甘肅省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題

甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期

中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1?直線3x+&y+5=0的傾斜角為（）

A.-B.-C.—D.—

6434

2.已知p（N）=0,5，P（8）=0.3，P（4B）=Q2,則尸（/UB）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

3.過點（2,1）,且法向量為加=（2,3）的直線方程為（）

A.2x+3y-7=0B.2x+3y+l=0

C.3x-2y-8=0D.3x-2y-4=0

4.2020年1月，教有部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》

（簡稱“強(qiáng)基計劃），明確從2020年起強(qiáng)基計劃取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、兩

人通過強(qiáng)基計劃的概率分別為'7，4那么甲、乙兩人中恰有1人通過的概率為（）

105

A.—B.—C.—D.1

5025502

5.若直線4：%+4+6=0與6：（。-2）x+3y+2a=0平行，貝文與4間的距禺為（）

A.6B.8/

亍

試卷第11頁，共33頁

CgD8A/5

亍

6.《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每

個節(jié)氣號長損益相同（號是按照日影測定時刻的儀器，號長即為所測影子的長度），夏至、

小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其號長依次成等差數(shù)列，

經(jīng)記錄測算，這九個節(jié)氣的所有辱長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個節(jié)氣密長之和為

10.5尺，則秋分的號長為（）

A.4.5尺B.5.5尺C.6.5尺D.7.5尺

7.已知等比數(shù)列滿足：出+%+4+%=20,-%=8,則_￡+，+L+」的值為

（）

A.20B.10C.5D.-

2

8.設(shè)直線4：x+3y-7=0與直線4：x-y+l=0的交點為P,則尸到直線/:x+ay+2-a=0

的距離最大值為

A.5B.4C.3aD.Tn

二、多選題

9.今年“國慶"假期期間，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開展各類促銷

活動.在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎活動，若顧客小王中獎的概率

為04,顧客小張中獎的概率為0.2,且兩人能否中獎相互獨立，則（）

A.小王和小張都中獎的概率為0.1

B.小王和小張都沒有中獎的概率為0.48

C.小王和小張中只有一個人中獎的概率為0.44

D.小王和小張中至少有一個人中獎的概率為0.52

10.下列說法正確的是（）

A.5是直線x+y-3=0的一個方向向量；

試卷第21頁，共33頁

B.經(jīng)過點0,1）且在x軸和〉軸上的截距都相等的直線方程為尤+>-2=0;

c.點（0,2）關(guān)于直線v=1+1的對稱點為（1,1）；

D.已知兩點/（2,3）,8（-2,_1），若直線/過點p（l,—2）且與線段48有公共點，則左的

取值范圍是（一8,一；卜[5,+8）

11.已知數(shù)列｛“〃｝的刖〃項和為,且〃]=1，〃“+]+〃〃=2〃貝1（）

A"=18B為奇數(shù)

.y1“為偶數(shù)

2

C.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列D.”為奇數(shù)時，G_?+（?-1）

s--n+^r

三、填空題

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前力項和為s,，公差d=-l，且p2烏多成等比數(shù)列，貝1品=——

13.已知直線（"I）x+VT=°和x+2如+1=°垂直,則工+工的最小值為一

ab

14.已知數(shù)列｛叫滿足q=2,g=6,且4+2-2°向+%=2,若[x]表示不超過x的最大整

2

數(shù)（例如口-6]=1,[-1.6]=-2）,記=[（?+1）1則數(shù)列上｝的前2024項和為.

L4J

四、解答題

試卷第31頁，共33頁

15.VZ8C的三個頂點是/(4,0),5(6,7),40,3)，求:

(1)邊4R上的中線所在直線的方程；

AD

(2)邊NC上的垂直平分線所在直線的方程.

16.甲、乙、丙三人進(jìn)行投球練習(xí)，每人投球一次.已知甲命中的概率是士，甲、丙都未命中的

概率是工，乙、丙都命中的概率是;，若每人是否命中互不影響.

124

(1)求乙、丙兩人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少2人命中的概率.

17.設(shè)函數(shù)=數(shù)列｛""｝滿足弓=1，且°向=〃％)，"eN*.

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列;

⑵令2,=%?%（心2）力=3,=4+%+…+2,若s,<”「2015對一切〃eN*成立，求

最小正整數(shù)加的值.

18.已知直線/：kx-y+l+2k=0.

(1)求/經(jīng)過的定點坐標(biāo)產(chǎn)；

(2)若直線/交x軸負(fù)半軸于點人，交y軸正半軸于點心

①V/Qg的面積為S，求S的最小值和此時直線/的方程；

試卷第41頁，共33頁

②當(dāng)P/+二P8取最小值時，求直線的方程.

2

19.已知S"為數(shù)列｛叫的前〃項和，且s=四+1)，數(shù)列抄，前〃項和為北，且4=2,

"2

加=小2?

⑴求｛%｝和也｝的通項公式；

(2)設(shè)0=(_])"/,設(shè)數(shù)列｛qj的前〃項和為勺，求名;

(3)若數(shù)列WJ滿足：d“=_L+—L,證明

:￡4<2〃+1.

d+i"T臺’

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBAABDDABCDACD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】先把方程化為斜截式，得到直線的斜率，即可求解.

【詳解】由3無+回+5=°得：后一生后，設(shè)其傾斜角為0,二右由兀），

3

所以斜率左=-百二tana,故傾斜角為°=如，

3

故選：C

2.B

【分析】依題意根據(jù)尸（山8）=p（4）+「（8）-尸（/8）計算可得；

【詳解】解：因為尸（/）=0.5，P（5）=0,3>P（4B）=02

則尸（/8）/尸（/）尸（8），所以事件A與事件B不相互獨立，

P（/tU5）=P（A）+P（B）-P（AB\=0.5+0.3-0.2=0.6?

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)題干條件，先將點坐標(biāo)（2」）代入直線方程可排除掉部分錯誤選項，剩下的選

項中再找出各條直線的一個方向向量，檢驗是否與題干玩垂直即可得出正確答案.

【詳解】由題意得，因為直線過點Qi”

所以將（2/）代入各選項可得，

B,C選項直線不過（2J）,故排除B,C,

答案第11頁，共22頁

77

對于選項A,取直線上兩點￡(0,g),F(pO),

可得直線2"3?-7=0的一個方向向量為而Kg,—),

由于麗?湯=2xg+3x(—g)=0,所以打工而，

故而是直線2x+3y-7=0的法向量，故正確

對于選項D,取直線上兩點"(°'一劣，N(g,O),

可得直線3、—2y-4=。的一個法向量為荻=《,2),

由于茄？?加=2x±+3x2=^w0,MN與曲不垂直，

33

所以應(yīng)不是直線3%-2歹-4=0的法向量，故錯誤.

故選：A.

4.A

【分析】由題意，甲乙兩人通過強(qiáng)基計劃是相互獨立的事件，可確定甲乙兩人中恰有一人

通過的事件為甲通過乙不通過和甲不通過乙通過.

【詳解】由題意，甲乙兩人通過強(qiáng)基計劃的事件是相互獨立的，

那么甲乙兩人中恰有一人通過的概率為尸勺+11-二卜±=2.

10I5j[10J550

故選：A.

5.B

【分析】由兩直線平行的判定有3-a(a-2)=0且2/_i8w0求參數(shù)。，應(yīng)用平行線距離公

答案第21頁，共22頁

式求/]與4間的距離?

【詳解】?直線/]:工+即+6=0與4:(。-2)%+3^+2口=0平行，

)=0且2/-18片0,解得a=_i，4：_3x+3y-2=0,x7+g=0.

4‘2A_2_

???直線與間的距離/b-38板.

a=.=----------

#+(-1)23

故選：B.

6.D

【分析】設(shè)等差數(shù)列，公差為"，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，求出也為可

得答案.

【詳解】設(shè)夏至，小暑，大暑，立秋，處暑，白露，秋分，寒露，霜降其辱長分別為

,“2,。3,"4,^5，。6'^^7'"8，"9'且是等差數(shù)列，設(shè)其公差為＜/,

依題意有,"愛x9=(%+4d)x9=49.5,

%+%%=3%+6d=10.5

解=1則%=%+6d—1.5+6—7.5

[〃]—1.5

故選：D.

7.D

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：,"=%9=8,對工+工+工+工進(jìn)行化簡后求

01^^^6^^8

值即可.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：&?&=出?%=8?

答案第31頁，共22頁

所以1+1+1+1_&+。8+。4+。6_。2+。4+。6+。8_20_5

/%a6。8a2aSa4a6。2。882

故選：D

8.A

【分析】先求出尸的坐標(biāo)，再求出直線/所過的定點0,則所求距離的最大值就是尸0的長

度.

【詳解】由「+31=°可以得到卜=1,故尸。，2）,

=0[y=2

直線/的方程可整理為：x+2+a（y_l）=0,故直線/過定點（一2,1），

因為尸到直線/的距離[引尸@,當(dāng)且僅當(dāng)/JLP0時等號成立，

故＜x=JU+（2-丁=Vio,

故選A.

【點睛】一般地，若直線4：4X+4》+G=O和直線/2：4、+與）+。2=0相交，那么動直線

4^+517+C1+A（4x+52y+C2）=0（北火）必過定點（該定點為//的交點）?

9.BCD

【分析】利用隨機(jī)事件概率以及相互獨立事件的定義，根據(jù)對立事件概率的加法公式對選

項逐一計算可得結(jié)論.

【詳解】記事件A：顧客小王中獎，事件1顧客小張中獎，則小王、小張未中獎可記為

AD

A,B<

易知尸(4)=0.4,尸(8)=0.2,Pp)=0.6,尸⑻=0.8.

答案第41頁，共22頁

由題意可知A與3相互獨立，所以N與豆，A與方，5與N均相互獨立；

所以小王和小張都中獎的概率為p（45）=尸（力）尸（5）=0.4x0.2=0.08，即A錯誤；

小王和小張都沒有中獎的概率為尸（血）=尸（7）尸⑻=0-6X0.8=0.48,可得B正確；

小王和小張中只有一個人中獎的概率為尸（初）+尸（點）=0-6X0.2+0.4X0.8=0.44,即c正

確；

小王和小張中至少有一個人中獎的概率為1"（益）=1一°48=0.52,即D正確.

故選：BCD

10.ACD

【分析】A選項，根據(jù)直線的一個方向向量為0k）進(jìn)行求解；B選項，分截距為。和不為

0兩種情況進(jìn)行求解；C選項，設(shè)出對稱點，列出方程組，求出對稱點坐標(biāo)；D選項，畫出

圖形，求出心，=5,上網(wǎng)=-;，數(shù)形結(jié)合得到"＞原，或"〈心*D正確.

【詳解】A選項，x+y-3=0的斜率為-1，

故直線x+y-3=0的一個方向向量為1=,A正確；

B選項，當(dāng)直線的截距為。時，設(shè)直線方程為y=依，將0,1）代入得，k=l，

故此時直線方程為y=X，

當(dāng)直線的截距不為。時，設(shè)直線方程為二+上=1,

aa

答案第51頁，共22頁

將點(U)代入得工+,=1,解得故直線方程為x+V-2=0

aa

綜上，直線方程為y=x或x+y一2=0,B錯誤；

c選項，設(shè)點fo,2?關(guān)于直線y=x+i的對稱點坐標(biāo)為(","),

n-2_im=n=\(1,1)

則,解得，故對稱點為，C正確；

〃+2my

D選項，畫出圖形如下:

-1-(-2)=1

則kpA=5,kpB

2-1-2-13

直線/過點p(i,_2)且與線段45有公共點，則左＞%或左＜%，

則”的取值范圍是1

—OO.----u---[5,+oo),D正確.

3

故選：ACD

11.ABD

【分析】利用并項求和法可判斷AD選項；利用等差數(shù)列的定義可判斷BC選項.

答案第61頁，共22頁

【詳解】對于A選項,$6=（%+%）+3+。4）+（。5+%）=2*（1+3+5）=18,A對;

對于B選項，因為％+。2=2,則出=2-%=1，

對任意的〃eN*，由a?+1+a?=2〃可得a“+2+。“+]=2（〃+1），

上述兩個等式作差可得a.-q=2，

所以，數(shù)列｛%｝中的奇數(shù)項成以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，

數(shù)列｛《,｝中的偶數(shù)項成以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，

當(dāng)"為奇數(shù)時，設(shè)"=2"l（A:eN*），貝1J。，=%T=%+2（笈-1）=2k-1="，

當(dāng)"為偶數(shù)時,設(shè)〃=2后化eN*），則%=出+2（"1）=2左-1=〃-1,

綜上所述，a=?，”為奇數(shù)，B對；

為偶數(shù)

對于c選項，%_%=1片%_%，故數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列，C錯；

對于D選項，當(dāng)”為奇數(shù)時，設(shè)"=2左貝心="1,

2

則S"=$2%一/《=（4+?）+（%+&）+…+（°2*T+a2k）~a2k

=2[1+3+---+（2^-1）]-（2^-1）=-（2^-1）=2/c2-2^+1

=2x[等1-（〃+1）+1=：+3"+?’口對-

故選：ABD.

12.0

【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求得"，然后由等差數(shù)列前〃項公式計算.

U1

答案第71頁，共22頁

【詳解】因為公差d=-l，且％,成等比數(shù)列，

所以端=〃2。5，即(4-3)2=(%-1)(%-4)，解得〃1=5，

所以品=11%+上口=11義5+上2(-1)=0.

11122

故答案為：0

13.8.

【分析】根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系可得到關(guān)于0和6的關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式結(jié)合基本不等

一

式求出42+上1的最小值即可.

ab

【詳解】由題意得，因為直線(Q-l)x+y—1=0和x+2勿+1=0垂直,

貝“Q—l)xl+lx2b=0,即a+2b=l,

匚匚I、1212(a+2b)a+264ba.

所以一+—=八------+-----=—+-+4，

ababab

可在。>0,6>0匚匚I、J4b八。八

因為，所以一>0,—>0,

ab

所以根據(jù)基本不等式，竺+@22也2=4，

abNab

e、1214ba八”.0

JTT以—I—=----1F424+4=8，

abab

所以2的最小值為8,當(dāng)且僅當(dāng)竺=3=4=26=L時等號成立，

abab2

故答案為8.

14.2025

答案第81頁，共22頁

【分析】由條件構(gòu)造等差數(shù)列結(jié)合累加法求巴，再利用“=[(〃+1)1及3的定

義計算即可.

【詳解】因為八-2%+a“=2，所以(八_%)_(*_*=2，

因為a1=2,2=6，所以%-。1=4，

所以數(shù)列｛%+「〃”｝是以首項為4,公差為2的等差數(shù)列，

故a〃+[_Q〃=4+(〃_1)2=2〃+2，

由累加法可知當(dāng)〃之2時，

/\/\/\(〃一1)(4+2〃)/\

(%—Q〃-1)+(%-1—Q〃-2)+…+(2-。1)=--------2---------=+，

所以+1),n>29又Q]=2也符合該式，所以%=〃(〃+

所以(“+Y=("+[2=四=1+),

an+nn

又時，

b,1=L1+—i_=29

又7欄2時，2<1+1<2,此時6=卜+4]=1，

2n"L?.

所以也｝的前2024項和為4+仿+…+狐么=2+1+1+…+1=2+1x2023=2025-

故答案為：2025.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造數(shù)列｛a.”-%｝并求通項公式，再由累加法求凡的通項公式，結(jié)

合函數(shù)新定義求目標(biāo)式的值.

15.⑴x-10y+30=0

答案第91頁，共22頁

(2)8x-6y-7=0

【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點48的中點坐標(biāo)，從而可得邊N8上的中線所在直

線的斜率，然后根據(jù)點斜式即可寫出直線方程；

（2）求出點4c的中點坐標(biāo)，求出直線的斜率可得其垂直平分線的斜率，然后根據(jù)點

斜式即可寫出直線方程.

【詳解】（1）點，（4，°）］（6,7）的中點。卜，3，

直線CD的斜率為./=1,

5-010

所以邊48上的中線CD所在直線的方程為尸3=5x,

即無一10^+30=0;

（2）點/A。），C（。，3）的中點坐標(biāo)為《2,2，

直線AC的斜率為無忙=W=_］，

“C0-44

則邊/C上的垂直平分線的斜率為4=二=3,

心c3

ACQ4

所以邊上的垂直平分線所在直線的方程為

即8x-6y-7=0-

答案第101頁，共22頁

23

16.⑴乙、丙兩人各自命中的概率分別不。

JO

21

(2)記

【分析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自命中的概率分別為由題意得到方程組，求出

23

Pi=~^Pi=~；

JO

(2)求出甲、乙、丙三人均命中的概率和2人命中的概率，相加得到答案.

【詳解】(1)設(shè)乙、丙兩人各自命中的概率分別為外兒，

故=P1P2=p解得Pi=:，P2="|，

V4y124Jo

23

故乙、丙兩人各自命中的概率分別

JO

a，aa

(2)甲、乙、丙三人均命中的概率為=

43816

甲、乙、丙三人中2人命中的概率為

32313515

1-3」金，1--1---1--=—

438438431816321632

答案第111頁，共22頁

故甲、乙、丙三人中至少2人命中的概率為33+二15=幺.

163232

17.(1)證明見解析；

(2)2024.

【分析】(1)通過兩邊取倒數(shù)進(jìn)行變形構(gòu)造，再利用定義法證明；

(2)利用裂項相消法求和，再利用函數(shù)方法研究最值來處理恒成立問題.

【詳解】(1)結(jié)合題意可知%包=/(.“)=用」,〃eN*,

2Q”+3

兩邊取倒數(shù)可得：—=^^=-+—,neN\即,一'=2,”eN*.

%+i3a,3anan+xan3

是以首項工Hl,公差為I的等差數(shù)列.

所以數(shù)列

ax

19

(2)由上問可知數(shù)列是以首項,回，公差為巳的等差數(shù)列,

q3

所以'+—22〃+13

X—=所以％

332?+1

3x3_9(11

所以b=a]，(北2〉

+2n-\~l\2n-\2〃+l

又4=3,也滿足上式，所以b------L

〃2(2〃-12〃+1

由Sn="1+”Z+…n+b可得：

一J---1------1---1------

213352n—3△+上-七］=>上

所以格|,因為S“<3空對一切〃'N成立,

答案第121頁，共22頁

而z%-2015、9?，m>2024

所以------->一，解得s

22

最小正整數(shù)加的值為2024.

18.(1)(2)①S的最小值為4,x—2j+4=0;?x—y+3=0-

【分析】(1)整理已知方程，使得上的系數(shù)等于°即可求解；

(2)①求出點人，B的坐標(biāo)，利用左表示V/08的面積為S，利用基本不等式求最值，由

等號成立的條件可得左的值，進(jìn)而可得直線/的方程；②設(shè)直線’的傾斜角為a，則

0<a<-,可得R4=—抬=二一,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計算PA+-PB=

2sinacosa2

iia

的最小值，以及此時的值，進(jìn)而可得的值以及直線的方程.

sinacosa

【詳解】(1)由丘一y+1+2k=0可得：Mx+2)+l-y=0，

由卜+2=0可得「=-2,所以/經(jīng)過的定點坐標(biāo)尸(-2,1)；

1|_y=0[y=\

(2)直線/：kx-y+\+2k=0,

令x=°可得昨1+2%；令片°,可得.土竺，

k

所以?—可，8(。，1+2左)

答案第131頁，共22頁

-l-2kk>0

由<<°可得:

l+2k>0

①V"°8的面積s=1土生

（1+2左）=；.[4+l+4yt

2k（k

1

>--4+2j--4yt?（4+2x2）=4,

2k

當(dāng)且僅當(dāng)工=4左即4=1時等號成立，$的最小值為彳,

k2

此時直線’的方程為：-X,八日口X_2'+4=0

—>+2=0即

2

/a

②設(shè)直線”的傾斜角為，則0<a<&,可得P/=—,PB=—

2sinacosa

1sina+cosa

所以尸/=

2smacosasmacosa

71

令，=sina+cosa=JJsin6Z+—

<sin

因為°<Y，可得浮+丁丁ftZ+~<1'

Z=A/2sin

將才=sina+cosa兩邊平方可得：》=（sin?+COSCZ）2=1+2sinacosa'

所以sinacosa=-----

2

答案第141頁，共22頁

…1ccsina+cosatIt2

PA4——PR=----------------=-------=-------=------

所以2sinacosat2-l產(chǎn)—1,1,

2t

因為y=”;在（1，3]上單調(diào)遞增，所以

y=所以;此