對(duì)數(shù)函數(shù)（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第08講對(duì)數(shù)函數(shù)

（12類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第5題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2022年天津卷，第5題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

2021年天津卷，第5題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2021年天津卷，第7題,5分運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算

2020年天津卷，第6題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2021年天津卷，第5題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度綜合，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握對(duì)數(shù)的圖象與特征，能夠靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2.能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決定義域與值域最值問(wèn)題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)解決奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

4.能結(jié)合圖像與性質(zhì)解決綜合型問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，考查內(nèi)容比較廣泛。

12.考點(diǎn)梳理*

知識(shí)點(diǎn)一.對(duì)數(shù)的定義考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式

1.定義I考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的求值、求參問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)二.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)]考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與不等式

考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題

考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域求參問(wèn)題

對(duì)數(shù)函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)三.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

考點(diǎn)八、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

考點(diǎn)九、對(duì)數(shù)模型實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)十、對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小

知識(shí)點(diǎn)四.指對(duì)函數(shù)性質(zhì)的比較考點(diǎn)十一、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用

考點(diǎn)十二、對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.對(duì)數(shù)的定義

1.一般地，如果a（a〉O,a#1）的6次幕等于“即那么稱(chēng)6是以a為底”的對(duì)數(shù)，記作6=10gsM

其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，”叫做真數(shù).

2.底數(shù)的對(duì)數(shù)是1,即log?t=l,1的對(duì)數(shù)是0,即logsl=0.

知識(shí)點(diǎn)二.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

L形如y=logax（a〉0,aWl）的函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0〈水1

yy

1

圖象0L_.

0

定義域：（0,+°0）

值域：R

性質(zhì)

過(guò)點(diǎn)（1,0）,即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

在（0,+8）上是單調(diào)增函數(shù)在（0,+8）上是單調(diào)減函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)三.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且aWl）的圖象過(guò)定點(diǎn)（1,0）,且過(guò)點(diǎn)（a,1）,一1）,函數(shù)圖象只在第一、四

象限.

2.函數(shù)y=logaX與y=Zo^?（a>0且a#l）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

3.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

注意：

1.在運(yùn)算性質(zhì)10ga"=〃10ga〃中，要特別注意粉0的條件，當(dāng)?shù)丁闚*,且〃為偶數(shù)時(shí)，在無(wú)〃>0的條件下應(yīng)

為10ga/=7710ga|M.

2.研究對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對(duì)於1及0〈水1進(jìn)行分類(lèi)討論.

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系

—y=logx

一n*：

°——r=log*

'尸hg產(chǎn)如圖，作直線y=l,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0

<c<d<l<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.

知識(shí)點(diǎn)四.指對(duì)函數(shù)性質(zhì)的比較

圖像特征函數(shù)性質(zhì)

共性向X軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)過(guò)定點(diǎn)(0,1)

0<a<l自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x〉0時(shí)，0<y<l;

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)xO時(shí)，y>l

圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)始減小極快到了某一值后減小速度較

慢；

a>l自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x〉0時(shí)，y>l;

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x〈0時(shí)，0〈y〈l

圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡函數(shù)值開(kāi)始增長(zhǎng)較慢

到了某一值后增長(zhǎng)速度極快；

考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?江蘇?期末)滿(mǎn)足f(xy)=f(x)+f(y)的函數(shù)〃久)可以為f(x)=—.(寫(xiě)出一個(gè)即

可)

【答案】ln|x|(答案不唯一)

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)均滿(mǎn)足要求，考慮到定義域需要加絕對(duì)值

【詳解】可令/。)=令|洲,滿(mǎn)足要求.

故答案為：/(x)=ln|x|.(答案不唯一)

2.(22-23高三上?江蘇泰州?期中)已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足(l)f(nm)=f(m)+f(n)；(2)(m--

f(n)]<0,其中m>0,7?>0,?n力n,則符合條件的一個(gè)函數(shù)解析式/(x)=.

【答案】logix(答案不唯一)

2

【分析】由已知函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得/(X)=logaX且0<a<1,寫(xiě)

出一個(gè)符合要求的解析式即可.

【詳解】由(2)知：f(%)在(0,+8)上遞減,

由(1),結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知：loga(mn)=logaM+log/，則/'(x)=loga%，

綜上,/(%)=loga%且0<a<1,故/(x)=logpr滿(mǎn)足要求.

2

故答案為：log”(答案不唯一)

2

??眼舉w

1.(2023高三上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)X>0時(shí)，/(x)=loga(x+1)(a>

0,且atl),則函數(shù)/(%)的解析式是—.

?田上.“、(lOgqO+I)/N0

【答案】/(NX]:/、…

(loga(-x4-l),x<0

【分析】先利用函數(shù)奇偶性求出％V0時(shí)的解析式，進(jìn)而可得函數(shù)/(%)的解析式.

【詳解】當(dāng)?shù)赩0時(shí)，一%>0,

由題意知f(一汽)=loga(-x+1),

又/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-久)=/(%),

所以當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=loga(-x+1),

所以函數(shù)的的解析式為3)=[]之二<*0?

故答案為：的=優(yōu)打仁?！?

2.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))直線久=4與函數(shù)/(%)=logax(a>l),g(x)=log”分別交于兩點(diǎn)，

2

且[48|=3,則函數(shù)h(x)=/(*)+g0)的解析式為()

A./i(x)=—log2xB.h(x)=—log4x

C.h(久)=log2xD./i(x)=log4x

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及|4B|=3得a=4,代入化解即可.

【詳解】由題意可知，定義域?yàn)?0,+8),

函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,

則=loga4-logi4=loga4+2,

所以log04+2=3,

解得a=4,

所以h(x)=log4x+logix=log4x—log2x=log4x—21og4x=—log/.

故選：B.

3.(2024?北京東城?一模)設(shè)函數(shù)/0)=a+1，則()

A-/?+/?=2B./?-/?=2

C./(%)/Q=2D.f(x)=2fg)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別計(jì)算即可得解.

【詳解】函數(shù)f(久)=*+1的定義域?yàn)?0,1)U(1,+8),

對(duì)于A,/(x)+

對(duì)于CD,當(dāng)x=e時(shí)，/(X)=-+l=￡+1=0,故CD錯(cuò)誤.

故選：A.

4.(23-24高三上?北京?階段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì):

①存在XoCR,使得

②對(duì)于任意久eR,有/'(久+1)=2f(%).

寫(xiě)出滿(mǎn)足上述性質(zhì)的一個(gè)增函數(shù)/(久)=—.

【答案】2工(答案不唯一)

【分析】取f(x)=2,驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，得到答案.

【詳解】/(%)=2%/(I)=2力0,滿(mǎn)足存在X。6R,使得/(出)豐0；

/(%+1)=241=2x2"=2/(x),滿(mǎn)足條件.

故答案為：2，

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的求值、求參問(wèn)題

1.(2024?湖北.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=m；；'：1則/(log212)=(

A10D13八35n37

A.D.C.L).

3366

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式，結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】/(log212)=/-(log212-1)=/(log26)=/(Iog26-1)=f(log23),

故選：A

2.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)“X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，/(%)=

log2(x+3)+a,貝！1/(一3)=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】定義在R上的函數(shù)/O)是奇函數(shù)，所以?0)=0，由此可得a的值，進(jìn)而由"3)可得/(-3)的值.

【詳解】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=log23+a=0,

解得a=-log23,則/1(x)=log2(x+3)-log23,

/(3)=log26-log23=log22=1,

所以f(-3)=-/(3)=-1.

故選：B.

即■測(cè)L

1.(2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)滿(mǎn)足/Qog23)=一/。og32)的是()

1

A./(%)=1+InxB./(%)=x+-

C./(%)=%—1D./(%)=1—x

【答案】C

【分析】令t=log23>1,貝4=log32,結(jié)合各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，即可判斷答案.

【詳解】令t=log23,t>1,則:=log32G(0,1),由/(log23)=-/(log32)pJW/(t)=一f(J

對(duì)于A,f(-^)=l+ln^=1—Int—f(t)f故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(》=3+「=/?)，不滿(mǎn)足f?)=-/6}B錯(cuò)誤；

對(duì)于。/G)=3一力=一/⑴，即/?=一"?W/0og23)=-/(log32),C正確；

對(duì)于D,/(|)=1一}w-/(t),BP/(log23)=一/(log?2)不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

(步』

2.(2024?山東濟(jì)寧?三模)已知函數(shù)f(久)=,財(cái)(屋))=

log4x,%>0

【答案】V2

【分析】利用已知的分段函數(shù)，可先求人》=—|，再求/(/&))=/(—3=夜即可.

［詳解】因?yàn)閒(x)=|(9，X-°,所以“|)二10g4._10g42=W.

Ilog4x,%>0,

故答案為：V2.

3.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(%)=|lg%|,若f(a)=/(b)(aWb),則當(dāng)2a?3”取得最小值時(shí)，

a_

b--------■

【答案】log23

【分析】根據(jù)題意，由條件可得Qb=l,令2=2。?3%結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由f(a)=/(b)得-Iga=1g=lg6,即ah=1,令z=2。?3》，

貝ijlnz=a?ln2+b-ln3>2yJa-ln2?b-ln3=2Vln2-ln3

當(dāng)且僅當(dāng)a,ln2=b?ln3,即g=粵=log??時(shí)，Inz取得最小值，此時(shí)z也取得最小值.

bln20”

故答案為：10g23.

4.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))4知函數(shù)/(%)=cos、?ln?%2+i一%)+i,若/(7n)=3,則/(―租)=

()

A.-1B.-3C.-5D.3

【答案】A

【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得/(-血)的值.

【詳解】/(%)定義域?yàn)镽,令9(%)=/(%)-1=cosx-ln(Vx2+1-%),

貝1g(-%)=cosx-ln(Vx2+1+%)=cosx?-=-g(%),

是R上的奇函數(shù)，

+g(m)=/(—m)—1+f(m)—1=0,

即f(—TH)=2—f(m)=2—3=—1,

故選：A.

考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與不等式

1.(2024?青海海南?二模)函數(shù)f(x)=里的定義域?yàn)?)

A.(-VIo.VTo)B.(―co,—V10)u(VTo,+00)

c.[-VTo,VTo]D.(-Vio,o)u(o,VTo)

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0和分母不為0即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】?..函數(shù)=螞詈嗔，

?,—/>0,解得xG(-V10,0)U(O,V10).

I%H0

故選：D.

2.(23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)?

【答案】(1,4)

【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=、等有意義，則｛;二；j：，解得1<%<4,

所以函數(shù)f(x)=、箸的定義域?yàn)?1,4).

故答案為：(1,4)

即時(shí)啰!)

1.(2022高三上?河南?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)f(%)=皿4之的定義域?yàn)?)

smxvx-1

A.(1.)嗚4)B.(l,n)u(n,4)C.[l,=)U(=,4]D.[1,it)U(ir,4]

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組可求得結(jié)果.

x-1>0

【詳解】要使/(%)有意義，需滿(mǎn)足4一%>0,

、sinxH0

解得1V%V4且％W兀.

所以定義域?yàn)?l，mu(71,4).

故選：B.

2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,刀，則函數(shù)尸(久)=端*的定義域?yàn)?/p>

()

A.[-3,1]B.[-3,0)U(0,1]

C.(-1,0)U(0,1)U(1,3]D.[-3,-1)U(-1,0)U(0,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法及分式和對(duì)數(shù)有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意可知，要使F(x)有意義，

1-2<X+1<2-3<x<1

只需要kl>0,解得x^O,

.|x|41(x十-1,且x*1

所以xE[—3,—1)U(—1,0)U(0,1),

所以函數(shù)F(x)的定義域?yàn)閇-3,-1)U(-1,0)U(0,1).

故選：D.

3.(2024?北京通州?二模)已知函數(shù)/(久)-x2+lg(x-2)的定義域?yàn)?/p>

【答案】｛x|x>2｝

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域有意義，解不等式求解.

【詳解】根據(jù)題意可得(:H0，解得x>2

故定義域?yàn)椋鹸lx>2].

故答案為:(x\x>2]

4.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=lg(4x-2尢—2)的定義域?yàn)椤?/p>

【答案】(1,+8).

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不等式，然后解指數(shù)不等式可得.

【詳解】由題意4方-2x-2>0,即(2,-2)(2X+1)>0,

：.2X>2,x>l,...定義域?yàn)?1,+8).

故答案為：(L+8).

考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?北京?期中)下列函數(shù)中，值域?yàn)?1,+8)的是()

A.y=B.y=Vx+1C.y—lg(|x|+1)D.y=2X+1

【答案】D

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)逐一求出相應(yīng)值域即可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?4sinx<1,且sinxW0,所以一—W—1或一―21,A錯(cuò)誤；

sinxsmx

因?yàn)榻?gt;0,所以+1>1,B錯(cuò)誤；

因?yàn)閳F(tuán)+121,所以Ig(|x|+1)2Igl=0,C錯(cuò)誤；

因?yàn)?*>0,所以2，+1>1,即y=2工+1的值域?yàn)?1,+8),D正確.

故選：D

2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/'(x)=Inx+久,xe[l,e]的值域?yàn)?

【答案】[l,e+1]

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域.

【詳解】函數(shù)/■(*)=Inx+%,%€[l,e]為增函數(shù)，故其值域?yàn)閇l,e+1].

故答案為：+

即時(shí)檢測(cè)

1.(23-24高三上?上海黃浦?期中)函數(shù)y=log3x+癡念在區(qū)間(1,+8)上的最小值為.

【答案】2V2-1

【分析】對(duì)函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.

【詳解】y=logx+-~=logx+—，

003003

’log9(3x)l+log3x

因?yàn)椋(E，+8),所以log3%E(―1,+8),故1+log3%E(0,+8),

故y=(1+1嗝為+京嬴-1>zjd+loga%).^^-1=2/-L

當(dāng)且僅當(dāng)1+log3%=1+京3久，即％=3‘T時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：2V2-1.

2.(23-24高三上?河南?期中)已知函數(shù)/(?={i：；：4：)；彳：；；,貝次(e+l)=,函數(shù)的

值域?yàn)?

【答案】2[-1,+8)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計(jì)算即可求得“e+1)=2；利用二次函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分

別求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值域即可求得f(x)的值域?yàn)閇-1,+8).

【詳解】易知e+1>2,所以f(e+1)=Ine+1=2；

當(dāng)久<2時(shí)，/(x)=x2+4x+3=(%+2)2-1>-1；

當(dāng)》22時(shí)，/(%)=ln(x-1)+1,易知/(%)在[2,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/(%)=ln(x—1)+1>ln(2—1)+1=1,

綜上可知/(%)的值域?yàn)閇-1,+8).

故答案為：2；[-1,+8)

(|logx|,x>a

3.(23-24高三上?重慶?期中)已知。>0,函數(shù)/(%)=卜-22口當(dāng)。=2時(shí)，/(%)的值域

1%-3

為；若不存在%1，%2(%1。%2)，使得/(%1)=/(%2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】(0,+00)[2,3]

X>2

【分析】由a=2得到/(x)=]一；二'再分x<2和x>2,分別利用反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

---,%V2.

x-3

求解；畫(huà)出函數(shù)/(X)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

|logx|,x>2,

【詳解】解：當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=?2?r

當(dāng)x>2時(shí)，/(%)=|log2x|=log2xe[1,+oo),

所以當(dāng)a=2時(shí)，f(%)的值域?yàn)?0,+8).

畫(huà)出f(x)每段的圖象，如圖所示：

由圖象知：當(dāng)a<2或a>3時(shí)，存在x2(xr%2)>使得f(/)=/(&)，

xx

當(dāng)2WaW3時(shí)，不存在石,x2(i*2)>使得/'(/)=7'(久2).

故答案為:(0,+8),[2,3]

4.(23-24高三上?福建莆田?階段練習(xí))函數(shù)/0)=log2x-21og2(x+1)值域?yàn)?/p>

【答案】(—8,—2]

【分析】確定函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),變換f(x)=]og2―利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.

x-\■x―1-2

【詳解】函數(shù)/(%)=log2x-21og2(x+1)的定義域?yàn)?0,+8),

工11

/(X)=logx-21og(x+1)=log(1、2=log2-----i------wlog—j=-----

222()F+222n+2

=lo§2；=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3即x=l時(shí)等號(hào)成立，故值域?yàn)?-8,-2].

故答案為：(—co,—2].

考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域求參問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?四川雅安?階段練習(xí))若函數(shù)f(x)=logo5(，—ax+2a)(a>0)的值域?yàn)镽,則/(a)的

取值范圍是()

A.(—00,—3]B.(—00,-4]C.[—4,+oo)D.[—3,+8)

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出a的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解即得.

【詳解】依題意，ax+2a取遍所有正數(shù)，則△=a?-8aN0,而a>0,解得a28,

所以/'(a)=log0.5(2a)<log0516=-log216=-4.

故選：B

2.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)若函數(shù)y=館(比2―5+9)的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為；

若函數(shù)y=lg(x2-ax+9)的值域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

【答案】(-6,6)(-co,-6]U[6,+oo)

【分析】第一空，由題意可得/-依+9>。對(duì)于xGR恒成立，結(jié)合判別式小于0即可求得答案；第二空，

由題意可得/-ax+9能取到所有正數(shù)，結(jié)合判別式大于等于0即可求得答案；

【詳解】函數(shù)y=lg(x2—ax+9)的定義域?yàn)镽,貝！1——ax+9>0對(duì)于xGR恒成立，

故4=(-a)2-4x9<0,解得一6<a<6,即ae(-6,6)；

若函數(shù)y=lg(x2-ax+9)的值域?yàn)镽,即久2一ax+9能取到所有正數(shù)，

故A=(-a)2-4x920,解得a26或aW—6,即aG(—oo,-6]U[6,+8),

故答案為：(—6,6)；(—co,-6]U[6,4-00)

即時(shí)檢測(cè)

1.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知/(X)={(:8與，若函數(shù)V=的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

【答案】[1,4]

【分析】求出分段函數(shù)在各段上的函數(shù)值集合，再根據(jù)給定值域，列出不等式求解即可.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和單調(diào)性可知a>0,且當(dāng)x<a時(shí)，/(%)<log4a,

當(dāng)x>a時(shí)因?yàn)橐辉魏瘮?shù)(％-3)2的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,

所以當(dāng)0<aW3時(shí)，/(x)=(%-3/>/(3)=0,

若函數(shù)y=/(%)的值域?yàn)镽,則log4a>0解得1<a<3；

當(dāng)a>3時(shí),/(%)=(%—3)2>/(a)=(a—3)2,

若函數(shù)y=/(%)的值域?yàn)镽,則log4az一3)2,

令g(a)=log4a-(a-3)2(a>3),所以g'(a)=*-2(a-3)=叫

令九(a)=1—2a(a—3)ln4=(—21n4)a2+(61n4)a+1,h(a)表示對(duì)稱(chēng)軸為a=3,開(kāi)口向下的拋物線，

因?yàn)榫?3)=1>0,h(4)=-81n4+1<0,所以存在劭G(3,4)使得九(a)=0,

所以當(dāng)a€(3,a。)時(shí)，"(a)>0，g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)。€(劭,+8)時(shí)，“(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，

又因?yàn)間(3)=log43>0,g(4)=log44-1=0,所以由g(a)>0解得3<a<4,

綜上1<a<4,

故答案為：口4]

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若“V久e[3,27],log3x<m"是真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的一個(gè)可能取值為.

【答案】3(答案不唯一)

【分析】由題意可得出"久6[3,27],不等式log3%W巾恒成立，求出y=log3》的最大值即可得出答案.

Kn

【詳解】由VxG[3,27],log3x<m是真命題，

得V%￡[3,27],不等式log3*<m恒成立.

而Vxe[3,27],Iog3%的最大值為log327=3,最小值為logs?=1,

所以m的取值范圍是m23,所以m的一個(gè)可能取值為3(答案不唯一).

故答案為：3(答案不唯一)

3.(2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測(cè))若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則在函數(shù)/(久)=ln(x2+ax+b)

的值域?yàn)镽的條件下，滿(mǎn)足“函數(shù)。(久)=盧等為偶函數(shù)”的概率為()

(a+b)x

2233

A.—B.—C.—D.—

17191719

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽可得a,b之間的關(guān)系，再根據(jù)g(x)為偶函數(shù)可得a=b,最后根據(jù)條件概率的

概率公式可求題設(shè)中的概率.

【詳解】設(shè)事件2為‘了(%)=ln(x2+ax+6)的值域?yàn)镽”，

設(shè)事件B為“函數(shù)g(x)=盧等為偶函數(shù)，

。(a+b)x

擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,所得基本事件(a,b)有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

故基本事件的總數(shù)為36.

因?yàn)?'(%)=IM/+ax+b)的值域?yàn)镽,所以a?—4620,故a?N46,

而9(乃=端為偶函數(shù)，故91)=一弒=寢好

xxxx

所以a，-b=-a-+b-,整理得到(〃-b)[1-74d=°(無(wú)力°)，1一W4°，

所以a”=b工即a=b.

故4對(duì)應(yīng)的基本事件(a,b)有：

(2,1)，

(3,1),(3,2),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

故共有基本事件的個(gè)數(shù)為19,

又4B對(duì)應(yīng)的基本事件有(4,4),(5,5),(6,6),

故P?⑷=需=寶4

36

故選：D.

考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.(,山東?高考真題)函數(shù)y=loga(x+3)-l(a>0,aW1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)若點(diǎn)/在直線mX+ny+

1=0上，其中小、n>0,則工+2的最小值為

mn-----------

【答案】8

【分析】求出定點(diǎn)4(一2,-1),可得出2m+n=l,將代數(shù)式工+三與2巾+n相乘，展開(kāi)后利用基本不等式

mn

可求得工+2的最小值.

mn

【詳解】對(duì)于函數(shù)y=loga(%+3)-l(a>0,aH1),令％+3=1,可得久=-2,則y=log。一1=一1,

故函數(shù)y=loga(x4-3)-l(a>0,aW1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)4(-2,-1),

因?yàn)辄c(diǎn)/在直線m%++1=0上，則一2m-幾+1=0,可得2zn+九=1,

因?yàn)閙、n>0,所以，—+-=(2m+n)f—+-)=4+—+—>4+2/—?—=8,

mn\mn/nmyjnm

當(dāng)且僅當(dāng)n=2rn時(shí)，等號(hào)成立，故工+?的最小值為8.

mn

故答案為：8.

x

2.(23-24高三上?陜西?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=loga(x+1)+2(a>0,且aHl)的圖象過(guò)定

點(diǎn).

【答案】(0,1)

【分析】根據(jù)logal=0,令久+1=1即可求出定點(diǎn).

【詳解】令汽+1=1，則第=0,此時(shí)。在(0,1)U(l,+8)上無(wú)論取何值，/(%)的值總為1,故函數(shù)/(%)的圖

象過(guò)定點(diǎn)(0,1).

故答案為：(0,1)

即時(shí)啊」

1.(23-24高三上?陜西咸陽(yáng)?期中)已知函數(shù)y=loga(x-1)+4(a>0且aW1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,點(diǎn)P在

幕函數(shù)y=/(%)的圖象上，則lg/(2)+lg/(5)=.

【答案】2

【分析】令X-1=1可求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.

【詳解】令x—1=1得y=4,則定點(diǎn)P(2,4).

設(shè)塞函數(shù)=將點(diǎn)P代入可得4=2%則a=2,即/'(%)=/.

因此Igf(2)+lg/(5)=lg22+lg52=21g2+21g5=2(lg2+lg5)=21gl0=2.

故答案為：2.

2.(2023?江西贛州?一模)已知函數(shù)y=1+loga(2-x)(a>0且a豐1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P,且點(diǎn)P在圓廣+

y2+mx+爪=0外，則符合條件的整數(shù)m的取值可以為.(寫(xiě)出一個(gè)值即可)

【答案】5(不唯一，取小>4的整數(shù)即可)

【分析】先求定點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在圓外以及圓的限制條件可得小的取值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=l+loga(2-x)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),所以

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓/+y2+mx+m=。外，

2

所以M+I+m+m>0且爪2_4m>o,解得—i<m<0或m>4；

又加為整數(shù)，所以小的取值可以為5,6,7,….

故答案為：5(不唯一，取小>4的整數(shù)即可).

3.(2023?青海西寧?二模)已知函數(shù)y=loga(3x—2)+2(a>0且a#1)的圖像過(guò)定點(diǎn)A,若拋物線y?=

2Px也過(guò)點(diǎn)A,則拋物線的準(zhǔn)線方程為.

【答案】x=T

【分析】先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出p即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=loga%經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，所以函數(shù)y=loga(3x-2)+2經(jīng)過(guò)

定點(diǎn)2(1,2),將它代入拋物線方程得22=2pxl,解得p=2,

所以其準(zhǔn)線方程為%=-1；

故答案為：x=-l.

4.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛廝｝為等比數(shù)歹！J,函數(shù)y=loga(2x-1)+2的圖象過(guò)定點(diǎn)(由,a2),

bn=log2an,數(shù)列｛aJ的前n項(xiàng)和為卻，則S1。的值為.

【答案】45

【分析】先求出函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(1,2),則等比數(shù)列｛aj確定，由g=1。82廝，得出數(shù)列｛,｝通項(xiàng)，再利用等差

數(shù)列求和公式可得.

【詳解】由已知y=loga(2x-1)+2,令x=1,得y=2.

所以函數(shù)y=loga(2x-1)+2的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2),

所以a】=1,a2=2,

由數(shù)列為等比數(shù)列，則理=2f

而1于是M—1,

所以數(shù)列｛g｝是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，瓦=0,瓦0=9,

則Sio=等x10=45.

故答案為:45.

考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(*)=log式—2/+3*+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

5

【答案】(春)

【分析】求出函數(shù)的定義域，確定f(%)=logi(-2%2+3%+2)由y=login,u=-2x2+3%+2復(fù)合而成，

55

判斷這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】由題意知函數(shù)“X)=10gi(-2x2+3%+2),

5

令〃=—2x2+3%+2,則〃=—2x2+3%4-2>0,1<x<2,

則f(%)=logi(—2%2+3%+2)即由y=login,u=-2x2+3%+2復(fù)合而成,

55

由于y=log工〃在(0,+8)上單調(diào)遞減，

5

故要求函數(shù)“X)=10gi(-2x2+3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間，

5

即求〃=—2%2+3%+2,(―1<%<2)的單調(diào)遞增區(qū)間，

而〃=-2x2+3%+2的對(duì)稱(chēng)軸為％=

4

則a=-2x2+3x+2,(-i<x<2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一發(fā))

則函數(shù)/'(X)=logi(-2%2+3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一會(huì))

故答案為：(—[，：)

2.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(X)=ln|x-a|在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減,貝必的取值范圍是(

A.(—8,3]B.(—8,2]C.[2,+oo)D.[3,+8)

【答案】D

【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析得〃=|%-可在(2,3)上單調(diào)遞減，根據(jù)〃=|%-研單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】設(shè)〃=\x-a\,易知函數(shù)y=In〃是增函數(shù)，

因?yàn)?(%)=ln|%-可在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，〃=|%-。|在(2,3)上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)〃=\x-a|在(一8,a)上單調(diào)遞減，

所以3<a,即aG[3,+8).

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=也9%+2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.a<0B.-1<a<0C.-1<a<0D.a之一1

【答案】B

【分析】利用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，換元后可知只要滿(mǎn)足［a；］20即可，從而可求出實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】令t=a%+2,則y=Int,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=ln(ax+2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

且y=lnt在定義域內(nèi)遞增，

所以、解得一1Wa<0,

12a+2>0

故選：B

2.(?天津?高考真題)若函數(shù)/O)=loga(x3—ax)(。>0且。力1)在區(qū)間(―3。)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的

取值范圍是()

A?［消B.［|,1)C.?+8)D.(啕

【答案】B

【分析】分a>1和0<aV1分析函數(shù)內(nèi)外層的單調(diào)性，列不等式求解

【詳解】函數(shù)/(%)=log。(二一>0,aH1)在區(qū)間(一支。)內(nèi)有意義，

則(-,)3+>0,a>p

ZZ4

3r2

設(shè)力=x—a%,貝！Jy—logat,t=3x—a

(1)當(dāng)a>l時(shí)，y=log/是增函數(shù)，

3

要使函數(shù)/(%)=loga(x-ax)(a>0,a1)在區(qū)間(一30)內(nèi)單調(diào)遞增，

需使t-x3-ax在區(qū)間(，0)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，

則需使t'=3尤2-a20,對(duì)任意x€(-］0)恒成立，即aW3/對(duì)任意xe(-表。)恒成立；

因?yàn)閤e(-go)時(shí)，0<3/所以a<0與a>］矛盾，此時(shí)不成立.

(2)當(dāng)0Va<1時(shí)，y=lo外力是減函數(shù)，

3

要使函數(shù)/(%)=loga(x-ax)(a>0,aH1)在區(qū)間(一30)內(nèi)單調(diào)遞增，

需使￡=/一a%在區(qū)間(一表0)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，

則需使F=3x2-a<0對(duì)任意》G(一表0)恒成立，

即a>3/對(duì)任意汽e(一30)恒成立，

因?yàn)槠鹐0)財(cái)0<3/<

所以Q》；，

4

o

又a<1,所以-<a<1.

4

綜上，。的取值范圍是:《aVl

故選：B

3.(2024?陜西銅川?三模)若函數(shù)丫=[(30]1).+2；，：(1，在7?上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】???函數(shù)y=產(chǎn)篤<1，在R上單調(diào)遞減，

3a—1<0,

.?.0<a<1,解得工<a<-.

3a-1+2a>logal,

故選：C.

考點(diǎn)八、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

典例引領(lǐng)

1

1.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)="—底—In/的圖象大致為()

【答案】A

【分析】根據(jù)x<0時(shí)/。)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

[詳解]fix)=吩—￡一In%2=/一戰(zhàn)；21n(-x),x<0,

QX_e-_21nx,x>0

i

因?yàn)楫?dāng)工<0時(shí)，y=ex,y=-e^y=一21n(-％)都為增函數(shù)，

所以，y=e%-放一21n(-％)在(一8,0)上單調(diào)遞增，故B,C錯(cuò)誤；

1

又因?yàn)?(—%)=e~x—e~x—In%2W—/(%),

所以/(第)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.

故選：A

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除B,利用函數(shù)值正負(fù)可排除A,再根據(jù)單調(diào)性排除D,得解.

【詳解】令f(x)=空，Xe(-00,0)u(0,+00),

因?yàn)?(—%)=追詈=一萼=一〃>),所以f(x)是奇函數(shù)，

排除B,

又當(dāng)%>1時(shí)，/(%)>0恒成立，排