概率與統(tǒng)計-2025屆高中數(shù)學一輪復習特訓（含解析）

概率與統(tǒng)計-2025屆高中數(shù)學一輪復習特訓

一、選擇題

1.已知正態(tài)分布N（l,02）的正態(tài)密度曲線如圖所示，X~N（l,b2）,則下列選項中，不能表示圖

中陰影部分面積的是（）

C.1-P（1<X<2）D.lp（x<2）-1p（X<0）

2.2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看.小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、

乙兩家影院觀影的概率分別為工和3.如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為3;如

555

果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為若小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影

2

院的概率為（）

125

AB1C

23一---

059

504

3.隨機變量X服從NO，/）若P（X21）=P（X<3）,則下列選項一定正確的是（）

A.P(X23)=1B.b=l

C.〃=2D.p(X23)+P(X<l)=l

4.某車間加工零件的數(shù)量x與加工時間y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:

零件數(shù)X（個）182022

加工時間y（分）27m33

現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程夕=中的5值為0.9,則據(jù)此回歸模型可以預測，加工100個零

件所需要的加工時間約為102分鐘，則根的值為（）

A.28B.29C.30D.32

5.學校開設了游泳選修課.某教練為了解學生對游泳運動的喜好和性別是否有關(guān)，在全校學生中選取

了男、女生各〃人進行調(diào)查，并繪制如下圖所示的等高堆積條形圖.則（）

1

S9

S8

7

O.6

OS.5口不■&歡

S4口喜歡

S3

2

O.1

O.0

生

男女生

參考公式及數(shù)據(jù)：2,其中“=〃

7V=(--a--+---b--)-(--c"+("d")一(a"+0c--)--S---+---d--)-a++c+d.

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

A.參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運動的人數(shù)比不喜歡游泳運動的人數(shù)多

B.全校學生中喜歡游泳運動的男生人數(shù)比喜歡游泳運動的女生人數(shù)多

c.若〃=50,依據(jù)&=0.01的獨立性檢驗，可以認為游泳運動的喜好和性別有關(guān)

D.若〃=100,依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，可以認為游泳運動的喜好和性別有關(guān)

6.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設4="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點"，3=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則A與2的關(guān)

系為（）.

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.相等

7.在一個不透明箱子中裝有10個大小、質(zhì)地完全相同的球，其中白球7個，黑球3個.現(xiàn)從中不放回地

依次隨機摸出兩個球，已知第二次摸出的是黑球，則第一次摸出的是白球的概率為（）

A.7_B.7lC.2-D._5

10936

8.如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件正常導電的概率為工，則從A到8這部分電源能通電的

3

概率為（）

243243243243

二、多項選擇題

9.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為。（0＜。＜1）,收到0

的概率為1—1；發(fā)送1時，收到0的概率為，(0＜分＜1),收到1的概率為1-，.考慮兩種傳輸方

案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次,

收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號

中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-￡)(1-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(I-，)？

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-/)2+(1-/)3

D.當0＜夕＜0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

10.甲、乙兩班各有50位同學參加某科目考試(滿分100分)，考后分別以％=0.8%+20、

%=0.75々+25的方式賦分，其中苞，々分別表示甲、乙兩班原始考分，/，內(nèi)分別表示甲、乙

兩班考后賦分.已知賦分后兩班的平均分均為60分，標準差分別為16分和15分，貝ij()

A.甲班原始分數(shù)的平均數(shù)比乙班原始分數(shù)的平均數(shù)高

B.甲班原始分數(shù)的標準差比乙班原始分數(shù)的標準差高

C.甲班每位同學賦分后的分數(shù)不低于原始分數(shù)

D.若甲班王同學賦分后的分數(shù)比乙班李同學賦分后的分數(shù)高，則王同學的原始分數(shù)比李同學的原始分

數(shù)高

11.甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球.先從甲罐中隨機取出

一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球.凡表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，人表示

事件“從甲罐取出的球是白球”，3表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的

是()

A.A],3為互斥事件：8.2(3/)=：

,47

C.p(&忸)=,D-P(5)=—

三、填空題

12.已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1

次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.

13.某高校的入學面試中有3道難度相當?shù)念}目，李華答對每道題目的概率都是2,若每位面試者共有

3

三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設對抽到的不同題

目能否答對是獨立的，則李華最終通過面試的概率為.

14.某傳媒公司針對“社交電商用戶是否存在性別差異”進行調(diào)查，共調(diào)查了40”(“eN*)個人,得到如

下列聯(lián)表:

是社交電商用戶不是社交電商用戶合計

男性8及12〃20n

女性12〃8〃20幾

合計20n20n40n

己知/05=3.841,若根據(jù)&=0.05的獨立性檢驗認為“社交電商用戶存在性別差異”，則〃的最小值為

(1)根據(jù)經(jīng)驗可知原材料投入x(萬元)與利潤y(萬元)間具有線性相關(guān)關(guān)系，求利潤y(萬元)

關(guān)于原材料投入x(萬元)的線性回歸方程；

(2)當原材料投入為100萬元時，預估該產(chǎn)品的利潤為多少萬元？

人￡(%?-x)(x-y)

附：3=~一?-，a=y~bx-

MT

i=\

16.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出

勝負，則需進行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球

為一輪，球員每罰進一球則為本方獲得1分，未罰進不得分，當分差拉大到即使落后一方剩下的球員

全部罰進也不能追上的時候，比賽即宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙

方得分一樣，則進入第二階段，雙方每輪各派一名球員罰球，直到出現(xiàn)某一輪一方罰進而另一方未罰

進的局面，則罰進的一方獲勝.設甲、乙兩支球隊進入點球大戰(zhàn)，由甲隊球員先罰球，甲隊每位球員

1?

罰進點球的概率均為一，乙隊每位球員罰進點球的概率均為一.假設每輪罰球中，兩隊進球與否互不

23

影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(1)求每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率；

(2)若在點球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分，甲隊暫時以2:0領(lǐng)

先，求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.

17.小王某天乘坐火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為

0.8,0.7,0.9,假設這三列火車之間是否正點到達互不影響.求：

(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；

(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率；

(3)這三列火車恰有一列火車正點到達的概率.

18.假期中，來自沿海城市的小明和小強去四川旅游，他們發(fā)現(xiàn)自己帶的小面包的包裝袋鼓了起來.原來

隨著海拔升高，氣壓也隨之降低，包裝袋內(nèi)的氣壓大于外面氣壓，從而使得面包袋鼓了起來.研究發(fā)現(xiàn)在

一定范圍內(nèi)大氣壓與海拔高度是近似線性的關(guān)系.

海拔IWJ度X/m10501005001000

大氣壓y/kPa101.2100.6100.294.888.2

(1)利用線性回歸解題思路求y與x之間的線性回歸方程；(務的值精確到0.001)

(2)小明和小強打算去九寨溝，可以利用(1)中的方程，估計九寨溝A景點(海拔2800m)的大氣壓.(精

確到0.01)

附：①對于一組數(shù)據(jù)(%,%)，(尤2，為卜…，(%，％卜其回歸直線y=a+標的斜率和截距的最小二乘估

計分別為：入J--------=6后

2

②參考數(shù)據(jù)：-%)=711480,(x,.-x)(x-V)=-9358.

1=1J=1

19.某校為了培養(yǎng)學生數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，組織了數(shù)學建模知識競賽，共有兩道題目，答對每道題

目得io分，答錯或不答得o分.甲答對每道題的概率為:，乙答對每道題的概率為°(0<0<1),且

甲、乙答對與否互不影響，各題答題結(jié)果互不影響.已知第一題至少一人答對的概率為』.

6

(1)求p的值；

(2)求甲、乙得分之和為30分的概率.

參考答案

I.答案：c

解析：正態(tài)分布N（l,cr2）的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=1對稱，

可得圖中陰影部分可表示為

P（0<X<l）=P（X<l）-P（X<0）=1-P（X<0）=1-P（X>2）>故選項A,B正確；

對C：由對稱性可得;_p（lWX<2）=P（X22）=P（X<0），故選項c錯誤；

對D：由對稱性可得尸（0WXW1）=P（1WXW2），

所以圖中陰影部分面積可表示為P（0<X<1）=1-[P（X<2）-P（X<0）]，故選項D正確.

故選：C.

2.答案：D

解析：設小明第一天去甲影院為事件4第二天去甲影院為事件8,小明第一天去乙影院為事件C,

第二天去乙影院為事件。

故P（A）=|，P（C）=|，P（3|A）=|，尸（用C）4

由。出力常=|，「但。）=需M可得「（加哈P3）京

故P（3）=P（AB）+P（C3）=^+\=|^，

3

W

則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為P（C|B）==

27

50

故選：D

3.答案：C

解析：因為尸（X21）=P（X<3）

由正態(tài)分布的對稱性，可得〃=2,正態(tài)分布方差無法判斷,

P（X>3）<1，P（X>3）+P（X<1）<1,

所以ABD錯誤.

故選::C

4.答案：C

解析：由題意可知：5>=O.9x+d,

且當x=100時，9=0.9x100+近=90+近=102,解得6=12,

可知$=0.9x+12,

18+20+22cc-27+7〃+33zn+60

—20，v——

333

-TA*加+60

可知點［20,--一在》=0.9x+12上,

m+60

即20x0.9+12=——,解得m=30.

3

故選:C.

5.答案：D

解析：對于A,由等高堆積條形圖可知，參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運動的人數(shù)比不喜歡游泳運動的

人數(shù)少，故A錯誤；

對于B,全校學生中男生和女生人數(shù)比不確定，故不能確定全校學生中喜歡游泳運動的男生人數(shù)比喜

歡游泳運動的女生人數(shù)多，故B錯誤；

對于C,結(jié)合等高堆積條形圖可得:

游泳

性別合計

喜歡不喜歡

男生0.6〃OAnn

女生0.4〃0.6幾n

合計nn2n

22n(0.6HxQ.6n-QAnx0.4n)-

=0.08”'

n

若〃=50，則％?=o.o8〃=4<6.635,

故依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，不可以認為游泳運動的喜好和性別有關(guān)，故C錯誤;

對于D，若八=100,則力2=0.08"=8〉6.635，

依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，可以認為游泳運動的喜好和性別有關(guān)，故D正確.

故選：D

6.答案：C

解析：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點"，8=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，

事件A與B能同時發(fā)生，故事件A與8既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A,B錯誤；

v762v762v7664v7v7224

因為P（A）?P（5）=P（AB），所以A與2獨立，故選項C正確；

事件A與8不相等，故選項D錯誤.

故選：C.

7.答案：B

解析：設第一次摸出白球為事件A，第二次摸出黑球為事件B，則第一次摸出黑體為事件印.因為

73

PAB

夕（5）=;＞（m）+/＞（獨）=工義3+3*2=」,所以「（川B\=^）=1Q—9=2.

1091091017P⑻29

10

故選B.

8.答案：A

解析：從A到B電路不能正常工作的概率為

（22）「2（11]]51155

1I33”3I33刀927243

所以從A到8電路能正常工作的概率為n=l-P=l_Jl=l^.

1243243

故選：A.

9.答案：ABD

解析：對于A選項，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1,0,1,依次收到1,0,1的概率為

(1-￡)(1—a)(l—￡)=(1—a)(l—￡)2,所以A選項正確.

對于B選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送1,依次收到1,0,1的概率為

所以B選項正確.

對于C選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送1,依次收到1,1,1（即譯碼為1）的概率為

（1—，）（1一，）（1一，）=（1—分）3；發(fā)送1,依次收到1,0,1（即譯碼為1）,0,1,1（即譯碼為1）,

1,1,0（即譯碼為1）的概率為3（1-，），（1一，）=3（1-，）2,，于是譯碼為1的概率為

（1一+3（1—￡）2￡,所以C選項不正確.

對于D選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送0,依次收到0,0,0（即譯碼為0）的概率為

(1-?)(1-?)(1-?)=(1-?)3；發(fā)送0,依次收到0,0,1(即譯碼為0),0,1,0(即譯碼為0),

1,0,0(即譯碼為0)的概率為3(1—a)a(l—。)=3(1—，于是譯碼為0的概率為

(1-C)3+3(1-a)2c.采用單次傳輸方案，發(fā)送0,譯碼為0的概率為1—戊.依題意，有

(1-a)3+3(1-?)2?>\-a,ae即4a1+a>0,ae.令函數(shù)/(a)=-2a2+a,

則/(a)=o(l-2o)>0在上恒成立，所以D選項正確.故選ABD.

10.答案：ACD

解析：對AB,由題知E(yJ=￡(必)=6。，=16,心(%)=15,

因為％=0.8再+20，%=0.75X2+25，

所以0.8￡(%)+20=60，0.75￡(%)+25=60，0.8^(^)=16>0,75^(%2)=15-

解得E&)=50，E(X2)?46.7-j￡>(凡)=20,”>(々)=20,

所以石(石)>石(%)，J而)=何用，故A正確，B錯誤；

對C,因為%—%=20-0.2%,e[0,100]>

所以0<20—0.2%<20，即%—為20，所以C正確；

對D,作出函數(shù)y=0.8x+20，y=0.75x+25的圖象，如圖所示：

由圖可知，當％=%<100時，有馬<%，

又因為y=0.8x+20單調(diào)遞增，所以當％〉％時必有玉>/，D正確.

故選：ACD

11.答案：BD

解析：A選項:顯然不成立；

B選項:當人發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時3發(fā)生的概率為

11

P（B|^）=—?二B選項正確；

D選項:當人發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時3發(fā)生的概率為5,

3｝14137

二尸（叫&）=77，,。（3）=2（4）/網(wǎng)4）+。（4）2網(wǎng)4）=不義77+于77=不，；中選項

JLJL乙J.J.乙J.J.乙乙

正確；

_1x_3_

。選項:0（4忸）=紗圖=一1=』，."選項不正確.

」P?2____7

22

12.答案：1/0.5

2

解析：從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回,

設事件4第1次抽到代數(shù)題，事件8：第2次抽到幾何題,

則P（A）=」，P（AB）=-X-=—，

'/5v75410

3

1-0-

所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為P（B|A）=，黑=3

51

故答案為：1.

2

13.答案：—

27

解析：依題意，李華3道題都沒有答對的概率為—=工，

I3J27

所以李華最終通過面試的概率為1-工=—.

2727

故答案為：”.

27

14.答案：3

解析：/_4°"x（12"xl2"-8"x8"）-_8_3841>3,841x-=2.400625

%—20nx20?x20nx20n-5005-8

所以根據(jù)a=0.05的獨立性檢驗認為是不是社交電商用戶與性別有關(guān)，則”的最小值為3.

故答案為3

15.答案：（1）1=221040

（2）原材料投入為100萬元時，預計該產(chǎn)品的利潤為1160萬元.

解析：（1）設利潤y（萬元）關(guān)于原材料投入x（萬元）的線性回歸方程為$=晟+6,

由已知》=^（82+84+85+86+88）=85，

y=1（770+800+830+850+900）=830，

i=\

￡心—號2=9+1+0+1+9=20,

i=l'

所以5==22，。=亍—族=830—22x85=—1040,

所以利潤y（萬元）關(guān)于原材料投入尤（萬元）的線性回歸方程為'=22%-1040；

（2）由（1）當％=10。時，9=22x100—1040=1160，

所以當原材料投入為100萬元時，預計該產(chǎn)品的利潤為1160萬元.

16.答案：⑴

2

4

⑵5

解析：（1）設每一輪罰球中，甲隊球員罰進點球的事件為A,未罰進點球的事件為??；乙隊球員罰進點

球的事件為8,未罰進點球的事件為力.

設每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的事件為C,由題意，得在每一輪罰球中兩隊打成平局的情況

有兩種:甲、乙均未罰進點球，或甲、乙均罰進點球，

貝UP（C）=P（N）xP（R）+P（A）xP（3）=（l—g）（l—g[+gxg=:+g=g,

故每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率為工.

2

⑵因為甲隊第5個球員需出場罰球，則前四輪罰球甲、乙兩隊分差不能超過1分，即四輪罰球結(jié)束

時比分可能為2:1或2:2或3:2.

①比分為2:1的概率為

P（孫P⑻.P（孫P（耳+P（孫P⑻.P（孫P⑻

111

------1------——

18189

②比分為2:2的概率為尸(N)-P(B>P(N)-P(3)=(l—g]xgx[l—g]x|=g.

③比分為3:2的概率為P(A>P⑻.P(孫P⑻+P(孫P⑻.P(A>P⑻

1124

綜上，甲隊第5個球員需出場罰球的概率為土+土+*=2.

9999

17.答案：⑴0.398

(2)0.994

(3)0.092

解析：(1)由題意得,恰好有兩列火車正點到達的概率為

P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ=P(A)P(B