由(1)得/("nrJ2

—x~+2x+3

r(x)=

exe*

令/'(x)=0,解得x=—l或3,

x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X-1(-1,3)3(3,+00)

/'(x)—0+0—

/(x)極小值極大值

由表格可知，/(X)有極小值/(-l)=-2e,

因為當xe(3,+00)時，/(%)>0,

所以/(x)最小值為-2e.

19.如圖所示，某景區(qū)有龍W,尸。兩條公路在同一平面內(nèi))，在公路上有兩個景點入口4游客

服務中心在點2處，已知5c=lkm,N45C=120°,cosNA4C=^，cosAACQ=^~.

(1)已知該景區(qū)工作人員所用的對講機是同一型號，該型號對講機的信號有效覆蓋距離為3km.若不考慮

其他環(huán)境因素干擾，則A處的工作人員與C處的工作人員能否用對講機正常通話？

(2)已知一點處接收到對講機的信號強度與到該對講機的距離的平方成反比.欲在公路C。段上建立一個

志愿服務驛站D,且要求在志愿服務驛站D接收景點入口A處對講機的信號最強.若選址。使

CD=2km,請判斷該選址是否符合要求？

【答案】(1)/處工作人員對講機能與C處工作人員正常通話

(2)。點選址符合要求

【解析】

【分析】(1)由正弦定理求出ZC,與3比較大小即可得出結(jié)論；

(2)由余弦定理求出Z。，可證明幺。，尸。，即可得解.

【小問1詳解】

因為cos/氏4C=t〉0，所以/A4C為銳角,

14

V21

所以sinABAC=^1-cos2ZBAC

14

竟>'所以":嚷共

在△45C中

sin/ABC

因為J7<3，所以/處工作人員對講機能與C處工作人員正常通話.

【小問2詳解】

由余弦定理，AD2=AC2+CD--2AC-CD-cosZACD=l+A-2x^x2x^~=3

7

因為=3+4=7=2。2,

所以Z。的長為點N與直線尸。上所有點的距離的最小值,

所以。點選址符合要求.

1,

20.已知函數(shù)/(x)=aln(x-6z)+—-(2a+\)x,a>0.

(I)若/(X)在x=4處取得極大值，求/(4)的值；

(2)求/(x)的零點個數(shù).

【答案】(1)-20

(2)1

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)導數(shù)，利用極值點導數(shù)為。求出。，再檢驗即可得解；

(2)分三種情況討論，討論時，列出當x變化時，的變化情況，再由零

點存在性定理判斷零點個數(shù)即可.

【小問1詳解】

/(x)的定義域為(見+8).

a八八x2-(3a+l)x+2a2+2a(x-2a)[x-(tz+l)]

j(x)=----+x-(2o+l)=----------------------=------------------

x-ax-ax-a

因為4是/(x)的極大值點，

所以/'(4)=0,即(4—2a)(3—a)=0,解得a=2或a=3

當a=2時，當x變化時，/'(x),/(x)的變化情況如下表：

X(2,3)3(3川4(4,+oo)

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值極小值/

此時，4是/(x)的極小值點，不符合題意；

當a=3時，當x變化時，的變化情況如下表:

X(3,4)4(4.6)6（6,+oo）

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值極小值/

此時4是/(x)的極大值點，符合題意.

因此a=3,此時/(4)=一20.

【小問2詳解】

①當0<。<1時，當x變化時，/'(x),/(x)的變化情況如下表:

X（a,2a）2a（2〃,〃+1）〃+1(1+1,+力)

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值極小值/

/(2a)=aIna-2a2-2a<0,因此xe(a,a+1］時，/(x)<0,

又/(4a+2)=aln(3a+2)〉0,因此/(x)在(a+1,+oo)上有且僅有一個零點,

因此/(x)的零點個數(shù)是1.

②當。=1時，對任意x〉l,/'(x)?O,②當在(1,+8)上是增函數(shù),

又/(2)=—l<0,/(6)=ln5〉0,由零點存在定理知，有1個零點，

因此/(x)的零點個數(shù)是1.

③當a〉l時，當x變化時，/'(x),/(x)的變化情況如下表：

X(Q,Q+1)〃+1(Q+1,2Q)2a(2(7,+oo)

+0—0+

/(x)/極大值極小值

/(<2+1)=f-1a-1

—(a+l)<0,因此xw(a,2a］時，/(x)<0,

2

又/(4a+2)=aln(3a+2)〉0,因此f(x)在(2a,+co)上有且僅有1個零點,

因此/(x)的零點個數(shù)是1.

綜上，當。＞0時，/(x)的零點個數(shù)是1.

?11anai?

出1。22%

21.對于力行〃列(〃22)的數(shù)表/=，定義T變換：任選一組其中

an2a,*

ze{1,2,???,?),；e{l,2,???,?),對于A的第i行和第7列的2〃-1個數(shù)，將每個數(shù)同時加1,或者將每個數(shù)

同時減1,其余的數(shù)不變，得到一個新數(shù)表.

11

(1)已知對依次進行4次T變換，如下:

11

---aE「21_「20-

ir第次變