北京市某校2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

北京市八一學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合M={x[—N={x|0?x<3},則()

A.{x|-l<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

2.下列函數(shù)中，是(0,+8)上單調(diào)減函數(shù)的是()

A./(x)=x+lB./(x)=-1

C./(x)=-f+2D.=

3.下列命題中正確的是()

A.若則一<—B.若a>b,則

ab

C.若a>b,則/D.若a>b,則-C

4.0”是“x+l>0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.二次函數(shù)歹=4—+6x+c(Q,b,c為常數(shù)且QWO)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)>="+6

與反比例函數(shù)>=￡的圖象可能是()

X

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

6.若函數(shù)/(x)和g(%)分別由下表給出:

A.4B.3C.2D.1

7

7.已知函數(shù)則函數(shù)/(無(wú))的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

8.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余

數(shù)大于5時(shí)再增選1名代表.那么各班可推選的代表人數(shù)y與該班人數(shù)X之間的函數(shù)關(guān)系用取

整函數(shù)y=[x](印表示不大于X的最大整數(shù))可以表示為()

,n「x+4]-x+5-x+6

A-FB-“Fc-rnD-y=[r-rn]

9.已知函數(shù)N=/(x)在[7,1]上單調(diào)遞增，且函數(shù)/'(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，設(shè)

"=b=f3,C=/(3)，則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

+mx<m

\1Yl?

2，若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于尤的方程〃x)=6有三個(gè)不同

)x,x>m

的根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(0,2)B.(―8,—2)D(0,2)C.(—2,0)D.(—2,0)U(2,+oo)

二、填空題

11.已知函數(shù)“X)=7^71,函數(shù)/(X)的定義域是.

12.若匹尼是一元二次方程x2-x-l=0的兩個(gè)根，則占+尤2的值為,|網(wǎng)-％|的值

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

為.

4

13.當(dāng)x>l時(shí)，x+的最小值為.

x-l

"Y"2_zy"Y-I1_1

c一，'，一，若/(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍

)2ax-l,x>-l

是.

15.已知函數(shù)/(x),對(duì)于給定的實(shí)數(shù)力,若存在。>0,b>0,滿足：\/x&\t-a,t+b］,使

得I|<2,則記a+6的最大值為H(t).

①當(dāng)〃無(wú))=3x時(shí)，〃(0)=；

②當(dāng)f{x)=/且fe［1,3］時(shí),函數(shù)H(t)的值域?yàn)?

三、解答題

16.設(shè)集合/={x|-l<x<2},集合8="心-1）（關(guān)-3）>0},集合C={x||x|<。}.

(1)求Nc8,轉(zhuǎn)；

(2)若C=/,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)為二次函數(shù)，〃尤)的零點(diǎn)為-1和2,且/(0)=-4.

⑴求“X)的解析式，并寫出“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求/(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值和最小值.

18.已知函數(shù)/(》)=芝5，/(X)為奇函數(shù).

⑴求。的值；

⑵用定義證明：/'(x)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)；

(3)若函數(shù)/(x)為定義在(-M)上的偶函數(shù),且xe［0,l)時(shí)，。力=/(力.求力⑶的解析式,

并求不等式Mx-1)>jg)的解集.

19.已知函數(shù)/=f+ax+3,g(x)=2x.

⑴若方程/(x)=0的根為-1和6,求。和6的值；

⑵若函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值,與函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值相同，求。的值;

(3)若函數(shù)/⑴的圖象總在函數(shù)g(x)圖象的上方，求。的取值范圍.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

20.設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?。，?duì)于區(qū)間/=[4,6](。<6,/三。)，若滿足以下兩條性質(zhì)之

一，則稱/為/(x)的一個(gè)“。區(qū)間”.

性質(zhì)1：對(duì)任意xe/,有/(x)e/；

性質(zhì)2：對(duì)任意xe/,有/(x)任/.

⑴分別判斷區(qū)間[1,2]是否為下列三個(gè)函數(shù)的“。區(qū)間”(直接寫出結(jié)論)；

①y=3-x；?y=-x=-x+2x.

(2)已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意西,馬€口，且網(wǎng)片馬，有

"%)一/(xJ<T.求證:/⑴存在，，。區(qū)間，，,且存在x。eR,使得/不屬于/(無(wú))的所有“Q

區(qū)間

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BCDAABCBAB

1.B

【分析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算即可得答案.

【詳解】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算可得MCW={x|OVx<l},

故選：B.

2.C

【分析】結(jié)合一次、二次已經(jīng)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)=x+l是R上的遞增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得/(尤)=-；在(0,+s)上的單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得/'(x)=-x2+2在(0,口)上的單調(diào)遞減，故C滿足題意；

對(duì)于D,因?yàn)榱?》與〉=-：都是(0,+s)上的增函數(shù)，所以=在(0,—)上的單調(diào)

遞增，故D錯(cuò)誤，

故選：C.

3.D

【分析】舉反例說(shuō)明ABC不成立，根據(jù)不等式性質(zhì)說(shuō)明D成立.

【詳解】當(dāng)。=1,6=-1時(shí)，有a>b,->7,所以A錯(cuò)誤；

ab

當(dāng)c=0時(shí)，由a>6得分=而，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)。=0,6=-1時(shí)，由a>方得/</,所以c錯(cuò)誤；

由不等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，不等式號(hào)不變，D正確，

故選：D

4.A

【分析】化簡(jiǎn)“x+l>0”，利用充要條件的定義可以判定.

【詳解】x+l>0化簡(jiǎn)得x>T,因?yàn)閤>0時(shí)，x>-1；而x>T時(shí)，不一定得出乂>0.

所以選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定.利用集合間的關(guān)系或者借助數(shù)軸能方便

求解.

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

5.A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸的位置、在縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的正負(fù)判斷。,6,c的

正負(fù)性，再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象特征逐一判斷即可.

【詳解】由二次函數(shù)的圖象可知：開口向上，因止匕。>0；對(duì)稱軸為》=-3>0=6<0,

2a

當(dāng)x=0時(shí)，y=c<0；

因?yàn)閏<0,所以反比例函數(shù)〉=￡的圖象在二、四象限，排除BC；

X

因?yàn)?。?,b<0,所以一次函數(shù)>="+6的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故排除D,

故選：A

6.B

【分析】從外到內(nèi)逐步求值.

【詳解】根據(jù)題意,g(/(x))=3,

則/(x)=4,所以x=3.

故選：B

7.C

【分析】數(shù)形結(jié)合，再由零點(diǎn)存在性定理即可直接判斷.

77

【詳解】如圖:作出了=/與>=’的圖象，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即/(x)='-x2有且只

XX

71

7-1=6>0,/(2)=--4=--<0,

所以/⑴〃2)<0,且“X)在(1,2)上是連續(xù)函數(shù)，故"X)的零點(diǎn)在(1,2)上,

故選：C.

8.B

【分析】可分余數(shù)為0V/W5和64V9兩種情況分別表示出班級(jí)人數(shù)和代表人數(shù)關(guān)系式,

再推理即可判斷得答案.

【詳解】設(shè)各班人數(shù)除以10的余數(shù)為《0(Y9),

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

/+4

當(dāng)0WY5時(shí)，4<t+4<9,x=l0y+t,[^-]=0,

x+410y+Z+4,f+4]J+41

[r------]1=[r------------]1=[y--------]=y+[------]=y；

10101010

/+4

當(dāng)6VIV9時(shí)，10<Z+4<13,x=10(y-l)+f,[^-]=1,

10(y-l)+Z+4_Z+4Z+4

-]=[y-l+-----]=y—l+[-----]=y,

101010

所以所求的函數(shù)關(guān)系為>=［、Y+，4］.

故選：B

9.A

【分析】首先利用對(duì)稱性將不在［-11］上的自變量值轉(zhuǎn)化到［-覃］上對(duì)應(yīng)的自變量值，再根據(jù)

單調(diào)性比較函數(shù)值大小.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)AM的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以有〃x)=/(2-x).

那么/(2)=/(2-2)=/(0),/(3)=/(2-3)=/(-I).

己知函數(shù)了=/(尤)在［T,l］上單調(diào)遞增.

在［-1刀上，一1〈一g<0,根據(jù)單調(diào)性，當(dāng)王<%時(shí)，〃再)</(x2)，所以</(_1)</(0).

即/(3)</(-;)</(2),也就是c<a<6.

故選：A.

10.B

【分析】作出函數(shù)/(%)的圖象，分冽>0、加=0、加<0三段討論即可.

【詳解】分情況討論，

當(dāng)加〉0時(shí)，要使/(x)=b有三個(gè)不同的根，則??=0<冽<2；

m>0

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

加2〉12加I

'In加<—2.

(m<0

當(dāng)加=0時(shí)，兩個(gè)分段點(diǎn)重合，不可能有三個(gè)不同的根，故舍去.

m的取值范圍是(-8,-2)u(0,2),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到臨界

位置的高低是難點(diǎn)，屬于中檔題.

11—)

【分析】由根式型函數(shù)的定義域列不等式即可直接求得答案.

【詳解】由題意可得2X+1Z0,解得

故答案為：-;，+s]

12.1V5

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求得占+x2=l,匹X2=-l,再根據(jù)

\X1-X2|=-工2)"=+X2j一'X2即可求解.

【詳解】因?yàn)橛?/2是一元二次方程--關(guān)-1=0的兩個(gè)根，

則再+/=IXiX2=一1，

所以|西一引=J(%1-％2)2-J(玉+工2)2-例馬=#1?

故答案為：1；逐.

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

13.5

【分析】構(gòu)造乘積為定值，應(yīng)用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】因?yàn)?>1,

44

當(dāng)=---「％=3時(shí)，x+----；的最小值為5.

x-1x-1

故答案為：5.

14.[-g,0)

【分析】先分別確定每段函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)參數(shù)的取值范圍，再考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)

系.

【詳解】對(duì)于二次函數(shù)—故+3,其對(duì)稱軸為x=(

因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，要使其在x<T上單調(diào)遞減，則對(duì)稱軸需在x=-l或其右側(cè)，即

^>-h解得。12.

對(duì)于一次函數(shù)>=2依-1,要使其單調(diào)遞減，則2a<0,解得。<0.

考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系

當(dāng)x=-l時(shí)，y=d—依+3的值為1+。+3=。+4；y=2。無(wú)一1的值為一2。一1.

因?yàn)楹瘮?shù)在(-8,+功上單調(diào)遞減，所以在分段點(diǎn)x=T處，應(yīng)有

(―1)~—6ZX(―1)+326fX(―1)—1.

即1+。+32-2。-1,移項(xiàng)可得。+2aN-l-l-3,3a2-5,解得心-之.

3

綜合以上三個(gè)條件，取交集可得-所以。的取值范圍是

故答案為：[-*0).

15.[VH-V7,2)U[2V3,4]

【分析】取f=0,找到a+bV。從而得解；按除口,逝口€(亞,3]分類討論求出“⑺，再

由單調(diào)性得出值域.

【詳解】依題意，g0,當(dāng)〃x)=3x時(shí)，/(Z)=0,VxC使得"(x)-〃。區(qū)2,

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

22

即|/(x)區(qū)2,則-2V3xV2,解得一一VxV—,由。>0,6>0,

33

222244

得一一<-a<b<-,解得0<qV-,0<64—,貝！Ja+bW—,所以H(0)=—；

333333

當(dāng)/(x)=Y且/e[l,3]時(shí)，區(qū)2,則產(chǎn)一2=尤2<產(chǎn)+2,

當(dāng);且1,拒]時(shí)，-Jr+2WxVJ/+2,依題意,

>t+b

整理得",——，H(t)=2〃+2，而函數(shù)以⑺在工行]上單調(diào)遞增，W)e[2V3,4],

bWyjt?+2—t

a&t-J廠-2

當(dāng)江(亞,3]時(shí)，爐工V無(wú)v/7L則,整理得

>t+bb<4F+2-t

于是H⑴=#72-J—=-^==J-^=，函數(shù)y=="與在(g,3]上單調(diào)

遞增，

因此函數(shù)以⑺在(女,3]上單調(diào)遞減，H⑦e[VTT-V7,2),

的值域?yàn)閇而-將⑵U[2石,4],

故答案為：!：[VTT-V7,2)U[2V3,4]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空，按fe[l,亞]je(/,3]分類討論求出函數(shù)”⑺的解析式是求

解的關(guān)鍵.

16.^5={x|l<x<3}；

(2)a<l.

【分析】(1)解不等式化簡(jiǎn)集合B,再利用交集、補(bǔ)集的定義求出結(jié)果.

(2)按q40,a>0分類討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出范圍.

【詳解】(1)解不等式(xT)(x-3)>0,得x<l或無(wú)>3,則5={x|x<l或x>3},而

A={x\-1<x<2},

所以/nB={x[—^B={x\\<x<3}.

(2)當(dāng)aVO時(shí)，C=0,滿足貝!Ja?O；

f—Q2—]

當(dāng)a〉0時(shí)，C={x\-a<x<a\,由C1得<,解得

0<?<2

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

17.(1)/(X)=2X2-2X-4,遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為g,+8)；

一.一9

(2)最大值為8,最小值為-5.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的兩根式設(shè)出解析式，進(jìn)而求出解析式及單調(diào)區(qū)

間.

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

【詳解】(1)由二次函數(shù)的的零點(diǎn)為-1和2,設(shè)〃x)=a(x+l)(x-2),awO,

由/(0)=-4,得一2a=-4,解得a=2,貝lj/(x)=2(x+l)(x-2)=2--2x-4,

所以/(x)的解析式/(X)=2X2-2X-4,遞減區(qū)間為(-8,；],遞增區(qū)間為[：,+◎.

1a1

(2)由(1)知，/(x)=2(x--)2--,〃x)的圖象對(duì)稱軸為x=5,xe[0,3],

19

當(dāng)x=5時(shí)，/?in=--:當(dāng)x=3時(shí)，/(x)max=8,

所以“X)在區(qū)間[0,3]上的最一大值和最—小值分別為8和-會(huì)9

18.⑴〃=0

(2)證明見(jiàn)解析

X

[0,1)

X

(3"?(x)=<+1

-X

(TO)

x+1

【分析】(1)利用/(0)=0,即可得到/'(X)的解析式;

(2)利用定義法，證明/'(x)為增函數(shù)即可;

(3)利用奇偶性和單調(diào)性，解不等式即可.

【詳解】(1)???函數(shù)〃目=言■是定義R上的奇函數(shù),

"(。)=事=。，即"。，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;

(2)任取再e[01],且再〈尤?,

則〃為)-〃/)=

]+%；l+x1-(l+x；)(l+￥)，

因?yàn)??西＜%241，所以再一工2＜。，1一再入2＞°，1+%；＞0，1+＞0,

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

所以/(M)一/(無(wú)2)<0,即/(再)</(尤2).

...函數(shù)/(尤)在［0,1］上為增函數(shù).

(3)設(shè)尤e(-l,0),則-xe(0,l),

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)為定義在上的偶函數(shù)，

所以〃(切=〃(-殳)=/(川=^^,

六pxe［0,l)

所以〃(x)={_,

Upxe(TO)

由于必幻為定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在［0,1］上是增函數(shù)，

所以不等式可得或;

得T。撲加.

19.(1)。=4/=-3

(2)a=-2

(3)2-273<a<2+2V3.

【分析】(1)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案；

(2)先確定“X)在［1,2］上的最小值為2,在結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可求得a的值;

(3)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“X)-g(x)>0恒成立，利用判別式即可求得a的范圍.

【詳解】⑴因?yàn)?(》)=/+°尤+3=0的兩個(gè)根分別是-1和6,

-1+b=—aa=4

所以,解得

—l'b=3b=—3

(2)g(x)在［1,2］上的最小值為g(l)=2,

所以〃x)在［1,2］上的最小值為2,

當(dāng)-^22,即aV-4時(shí)，/?in=/(2)=7+2fl=2,解得a=高(舍)；

當(dāng)即_4<°<_2時(shí)，=/(-^)=3--=2,解得a=±2(舍)；

224

當(dāng)-■|<1,即/-2時(shí)，/?,?=/(1)=4+a=2,解得°=-2；

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

綜上：a=—2；

(3)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象總在函數(shù)g(x)圖象的上方，所以/(')-g