導數(shù)的應用-函數(shù)的最值問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

專題14導數(shù)的應用-函數(shù)的最值問題5題型分類

彩題總

題型1：求函數(shù)的最值（不含參）

題型5：不等式恒成立與存在性問題

題型2：求函數(shù)的最值（含參）

專題14導數(shù)的應用一函數(shù)

的最值問題5題型分類

題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

V題型3：根據(jù)最值求參數(shù)

彩和源宏庫

1.函數(shù)的最值

函數(shù)，="X）最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/（X）最小值為極小值與靠近極大值的

端點之間的最小者.

2

導函數(shù)為f(x')=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^)(m<xl<x2<n)

（1）當a>0時，最大值是/（xj與"”）中的最大者；最小值是AX）與/（⑼中的最小者.

（2）當a<0時,最大值是/（>2）與/（⑼中的最大者；最小值是/（再）與/⑺中的最小者.

一般地，設(shè)尸/（x）是定義在［"?，加上的函數(shù)，尸/㈤在（加，〃）內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)尸/（x）在［加，〃］上的最

大值與最小值可分為兩步進行：

（1）求了=〃X）在（"，，"）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將V=/（x）的各極值與/（⑼和/（"）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是

對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

2.不等式的恒成立與能成立問題

（1）若函數(shù)“X）在區(qū)間。上存在最小值〃耳皿和最大值/（同而，則

不等式/(X)>。在區(qū)間。上恒成立O/(切同>a；

不等式/⑺上。在區(qū)間。上恒成立O/(x)1nhi2a；

不等式/(x)<6在區(qū)間O上恒成立="XL<b；

不等式〃x)Vb在區(qū)間。上恒成立O/(x)max<b.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(加，〃)，則

不等式/(x)>。(或f(x)2在區(qū)間。上恒成立=m”

不等式/(x)<”或〃尤)46)在區(qū)間。上恒成立

(3)若函數(shù)在區(qū)間〃上存在最小值"xL和最大值/(力2，即/(可?加,可，則對不等式有解問題

有以下結(jié)論：

不等式。</(力在區(qū)間3上有解oa</(x)1mx；

不等式aV〃x)在區(qū)間。上有解oaW/(x)M；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解oa>/(x)mM；

不等式a2〃x)在區(qū)間。上有解oa2/(x)1nhi；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域為(機，”)，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(切(或aW/(力)在區(qū)間。上有解="〃

不等式b>/■⑺(或b>/(%))在區(qū)間D上有解ob>m

(5)對于任意的再引。，6],總存在/elm,n],使得/(xjWg(z)=〃占第W8(z)帆；

(6)對于任意的國e[a,6],總存在[tn,n],使得)1nhiNg(z)1nhi；

(7)若存在再多[。,b],對于任意的々e[m,〃],使得外刈海區(qū))0/")一"^)"

(8)若存在x】e[a,b],對于任意的々e[m,n],使得/(%)々(々)07(占)皿Ng(z)111ax；

(9)對于任意的可w,,b],x2e[m,〃]使得/(xjvg(x2)o/(xj01ax4g(々)1n

(10)對于任意的玉e[0,b],x2e[m,句使得〃再)2g%)=/(%)111taNg^)111ax;

(11)若存在再引見6],總存在X2?m,n],使得/㈤冠㈤?/⑺5辦⑸鵬

(12)若存在占?魚，，總存在％e[m,〃]，使得/(%)咕(々)0/(再)皿*(》2"

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩儺題秘籍i

I求函數(shù)的最值I

!1.求函數(shù)/(x)在閉區(qū)間可上的最值時,在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值/伍)，/(6)與/(x)!

i的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

i2.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題.注|

I意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處i

I理.

題型1：求函數(shù)的最值(不含參)

1-1.(2024.全國)函數(shù)/(無)=|2尤-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【分析】由解析式知/(X)定義域為(0,+與，討論0<xv[、]<XV1、x>l,并結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性,

22

即可求人>)最小值.

【詳解】由題設(shè)知:/(x)=|2x-1|-21nx定義域為(0,+8),

?,?當時，f(x)=l-2x-21nx,此時/(%)單調(diào)遞減；

1?

當—時，f(x)=2x—1—2Inx,有f\x)=2—<0,此時/(%)單調(diào)遞減；

2x

2

當x〉l時，/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2——〉0,此時/⑴單調(diào)遞增；

x

又/(%)在各分段的界點處連續(xù)，

???綜上有：0<x4l時，/(%)單調(diào)遞減，x〉l時，/(X)單調(diào)遞增；

/(x)>/(l)=l

故答案為：1.

1-2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=e"sinx-2x.

1------

(1)求曲線V=f(X)在點(0,7(0))處的切線方程;

(2)求“X)在區(qū)間上的最大值;

【答案】⑴尸一》;

(2)八五=2一歲;

【分析】(1)首先求解切點和此點的導數(shù)，然后表示出切線方程.

(2)對函數(shù)求導/'(x)=e*(sinx+cosx)-2,然后通過再求導研究導數(shù)的單調(diào)性，從而分析出導數(shù)/'⑺在

［-M］與0的大小關(guān)系，從而求解出函數(shù)［(x)=e，sinx-2x在［-1,1］的單調(diào)性，最后比較/⑴J(-1)的大

小，從而求解出函數(shù)的最大值；

【詳解】(1)因為/■(力=村$也》一2尤，

所以/'(無)=e，(sinx+cosx)-2,

則/(0)=-1,又"0)=0,

所以曲線在點(0"(0))處的切線方程為了=-X.

(2)令g(x)=/'(尤)=ex(sinx+cosx)-2,

則g'(x)=2eAcosx,

當時,gV)>0,g(x)在上單調(diào)遞增.

因為g(0)=-l<0,g(l)=e(sinl+cost)-2>0,

所以叫e(0.1),使得g(x0)=0.

所以當xe(-1,尤。)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當xe6,l)時，f'(x)>0,單調(diào)遞增，

所以函數(shù)可能在x=l或x=-l處求得最大值，

又/⑴=esinl-2<e-2<1,/(-1)=2-->1,

所以〃x)m「/(T)=2-歲?

1------

1-3.(2024?江蘇)若函數(shù)/(x)=2x3-"2+1伍e?在(0,+向內(nèi)有且只有一個零點，則/(力在門』上的最

大值與最小值的和為.

【答案】-3

【分析】方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)“X)在(0,+?0上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù)再根據(jù)函數(shù)

在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.

【詳解】［方法一］:【通性通法】單調(diào)性法

求導得f\x)=6x2-lax,

當時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增,且〃尤)>"0)=1,所以函數(shù)/㈤在(0,+8)內(nèi)無零點;

當a>0時，函數(shù)〃x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

當X=0時，f(0)=1；當Xf+00時，/(X)—>+00.

要使函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+⑹內(nèi)有且僅有一個零點，只需/=解得“=3.

于是函數(shù)"X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0」上單調(diào)遞減，［/(x)］1Mx=/(0)=1,［/(初.=/(-1)=-4,

所以最大值與最小值之和為-3.

故答案為：-3.

［方法二］:等價轉(zhuǎn)化

由條件知2;?+1=辦2有唯一的正實根，于是。=型01=劣+令g(x)=2x+±,x>0,貝I］

g，(x)=2-N=2(［T),所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+?0內(nèi)單調(diào)遞增，且g(l)=3,當X-0

'X3X3

時，g(x)T+8;當Xf+00時,g(x)—>+8.

只需直線>與g(x)的圖像有一個交點，故。=3,下同方法一.

［方法三］:【最優(yōu)解】三元基本不等式

同方法二得，a=2x+-^=x+x+~>33x-x~=3,當且僅當尤=1時取等號，

XX\X

要滿足條件只需a=3,下同方法一.

［方法四］:等價轉(zhuǎn)化

由條件知2/+1="2有唯一的正實根，即方程2x+3=。有唯一的正實根，整理得［=-2x+a(x>0),即

XJC

函數(shù)g(x)=1與直線y=-2x+a在第一象限內(nèi)有唯一的交點.于是平移直線y=-2x+a與曲線g(x)=3相

%X

1------

切時，滿足題意，如圖.

設(shè)切點上,g],因為g'(x)=-■4，于是-：=-2,解得無0=1,a=3,

下同方法一.

【整體點評】方法一：利用導數(shù)得出函數(shù)在(0,+3)上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)化

為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；

方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在(0,+8)上有唯一零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點，從而求出參數(shù)，

使問題得解；

方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；

方法四：將函數(shù)在(0,+功上有唯一零點轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解.

1-4.(2024?遼寧葫蘆島?二模)已知函數(shù)/(x)=2sinx(l+cosx),則/(x)的最大值是.

【答案】—

2

【分析】利用導函數(shù)分析單調(diào)性求最值即可.

【詳解】因為/(x)=2sinx(l+cosx),

所以f\x)=2cosx(l+cosx)-2sin2x=2cosx+2cos2x-2sin2x

=4cos2x+2cosx-2=2(2cos2x+cosx-1=2^cosx-1)￡osx+l).

當了'(x)〉0時，x￡+2左肛?+2左%J,

所以/(%)在§+2左肛]+2左九)單調(diào)遞增；

當/'(x)<0時，xe^y+2^,^+2^^,

所以f(x)在(§+2左肛y-+2左")單調(diào)遞減；

所以/OOmax=/(：+2左田=孚?

故答案為：—.

2

1-5.(2024?全國)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2可的最小值、最大值分別為()

7T7T3兀7T7T7U_37r7T.

A.一一，一B.----，一C.——+2D.----,—+2

22222222

【答案】D

【分析】利用導數(shù)求得“X)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出/(尤)在區(qū)間［0,2可上的最小值和最大值.

【詳解】/'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+l)cosx,

所以〃x)在區(qū)間(0,j和(：,2兀［上#(x)>0,即/(x)單調(diào)遞增；

在區(qū)間停號)上/'(x)<0,即單調(diào)遞減，

又〃0)=〃2兀)=2,?=>2,/信;_,+1］+1=_費，

所以〃x)在區(qū)間［0,2可上的最小值為一g,最大值為方+2.

故選：D

題型2:求函數(shù)的最值(含參)

2-1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=41nx+；x-a,ae及.討論函數(shù)/'(x)的最值；

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)題意，求得了'(無)=與產(chǎn)，分和°<0,兩種情況討論，求得函數(shù)“X)的單調(diào)性，進而求

得函數(shù)“X)的最值.

【詳解】由函數(shù)〃x)=alnx+；x_a,可得其定義域為(0,+少)，且/⑺=人+；=浮土，

當。20時，可得/(x)〉0,〃x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，無最值；

當a<0時,令〃力<0,可得0<x<-2。,所以/(x)在(0,-20)上單調(diào)遞減；

令/(x)>：0,可得x>W,所以/(x)在(-2a,+8)單調(diào)遞增,

所以“X)的最小值為/(-2a)=aln(-2a)-2a,無最大值.

綜上可得：

當aNO時,/(x)無最值；當”0時,的最小值為rln(-2a)-2%無最大值.

2-2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)f(x)=ln(l+x)+axeT.

(1)當。=-1時，討論函數(shù)/(x)在(0,+e)上的單調(diào)性；

(2)當時，求/(x)在內(nèi)的最大值；

【答案】⑴函數(shù)在(0,+助上單調(diào)遞增.

(2)0

x

Q_1

【分析】(1)根據(jù)求導公式和運算法則可得/'(x)=(i+x.x，由x>0可得(l+x)e、>0,e^+x2-l>0,

即可求解；

,、ex+all-X2}orn/、

(2)由題意可得/'x=/'L/翌工，利用導數(shù)討論函數(shù)0。)的性質(zhì)可得。(x>0,進而

(l+x)e(1+x)e

/(無)>0,則/(無)在(-1,0］內(nèi)單調(diào)遞增，即可求解.

Ye"+f—1

【詳解】(1)當。=-1時,〃x)=ln(l+x)-三，r(x)=-~,且(l+x)e，>0.

e11+xIe

x

當x>0時，e>1fY>o,貝ij//一i>o,

即/可x)>0,故函數(shù)/(%)在(0,+功上單調(diào)遞增.

■…+用e'+q(1-/

(l+x)ex

令0(%)=e"+Q(1-,貝ij°(x)=e"—2辦，

由％武T0］且心0,可得—2辦20,ex>0,則。'(％)>o,。(％)在(T,0］內(nèi)單調(diào)遞增,

所以0(x)>°(-l)3o,

e

又當xe(T0］時，(l+x)e、>0,

所以*(x)〉0,〃x)在(-1,0］內(nèi)單調(diào)遞增,

1------

//35=〃0)=0.

11

I2-3.(2024?四川成都?模擬預測)已知函數(shù)/(無)=§工3-/(6+<2)%2+(8+6a)x-8aln尤-4a,其中aeR.

i⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)已知〃2)=/(4),求〃x)的最小值.(參考數(shù)據(jù)：1<3(3_41n2)")

【答案】⑴減區(qū)間為(0,4),增區(qū)間為(4,+8).

!(2)8

【分析】(1)對函數(shù)求導，研究導函數(shù)的符號，進而確定其單調(diào)區(qū)間；

o2

(2)由題意得3a-401112-^=0,即a=一>"⑵町,對函數(shù)求導，研究導函數(shù)的符號，判斷單調(diào)性,

33(3-4In2)

|進而求最小值即可.

【詳解】(1)由題設(shè)/(對=[/-4/+20X一16111X一8,則/'(X)=X2-8X+20-3,且X>0,

3x

I所以/‘(X)=—―—H~~~~—,

XXX

i當居(0,4)時/(x)<0,當X￡(4,+S)時八x)〉0,

i所以/(x)的減區(qū)間為(0,4),增區(qū)間為(4,+8).

OZTJ

(2)由題意§-2(6+〃)+2(8+6〃)-8〃1112-44=-^--8(6+〃)+4(8+64)-841114-4〃,

22

所以3a—4aln2—；=0,即4二,⑵力，

33(3-4In2)

iTI,，/、2〃、、8Q(X-2)(X-6Z)(X-4)口八

!f(x)—x—(6++(8+6(2)--------------------------------,x>0,

XX

\當XE(0,2)或X￡(a,4)時f\x)<0,%￡(2,4)或工￡(4,+8)時f\x)>0,

|所以(0,2)、(凡4)上/(%)遞減，(2,4)、(4,+8)上“X)遞增，

20

!又極小值〃2)=〃4),故〃x)最小值為/(2)=?+2a(3-4ln2)=8.

?

I2-4.(2024?天津和平三模)已知函數(shù)/(x)=4-ahw,g(x)=(cosx-l)e-x,其中aeR.

i⑴若曲線y=f(x)在x=l處的切線<與曲線y=g(x)在處的切線4平行，求“的值；

I⑵若xe(0,7t)時，求函數(shù)g(x)的最小值；

⑶若/（X）的最小值為〃（。），證明：當ae（0,+oo）時,A（a）<l.

【答案】（1小

⑵

⑶證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出了'（I）,g'依題意兩數(shù)相等，即可得到方程，解得即可;

（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值;

（3）利用導數(shù)說明〃無）的單調(diào)性，即可求出“X）的最小值，從而得到的解析式，再利用導數(shù)求出

的最大值，即可得證.

【詳解】(1)因為/(x)=《-alnx,g(x)=(cosx-l)e-x,

1-1

r-x-x

所以/'（X）=—X2g(x)=-sinx-e+(cosx-l)(-e)=(-sinx-cosx+l)e

所以r（i）=T

因為兩條切線平行,所以號=°,解得"

（2）由（1）可知8'（工）=（一5足%-85%+1.，令g〈x）〉O,即sinx+cosxvl,

即行sin（x+￡|<l，即sin[x+：|<3，又無?0,兀），解得]<X<無，

令g'（x）<0,解得0<x苫，所以g（x）在（0,力上單調(diào)遞減，在信,兀]上單調(diào)遞增,

所以xe（0,7i）時，函數(shù)g（x）的最小值為g[]]=-e2.

（3）證明：因為/（x）=6-ahrc,xe（0,+co）,「⑶二氏丁。,

令/能）>0,貝！]五一2a>0,即6>2°,

所以當。>0時解得x>4/,所以“X）在（4/,+動上單調(diào)遞增，

令/'（x）<0,解得。?！春桑浴▁）在（0,4/）上單調(diào)遞減,

所以/（x）在x=4/處取得極小值即最小值,

所以//(“)=/(4/)=2〃一aln(4q2)=2(7^1-ln(2tz)J,

即/(x)的最小值為〃(。)的解析式為〃(a)=2q[l-ln(2q)],6ZG(0,+OO),

貝ljh，(a)=-2In(2(2),令h，(a)>0,解得0<a<；,

所以當0<“<；時〃(a)>0,即在上單調(diào)遞增，

當a>；時〃'(a)<0,即在Q,+^上單調(diào)遞增，

所以人(a)在a=；處取得極大值即最大值，即".)皿*=〃]￡|=1,

所以即當ae(0,+co)時，總有/z(a)Vl.

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁?/p>

不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問題處理.

彩偏題秘籍

(二)

根據(jù)最值求參數(shù)

已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應用.

題型3：根據(jù)最值求參數(shù)

3-1.(2024高三上?廣西桂林,階段練習)已知函數(shù)/(x)=46+lnx在x=l處取最大值，則實數(shù)。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意得/(1)=赤+：=竺產(chǎn)，x>0,

當時，/C(x)>0在x>0上恒成立，此時/(x)單調(diào)遞增，不符合題意，

當a<0時，當時，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當0<x<][：時，#(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，故當

x=時，函數(shù)”X)取極大值也是最大值，

1------

故H=lna=-2,

故選：C.

3-2.(2024高二下?四川綿陽?期中)已知函數(shù)/(x)=Qx+ln%.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

TT

(2)當。=-1時，函數(shù)g(x)=/(x)+excosx-lnx-m在［0,5］上的最大值為0,求實數(shù)加的值.

【答案】⑴答案見解析

(2)m=l

【分析】(1)求出/(X)的導函數(shù)，對。分類討論分析導函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2)由題意g(x)=-x+e"cosx-加，令/z(x)=g'(x)=-l+eX(cosx-sinx),利用力(%)的單調(diào)性可得

心)~(0)=0,從而g(x)在［0申上單調(diào)遞減，即可確定g(x)在［0申上的最大值，從而得解.

【詳解】(1)由題意得了'(%)=。+，,%>0,

X

當時，H(X)>0在(0,+8)上恒成立，故函數(shù)〃尤)在(0,+◎上單調(diào)遞增；

當a<0時，當0<x<-工時，f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

a

當X>-1時,f'(x)<0,函數(shù)“X)單調(diào)遞減，

a

綜上，當。20時，函數(shù)/⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a<0時，函數(shù)/(X)在(0,-與單調(diào)遞增，(,收)上單調(diào)遞減.

aa

兀

(2)由題意g(x)=-x+e"cosx-加，xG［0,—］,

gr(x)=-1+e"(cosx-sin,

令/z(x)=g'(x)=—l+e"(cosx-sinx),h'(x)=-2exsinx,

jr

當XE［0,5］時，/zXA：)=-2e%sinx<0,〃(x)單調(diào)遞減，貝!|〃(x)?〃(0)=0,

7T

則月⑶工。，則g(x)在［o,g上單調(diào)遞減，

故g(x)在［0,學上的最大值為g(o)=1-〃Z=o，

所以比=1.

?3-3.(2024高三上?河南新鄉(xiāng)?周測)若函數(shù)/(x)=W-3x在區(qū)間(a,6-/)上有最小值，則實數(shù)。的取

|值范圍是

【答案】［-2,1)

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)，因為函數(shù)/(%)在區(qū)間(°,6-/)上有最小值，所以/G)先小于

jo然后再大于0,所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a<l<5-a2,進而求出正確的答案.

【詳解】由題意可得：函數(shù)/(x)=X3-3X,

i所以/(x)=3x2-3.

|令/(x)=3/-3=0可得，x=±l；

I，f(x)在(-雙-1)上遞增，在(-1,1)上遞減，在(1,+00)上遞增，

!因為函數(shù)/(x)在區(qū)間(°,6-/)上有最小值，則其最小值必為/'(I),

\le(a,6-4)即a<l<6-4，

|又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得：/(a)=a3-3a^(1)=-2,且6-序一0>。，

?聯(lián)立解得：-24<1.

|故答案為［-2,1).

【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題，屬于中檔題.

3-4.(2024高二?貴州貴陽?階段練習)若函數(shù)〃x)=12尤-尤3在區(qū)間(加一5,2機+1)上有最小值，則實數(shù)加的取

|值范圍為.

1【答案】R4

I22」

【分析】

I函數(shù)/(x)在區(qū)間(加-5,2m+1)上有最小值，即在這個區(qū)間上有極小值，而且極小值是開區(qū)間的最小值，從而

i列不等式求解即可.

【詳解】

；/6)=12-3/=3(2-》)(2+;(:),

;所以在(-甩-2)和(2,+◎上，/V)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

|在(-2,2)上,八尤)>0,函數(shù)/⑴單調(diào)遞增；

i且/(-2)=12X(-2)+23=-16

1當/(尤)=12x-V=-16時，X3-12X-16=0，

(X+2)(X2-2X-8)=0

(X+2)2(X-4)=0

即/?(一2)="4)=一16,

I

所以f(x)在區(qū)間(m-5,2m+1)上有最小值,則：

m—5V-2,

<33

〈2加+1〉-2,解得加￡--

2m+l<4,'」

故答案為：卜T，m

i

35(2024?山東一模)若函數(shù)/(無)=§/+/-2在區(qū)間("4間)上存在最小值，則整數(shù)。的取值可以

是.

【答案】1(答案不唯一，2、3均可)

【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)“X)的單調(diào)性與極值，作出圖形，求出使得〃機)=〃0)(機片0)的根的值，根|

據(jù)函數(shù)/(x)在區(qū)間(。-4,°)上有最小值可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，解之即可.

【詳解】因為/(xbjx'+r-2,貝!]/'(X)=X2+2X=X(X+2).

3

由/'(x)<0可得一2<x<0,由>0可得x<—2或x>0,

i

所以，函數(shù)“X)的減區(qū)間為(-2,0),增區(qū)間為(—0,-2)、(0,+司，

…〕/i

20

所以，函數(shù)“X)的極大值為-2)=-尹4-2=-：，極小值為〃0)=-2,

令/(加)=/(2)=—2,其中加w0,則;加3+加2_2=_2,解得加=—3,

/、/、f—34cl—4<0

因為函數(shù)/(X)在區(qū)間(a-4,°)上存在最小值，則1>0，解得14a<4,

所以，整數(shù)。的取值集合為{123}.

1------

故答案為：1(答案不唯一，2、3均可).

3-6.(2024高三上?吉林長春?開學考試)函數(shù)/(x)=/+(a_l)x-31nx在(1,2)內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值

范圍為.

【答案】1|,21

【分析】將函數(shù)〃x)在(1,2)內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)“X)在(1,2)內(nèi)必有極值點，再利用導函數(shù)研究極值

點的范圍即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域為(0,+/),

a,32x?+(Q—1—3

易知f\x)=2x+a-\--=-----——』——，

XX

若函數(shù)/(X)在(1,2)內(nèi)有最小值，則函數(shù)/(X)在(1,2)內(nèi)必有極值點，

又A=(Q-1『+24＞0,不妨設(shè)司,馬為方程2/+(q-l)x-3=0的兩個不相等實數(shù)根，

1—〃

Xj+%2=-----

2

則有3，不妨令王＜0＜務，因此乙武1,2)即可；

再%2=-/＜0

g(l)=a-2<0

令g(X)=2%2+(q_l)x—3,根據(jù)零點存在定理可得

g(2)=2Q+3〉0

3

解得-彳＜。＜2；

2

經(jīng)檢驗了⑴在(1,2)內(nèi)有最小值，所以實數(shù)。的取值范圍為，|,21.

故答案為：

【點睛】方法點睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點，再將極值點問題轉(zhuǎn)化成

其導函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點的問題，利用零點存在定理即可實現(xiàn)問題求解.

3-7.(2024?全國?模擬預測)已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上.若該球的體積為36萬，則該四棱錐

體積的最大值是.

641

【答案】y/211

【分析】根據(jù)球的體積求出半徑，再判斷出體積最大時為正四棱錐，根據(jù)直角三角形中勾股定理求出正四

棱錐底面邊長和高的關(guān)系，表示出正四棱錐的體積，通過導數(shù)求得其最大值.

【詳解】???球的體積匕=§"*=36萬,.?.球的半徑尺=3

要使該四棱錐體積最大，如圖四棱錐尸-/BCD,對于底面NBC。所在的小圓中，頂點P到該小圓面距離最

1------

大，也就是高最大，即點P位于小圓圓心O與球心M所在直線與球面的交點(遠離小圓圓心的那點)；同時!

要使四棱錐體積最大，底面四邊形45a>面積s取最大，

S=S6AOB+S/OD+SBOC+S4cOD

=^AOBO-sm3+^AOOD-sin(^-6?)-02?OCsin(萬-6?)一；CO-DOsin(

i

=-AC-BD-sinO(其中。為/C與切□的夾角)

所以當/C、AD取最大即小圓的直徑，sin。取最大為1時，即時，底面四邊形48CD面積S最大，|

也就是四邊形為正方形時，其面積最大，因此當四棱錐尸-/BCD為正四棱錐時，其體積最大.

22

則8=/a,在RtA”。。中，MD=MO?+o￡)2,即32=(訪一3)2+2/,,-.a=1［9-(/!-3)］

2

所以正四棱錐的體積/=；S/z=gx4/4=g19一僅一3)1/?=一g/+4小(0<〃<6)

r=-2A2+8A=-2/Z(A-4),故當〃e(O,4)時，V'>0,函數(shù)憶單調(diào)遞增；當〃e(4,6)時，r<0,函數(shù)『單|

調(diào)遞減，

7￡4

所以〃=4時，函數(shù)/取得最大值曦+4x42=-^

64

故答案為：y.

3-8.(2024高三下?云南昆明?階段練習)已知函數(shù)〃x)=ln尤在區(qū)間［l,e］上最大值為跖最小值為小，|

則的值是.

【答案】11

e

【分析】求導，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求出最值，得到答案.

【詳解】由題意，x>0,尸(力=二，在［l,e］上由(0='20,

XX

故函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，所以M=/(e)=1,〃z=/(l)=O,=

ee

故加的值是L

e

故答案為：—

e

/、e"+〃一x+2.x2ln(—a)

39(2024?貴州畢節(jié)?模擬預測)當a<0時，函數(shù)〃x)=,；2,'的最小值為1,貝U

—e—ci—x+2,x<ln(—aJ

Q=.

【答案】-e

【分析】利用導數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再分-l<a<0和討論即可.

【詳解】當x<ln(-a)時，/'(x)=-e'-l<0,所以在(-*ln(-a))上單調(diào)遞減，

當xNln(-a)時，/,(x)=ex-l,令/''(》)=0,解得x=0,

若ln(-a)<0,即一l<a<0,此時/(x)在(一oo,ln(-a))和［ln(-a),0)上單調(diào)遞減，

注意當x=ln(-a)分別代入分段函數(shù)的解析式得到的值均為-ln(-a)+2,

故〃x)在(-雙0)上單調(diào)遞減，在(。,+功上單調(diào)遞增，貝U此時〃尤)而?=〃0)=1+。+2=1,解得"-2,

但不滿足-1<。<0,故舍去；

若ln(-a)20,即aV-1,此時〃x)在(-巴皿-切上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+s)上單調(diào)遞增，

則此時=/(ln(-a))=-ln(-a)+2=1,解得a=-e,滿足aW-l,

綜上所述，a=-e.

故答案為：-e.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過導數(shù)求出當xNln(-a)時尸(x)=e*-l,從而得到導函數(shù)零點，然后

討論ln(-“)與0的大小關(guān)系,即對。進行分類討論得到a值.

彩儺題和籍(二)

函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

求函數(shù)〃x)在區(qū)間［凡目上的最值的方法：

(1)若函數(shù)〃x)在區(qū)間心力］上單調(diào)，則/(a)與/他)一個為最大值，另一個為最小值；

(2)若函數(shù)”X)在區(qū)間［a,6］內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間［a,6］上的極值，再與/(。)、/⑻

比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；

(3)若函數(shù)”X)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大(最小)值點，此結(jié)論在導數(shù)

的實際應用中經(jīng)常用到.

題型4:函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

4-1.(2024高三?全國?專題練習)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(q-x),已知x=0是函數(shù)弓=獷G)的極值點.

(1)若函數(shù)g(x)=/(》)+加X?在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)討論函數(shù)〃(x)=4/(x)-*的零點個數(shù)；

⑶求夕卜)=小。在>內(nèi)的最值.

【答案】⑴-1,2

(2)有2個零點

⑶最大值為夕(-g)=-21n|',最小值為夕(；)=-21n2.

【分析】(1)由已知可得了=xln(叱x),j/=ln(a-x)+上，根據(jù)已知可得a=l,所以=In(l-x),

x—a

代入可得g(x)=ln(-力+加2,求導進而根據(jù)已知，可推得s(x)=2m？-2M+120在(-1,1)內(nèi)恒成立,分

m=0,〃z>0,根<0根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

(2)由已知可得Mx)=41n(l-x)-f，根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極大值力(-1)>0,又力(-3)<0,

根據(jù)零點的存在性定理以及40)=0,即可得出函數(shù)零點的個數(shù)；

(3)由已知求出導函數(shù)構(gòu)造=-x),根據(jù)導

函數(shù)得出f(x)20恒成立，進而即可得出。'(月<0恒成立，所以9(x)在(一叫1)上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可

得出答案.

1------

【詳解】(1)由已知可得y=V(x)=xln(a-x),y'=].n(a-x]+----.

x-a

因為x=0是函數(shù)>=力(x)的極值點，

所以當x=0時，V=0,即lna=O,所以。=1.

止匕時有歹=xln(l—x),/=ln(l-x)+^^.

x—1

令k(%)=In(1-x)H----,x<1,

x-1

j,/\11x—2

則左(')=口一西『=西’<°在(f1)上恒成立，

所以左(x),即j/=In(1-x)H----在(-8,1)上單調(diào)遞減.

又當x=0時，y'=0,

所以x<o時，y>o,所以函數(shù)了=獷(尤)在(-鞏0)上單調(diào)遞增；

o<x<i時，y<o,所以函數(shù)丁=#(力在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以，當x=0時，函數(shù)了=獷(月取得極小值，所以。=1,

所以/'(x)=ln(l-x).

則g(x)=/(x)+mx2=ln(l-x)+mx2,

所以g'(x)=---+2mx=-------------,-1<X<1.

V'x-1x-1

因為所以x-l<0.

設(shè)s(x)=2mx2-2mx+1,

要使g(x)在(Tl)內(nèi)單調(diào)遞減，則應有g(shù)'(x)W0在內(nèi)恒成立，

只需s(x”0在(-1,1)內(nèi)恒成立，只需$(尤)在(-1,1)上的最小值s(xL20即可.

當"7=0時，s(x)=l滿足條件;

當加>0時，s(x)=2??(x-g)+l,

此時，函數(shù)s(x)在x=g處有最小值=加+1,

1-------

1-1m+l>0,解得切V2,所以0<%V2；

所以S

2

12

當加<0時,s(x)=2m\x--m+\,

22

此時，要使s(x"O在(Tl)上恒成立,

所以只需S(T)=4"?+120,解得“此一；，所以一:"“<0.

綜上可知，實數(shù)加的取值范圍為-!，2.

4

(2)由已矢口可得力(x)=4f(x)-x2=4111(1—同一/,x<\,

m”,/、4、2(x+l)(x-2)

貝l|〃(x)=-----2x=———△----.

')x-1x-1

因為x<l,所以x-l<0,x-2<0.

當x=-l時，有〃(-1)=0.

當x<-l時，h'[x}>Q,所以%(x)在(-oo,-l)上單調(diào)遞增;

當-1<X<1時，〃(x)<0,所以A(x)在上單調(diào)遞減.

故〃(力的極大值為6(—1)=41112—1>0.

又//(-3)=41n4-9<0,

由零點存在性定理知，可知力卜)在(-3,-1)內(nèi)存在一個零點.

又迎)=0,

故函數(shù)”(x)=4/(x)-人有2個零點.

(3)由題可得0(x)=/5」n(lx)(》<1且HO),

XX

則一六一叩7)_Il)ln(i).

中(“)一P—一不可一

設(shè)(無)=x-(尤(x<l),貝!Jf'(x)=-ln(l-x),

令中)=0,解得尤=0,

當x<0時,t(x)<0,所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減;

當0<x<l時，，（x）>0,所以f（x）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增.

所以'（x）min=M°）=°，故，GV。恒成立.

又因為當x<l且x/0時，x?（無一1）<0,

所以夕'（x）<0恒成立，所以o（x）在（-叫1）上單調(diào)遞減，

故9（x