高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：不等式與復(fù)數(shù)（解析版）

專題1.4不等式與復(fù)數(shù)

【新高考專用】

題型基礎(chǔ)練

題型一不等式性質(zhì)及其應(yīng)用

1.（2024.青海西寧.一模）下列命題中，正確的是（）

A.若abH0且a<b,貝壯>工B.若a>b,則標(biāo)>爐

ab

C.若Q〉b,c>d,則ac>bdD.若則a+c>b+c

【解題思路】利用特殊值法和不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】對于A選項，令a=—1,6=1,則=<；,所以工〉〈不成立，故A錯誤；

-11ab

對于B選項，令a=—l,b=—2,貝lj（—I/<（―2/，所以。2>匕2不成立，故B錯誤；

對于C選項，令a=-1,6=—2,c=3,d=1,則（一1）x3<（—2）x1,所以ac>bd不成立，故C錯誤；

對于D選項，由a>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D正確.

故選：D.

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）設(shè)x,y為實數(shù)，滿足3Wxy238,4三日三9,則5的最大值為（）

A.27B.24C.12D.32

【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)計算即可求解.

【解答過程】由3Wxy2<8,得!4奈<.

又4w±<9,所以16<弓<81,

yyz

所以2X16<--rxX81,即2〈今427,

8xy2y23y4

3

所以v氤的最大值為27.

故選：A.

3.（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）已知有三個條件：①ac2>be2；②士>-；③小>b2,中能成為a>b的

CC

充分條件的是①.（填序號）

【解題思路】根據(jù)充分條件的判定一一分析即可.

【解答過程】①由川2>可知C2>0,即Q>b,故“加2>尻2”是“Q>產(chǎn)的充分條件;

②當(dāng)c<0時,a<b；

③當(dāng)QV0,bV0時，滿足Q2>￡>2,有a<b；

故②、③不是a>b的充分條件.所以能成為、>b”的充分條件的只有①，

故答案為：①.

4.（24-25高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知實數(shù)％y滿足一1<x+y<4且2<x-y<3,則久-3y的取

值范圍是一[0,7].

【解題思路】由已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】因為實數(shù)％y滿足一1<x+y<4且2<x-y<3,

設(shè)％—3y=m(x+y)+n(x—y),貝“，1+：二g'

得Hi=-1,九=2,故％—3y=—(%+y)+2(%—y),

又因為-4<—(%+y)<1,4<2(%—y)<6,

所以0<一(％+y)+2(%-y)<7.

故答案為：[0,7].

題型二N基本不等式與最值

5.（2024?河北?模擬預(yù)測）己知x>l,y>0,且±+'=1,貝i|4x+y的最小值為（）

「15+5V5

A.13D.---------------C.14D.9+V65

2

【解題思路】由4%+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y]+4,利用基本不等式即可求.

【解答過程[,**%>1,%—1>0>又y>0,且—+工=1,

x-ly

/1]、y4(%—1)

4x+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y](------+-)+4=9-I--------H-------------

>9+2恪.13,

1,1?

------1—=1（_

1）,解得5時等號成立,故4%+y的最小值為13.

（口—-—y-

故選：A.

6.（2024?湖北黃岡?一模）若??1>0,幾>0,且3m+2九—1=0,則三+三的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

【解題思路】利用《+合《+，3爪+2辦結(jié)合基本不等式可求和的最小值.

【解答過程】因為3巾+2n-1=0,所以3巾+2n=l,

所以之+-=(—+-)x1=(—+-)(3m+2n)=9+—+—+4

mnmnmnmn

>13+2p—=13+12=25,

vmxn

當(dāng)且僅當(dāng)浮竽即小小屋時取等號,

所以3+之的最小值為25.

mn

故選：D.

7.(2024?上海奉賢?三模)若a+b=1,則ab有最大值為工.

【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】因為a+b=1,顯然當(dāng)a,b>0時，ab取得最大值，所以a+b=l之

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，所以0<abW；,

4

所以ab有最大值為;.

故答案為：

4

8.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)設(shè)a,bN0且2a+b+2ab=1,則a+6的最小值為，.

【解題思路】根據(jù)已知條件得出(2a+l)(b+1)=2,再應(yīng)用基本不等式求出最小值即可.

【解答過程】因為2a+b+2ab=l,所以(2a+l)(b+1)=2,

因為a,b20,所以a+b=*2a+l)+(b+l)—|22J](2a+l)(b+1)—|=2-|=%

當(dāng)且僅當(dāng)*2a+l)=6+1,即a=，b=0時取等號，所以a+b的最小值為去

故答案為：a

題型三N基本不等式中的恒成立問題

9.(24-25高一上?四川達(dá)州?期中)已知a>°」>0,若不等式看^曙恒成立，則實數(shù)優(yōu)的最大值

為()

A.64B.25C.13D.12

【解題思路】將不等式變形為m<(誓)(a+b),利用基本不等式即可得出答案.

【解答過程】Q>o,Z）>0,則a+b>0,

不等式吃<絲詈恒成立，即血<（空譽）（。+力恒成立,

a+bab\ab/

"4a9bcl

（曙）（a+b）=（*）（a+b）=13+A登13+2-------=25,

ba

當(dāng)且僅當(dāng)千=?即b=|a時等號成立,

所以425,即實數(shù)機(jī)的最大值為25.

故選：B.

10.（24-25高一上?安徽池州?期中）已知久>0,y>0,且無+y=5,若士+——22m+1恒成立，則實

/，x+ly+2

數(shù)m的取值范圍是（）

A.-8,可B.8,喜

仁（-8周D.（—8,4]

【解題思路】由已知條件得出（x+1）+Q+2）=8,將代數(shù)式/+囁與巳［（久+1）+0+2）］相乘，展開

后利用基本不等式求出W+W的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于小的不等式，解之即可.

【解答過程】因為％>0,y>0,且x+y=5,則x+l+y+2=8,

所以'4（W+專）口+D+（y+2）]=沿+4（y+2）+也4卜+24（y+2）x+l9

x+ly+2.x+ly+28

4（y+2）_x+l

當(dāng)且僅當(dāng)（x+l）+（y；2）=8時，即當(dāng)x=I，'=|時，所以士+士的最小值為京

%>0,y>0

因為'—I——22m+1恒成立，所以26+142,解得小<—,

x+ly+2816

所以實數(shù)m的取值范圍是（-8,京］.

故選：B.

11.（24-25高三上?上海?期中）若對任意正實數(shù)a、b,不等式小+4匕22kq/j恒成立，則實數(shù)k的取值范圍

是（一8,4］.

【解題思路】變形可得上《藍(lán)+?，利用基本不等式求得?+r的最小值即可.

【解答過程】因為Q、b為正實數(shù)，所以尤>0,

所以由a2+4b22kab,可得卜式立叱=?+竺，

abba

又"竺22除竺=4,當(dāng)且僅當(dāng)：=竺，即a=2b時取等號，

baybaba

因為對任意正實數(shù)a、b,不等式a?+4b2>kab恒成立，所以k<4,

所以實數(shù)k的取值范圍是（-8,4].

故答案為：（-a>,4].

12.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式登+-i->4對任意%>2恒成立，則正實數(shù)a的取值集合為

ax-2

{a|0Va44}.

【解題思路】分析可得原題意等價于生二2+三24-？對任意x>2恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等

ax-2a

式運算求解.

【解答過程】???竺+吃24,則返衛(wèi)+七24-々

ax-2ax-2a

原題意等價于小二2+—>4-2對任意x>2恒成立,

ax-2a

由a>0,x>2,則^^>0,工>0,

ax-2

可得3+」_22反互二

ax-27ax-2\/a

當(dāng)且僅當(dāng)竺El=工，即％=2+立時取得等號，

ax-22

_8

a-^L,解得0<aW4.

a>0

故正實數(shù)a的取值集合為{a[0<a<4}.

故答案為：{a[0<aW4}.

二次不等式及其參數(shù)問題。|

13.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）不等式|/一3幻<2-2%的解集是（）

A.（-詞B.（-另）C.（-1,洛巧D.（亨-

【解題思路】按照/-3%正負(fù)分類討論取絕對值，運算得解.

【解答過程】當(dāng)％2-3x>0,即％>3或％<0時，

不等式|久2—3%|<2—2支等價于％2—3%<2—2%,即％2—%—2<0,

解得—1V%<2,所以—1<%40；

當(dāng)/—3x<0,即0V%V3時，不等式I——3%|<2—2%等價于不等式3久—%2<2—2x,即/—5x+2>

0,

解得X>手或X<亨，所以0<乂<1.

綜上，不等式|/一3幻<2-2”的解集是（-1,三）.

故選：C.

14.（2024?廣東?一模）已知a,b,cER且a豐0,則“a/+bx+c>0的解集為｛x|x豐1｝”是“a+b+c=0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.

【解答過程】由題意，二次不等式a/+bx+c>0的解集為｛%國41｝,

（a>0

則等價于1-^=1,即a=c>0,b=-2a,即a+b+c=0,

（△=川—4ac=0

當(dāng)a+b+c=0時，不能推出<1=c>0,6=—2a,

所以“a/+bx+c>0的解集為｛x|x豐1｝”是“a+b+c=0”的充分不必要條件，

故選：A.

15.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）若不等式a/+版+1>o的解集是（-；）,則b/十。久十】《的解

集為｛1｝.

【解題思路】由一元二次不等式的解集與方程根的關(guān)系可求出a,b,再根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.

【解答過程】不等式。/+6乂+1〉0的解集是（一31）,

則一1是方程a/+bx+1=0的兩根，

「_三+1=_2_?

所以工一「所以仁:

V2a

由b/+ax+1<0,得/—2%+1<0,

即0-1）2W0,解得x=L

所以b/+3+1W0的解集為｛1｝.

故答案為：口｝.

16.（24-25高一上?天津津南?期中）關(guān)于x的不等式/-（nr+2）久+2mW0恰有三個整數(shù)解，則實數(shù)小的

取值范圍是（―l,0]U[4,5）.

【解題思路】由題可得不等式的解集為[2,巾]或[巾,2],由不等式有3個整數(shù)解可得答案.

【解答過程】%2—(m+2)x+2m<0=>(x—m)(x—2)<0.

若m=2,貝ij(x-2)2<0=>%=2不合題意；

若m>2,不等式解集為[2,巾],因恰有三個整數(shù)解，則三個整數(shù)為2,3,4,貝|4<小<5；

若加<2,不等式解集為[zn,2],因恰有三個整數(shù)解，則三個整數(shù)為0,1,2,則-

故答案為：(-1,0]U[4,5).

題型五N一元二次不等式恒成立、有解問題

17.(24-25高一上?安徽宿州?期中)已知Vxe[0,+8),如+aX+4i0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[—4,4]B.[—4,+oo)

C.(—8,4]D.(—8,—4)U(4,+8)

【解題思路】利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式來求得a的取值范圍.

【解答過程】當(dāng)x=0時，42。恒成立；當(dāng)xe(0,+8)時，aN-(x+;)恒成立，

又x+士22「2=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=即x=2時取等號，

xyXX

所以一(％+￡)——4,所以a2—4.

故選：B.

18.(24-25高一上?廣東佛山?階段練習(xí))若存在％6悖,3],使不等式/一Q%+120成立，則實數(shù)〃取值

范圍是()

A.-2<a<2B.aW-

2

cC.a-<—1°Dc.-2o￡aw/一1°

33

【解題思路】令f(x)=x2-ax+l,將問題等價轉(zhuǎn)化為啟ax。)>0,%e[|,3],然后討論f(x)的最大值，從

而求出a的取值范圍.

2

【解答過程】令/(%)=x-ax+lf對稱軸方程為第=1,

若存在%G住用，使不等式/一a%+120成立,

等價于/(X)maxN0,xe[|,3],

當(dāng)牌弓=：時，即時，/(x)=f(3)=10-3a>0,解得aW多

ZZ4Zmaxj

因為(一8,3n(-00,y］=(-00,y］,所以QG(-00,y］；

當(dāng)|>部即a>澗，/(x)max=解)=；-j>0,解得a<I，

因為G，+8)A(—OO,|］=0,所以aw0；

因為(-8號］u0=(-8,學(xué),所以aE(—8潦］.

故選:C.

19.(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知％2+(2-a)x+4-2a>0對任意％e(一2,+8)恒成立，則實數(shù)Q的

取值范圍為aW2.

【解題思路】變形得到立竽Za在無€(-2,+8)上恒成立，由基本不等式求出立宇=(%+2)+2一

x+2x+2x+2

2>2,得到Q42.

【解答過程】x24-(2—a)x+4—2a>0=>x2+2x+4>a(%+2),

因為x6(-2,+oo),所以問題等價于胃尹>a在xe(一2,+8)上恒成立，

其中年=(X+2)：普+2)+4=Q+2)+瞑一222.+2).e-2=2,

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?2=/-,即％=0時，等號成立，

x+2

故a<2.

故答案為：aW2.

20.(24-25高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式/-(a+2)x+a+5<0在久6(1,4］上有解，

則實數(shù)a的取值范圍是『4,+8).

【解題思路】把關(guān)于x的不等式/-(a+2)x+a+5W。在xC(1,4］上有解的問題，利用分離參數(shù)求最值轉(zhuǎn)

化為a2片竽，在x6(1,4］上有解，再求”￥；：的，%6(1,4］的最小值即可.

【解答過程】要使不等式/一(a+2)x+a+5so在xC(1,4］上有解，

則a>立言生，在xe(1,4］上有解，

令”百二"x6(1,4］,

X-1

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=<，即x=3時等號成立，

故％=3時，tmin=4,

因此要使不等式％2-(a+2)x+a+5<0在久G(1,4］上有解,

則Q>4,

故答案為：［4,+8).

題型六復(fù)數(shù)的四貝福篇

21.(2024?四川?一模)已知i為虛數(shù)單位，則(1+。2+2(1-。的值為()

A.4B.2C.0D.4i

【解題思路】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)運算法則及虛數(shù)單位的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】因為(1+i)2+2(1-i)=1+2i+i2+2-2i=2

故選：B.

22.(2024.安徽安慶.三模)若復(fù)數(shù)z的實部大于0,且2(z+l)=言，貝歸=()

A.l-2iB.2-iC.2+iD.l+2i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等計算即可.

【解答過程】令2=a+bi,且a>0,bER,

貝吃(z+1)=(a—&i)(a+1+hi)=a2+a+62—bi

因為券=3=6—2i

根據(jù)復(fù)數(shù)相等有｛層+:=6,解得：a=Lb=2.

所以z=l+2i.

故選：D.

23.(2。24.上海.模擬預(yù)測)復(fù)數(shù)z=券，則

【解題思路】先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,再利用復(fù)數(shù)的乘法計算即可.

【解答過程：12=震=鑒臀券=曙=今+尚3

3+4i(3+41)(3—41)252525

z-z=(―+—i)(―i)=—4_125_1

\25257125257625625—625-5,

故答案為：

24.(2024.廣東廣州.模擬預(yù)測)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz+2=z—2i,則2=2i.

【解題思路】根據(jù)題意化簡出2=等利用復(fù)數(shù)的除法運算，即可得答案.

【解答過程】由復(fù)數(shù)z滿足iz+2=z—2i,

化簡得Z=^=署甯=(l+i)2=2i.

故答案為：2i.

題型七:復(fù)數(shù)的幾彳可意義

25.（2024?福建?三模）若復(fù)數(shù)z滿足1-z=2i+iz,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，進(jìn)而判斷對應(yīng)點所在象限.

【解答過程】由題設(shè)l-2i=z(l+i)nz=M=^^=->|i,

則對應(yīng)點為（-±-1）在第三象限.

故選：C.

26.（2024.安徽.一模）己知復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=（1+i）2,則復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)斤在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運算法則可求z,進(jìn)而可得共軌復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.

【解答過程】由z(2-i)=(l+i)2,可得z(2—i)=l+2i+i2=2i,

所2i_2i(2+i)_-2+4i24.匚匚［、］—24.

所以2-i(2-i)(2+i)5+所以Z=----1.

所以復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（-1,-令，位于第三象限.

故選：C.

27.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=（a+4）-（a+5）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)a的取

值范圍是（一5,—4）.

【解題思路】由實部和虛部都小于零解不等式組求出即可.

a+4VoMJ曰LA

【解答過程】由題意得,-(a+5)<0,解侍一5<a<-4,

???實數(shù)a的取值范圍是（一5,—4）.

故答案為：（—5,—4）.

28.（2024?江蘇南通?二模）復(fù)數(shù)z=*（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則實數(shù)a的值為

-1.

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)Z,由幾何意義可得Z所對應(yīng)的點的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得答案.

【解答過程】由已知，Z=F=廣廣=?一千i,所以Z所對應(yīng)的點為—笑）,

l+l（l+l）（l-l）22'22，

此點在實軸上，所以-gi=。，解得a=—l.

故答案為：-1.

模擬提升練（19題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,則>&B.若a>b,c>d,則a—d>6—c

a+ca

C.若a<b<0,則a2<ab<b2D.若a>b,則」一>-

a-ba

【解題思路】由不等式的基本性質(zhì)，賦值法逐項判斷即可.

【解答過程】對于A,可以取a=2,b=l,c=-l,此時比<匕所以A錯誤.

a+ca

對于B：*.*c>d,-d>—c,因為a>b,所以a—d>b—c,故B正確；

對于C：取a=—2,力=—1.時，則a2=4,ab=2,b2=1,貝！Ja2>ab>b2,故C錯誤；

對于D：當(dāng)a=1,b=—1時，，7g-=1,則白；〈工，故D錯誤；

a-b2aa-ba

故選：B.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=2葭1一。+1,貝1］怙|=（）

A.V5B.V13C.5D.13

【解題思路】先化簡z的表達(dá)式，然后求得z的模.

【解答過程】z=2i（l-i）+1=2i-2i2+1=3+2i,

所以|z|=5/32+22=V13.

故選：B.

3.（2024.浙江金華?模擬預(yù)測）設(shè)a,b,c的平均數(shù)為M,a與b的平均數(shù)為N,N與c的平均數(shù)為P.若a>b>c,則

（）

A.N<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解題思路】根據(jù)作差法比較大小，首先將要比較的MN,P,用a,6,c表示，后作差變形，運用a>b>c這個條件,

判斷正負(fù)即可比較出大小.

a+b,

【解答過程】根據(jù)題意得,M="等,N=?P=多=可=號空

32224

對于A選項,N-P=半一”產(chǎn)Q+bZ?c,-a>b>c,^a—c>0,b—c>(),>,-a+b—2c>0,^N—

_a+b—2c

P=----->0,N>P.

4

a+b+ca+b+2ca+b-2c

對于B選項,M一P=

3412

a+b—2c

a>b>c,^a—c>0,b—c>0,^a+b—2c>0,^M—P=----------->0,?,?M>P.

t.-i-—vtL.CL+D+CCL+D-CL—D+ZC

對于C選項,M—NT=---------------=-----------,CLbc,c—a<0,c—/)<(),???2c—CL—bV0,M—

326

-a-b+2c

N=<0,M<N.

6

對于D選項,M>P,N>P,：.M+N>2P.

故選：B.

4.（2024.全國.模擬預(yù)測）若（2-i）a=空，其中a,b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則a+歷對應(yīng)點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】依題意可得a+2ai=2+bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a,b,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判

斷即可.

【解答過程】因為（2-i）a=詈，所以（2-i）ai=2+6i,即a+2ai=2+bi,其中a,b是實數(shù),

所以｛；=：，即『=［，

12a=bla=2

則a+bi=2+4i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2,4）,位于第一象限.

故選：A.

5.（2024?云南大理?模擬預(yù)測）已知a20,620且2a+b=1,則々+二:的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.

【解答過程】看+熹=（W+熹）［9+1）+6+劃x1

99(a+b)(a+1)1

+1x-

a+1a+b2

2（1。+2用席）x^=8（當(dāng)且僅當(dāng)a=也6=。時取等號）.

故選:C.

6.（2024?浙江寧波?一模）不等式-ax-1）（%-6）>0對任意%>0恒成立，則小+的最小值為（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2a+2

【解題思路】先由題意得到x=b是產(chǎn)一ax-1=0的一個根，從而得到a,b之間的關(guān)系式為a=b-3消

b

元并利用均值不等式求解即可.

【解答過程】由題意可得，需滿足x=b是/一ax—1=0的一個根，

即人2—ab—1—0,且6>0,所以a—b

b

a2+b2=（b-=2b2+-2>2企—2,

\bJb2-

當(dāng)且僅當(dāng)2爐=A,即匕=平時取等號.

bzY2

所以a?+爐的最小值為2魚-2.

故選：A.

7.（2024.寧夏銀川.一模）下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）個

①ab>0是"0的充要條件

②已知實數(shù)x、y滿足5x>y>0,則含+：的最小值為等

③命題汨x>1,x2-x<0”的否定是“V光>1,x2-x>0,,

④關(guān)于x的不等式/一ax+1<0有解，實數(shù)a的范圍是a<-2或a>2.

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】由充分、必要性定義判斷①；由基本不等式及最值取值條件判斷②；由存在量詞命題的否定:

存在改任意并否定原結(jié)論判斷③；根據(jù)一元二次不等式有解得△>0求參數(shù)范圍判斷④.

【解答過程】①由尤>0，即a,b同號，故￡>0；由￡>0，即a,6同號，故ab>0,

所以ab>0是￡>0的充要條件，正確;

②因為5x>y>。,所以?>。,即涔,

所以言+2=號+5=2V5+1

5555

y(y-0y

當(dāng)且僅當(dāng)1X》，即］=等時等號成立,

<y5.

所以號+;的最小值為智，錯誤;

③由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知命題，

命題Tx>L/一％<0，，的否定是“vx>1,%2-%>0,5,正確;

④由題設(shè)△=a?—4>0,解得。<一2或(1>2,正確.

故選：C.

8.(2024?福建南平.二模)關(guān)于t的實系數(shù)二次不等式產(chǎn)+"—l)t+a<0的解集為(—2,—1),若謨—>=1,

(x,yeR),則2>y的最小值為()

A.|B.V2C.2D.2V2

【解題思路】由已知可得一2,-1是一元二次方程產(chǎn)+/一i)t+a=0的根，進(jìn)而可得卷二%可得2,7=

翳=2'+條可求27的最小值.

【解答過程】因為關(guān)于t的實系數(shù)二次不等式/+(6—l)t+a<0的解集為(―2,—1),

所以一2,-1是一元二次方程/+(b-l)t+a=0的根，

所以尸解得￡一，所以2-4〉=1,所以2，="+1,

(-2x(—1)=a3=4

所以27=llf=2y+±>2Mxl=2,

當(dāng)且僅當(dāng)y=0,x-1時取等號.

所以的最小值為2.

故選：C.

二、多選題

9.(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(1,3),則()

A.z+z=2B.z2—10

C.zz=10D.=5

【解題思路】根據(jù)題意寫出復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，再寫出其共軌復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘除、模長公式，可得答案.

【解答過程】由題意可得z=l+3i,則2=1—3i,

對于A,z+z=2,故A正確；

對于B,z2=(1+3i)(l+3i)=1+3i+3i+9i2=-8+6i10,故B錯誤；

對于C,zz=(l+3i)(l-3i)=l2-⑶y=1+9=10,故C正確；

對于D,z--=(1+3i)--=1+3i-(".(I)=i+3i_i+3ii2

1.L；VZ1-L；1-L19

=1+3i-|(4+2i)=-1+2i,|z-^|=V1T4=V5,故D錯誤；

故選：AC.

10.(2024?廣東佛山?一模)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,貝！j()

A.ab的最小值為18B.小+爐的最小值為36

C.2+押最小值為2D.a+6的最小值為3+4&

【解題思路】對于A,根據(jù)基本不等式可得ab=a+2b+622V^F+6,進(jìn)而求解即可判斷；對于B,根

據(jù)基本不等式可得a?+廿22ab>36,驗證取等條件即可判斷；對于C,由題意可得？+J=1-三，進(jìn)而

結(jié)合ab218即可判斷；對于D,結(jié)合題意可得6=g，a>2,進(jìn)而得到a+b=a-2+2+3,再根據(jù)

a—2a—2

基本不等式求解即可判斷.

【解答過程】對于A,由于ab=a+2b4-6>2、2ab+6,BP(yab—3V2)(VaF+V2)>0,

則>3V2,即ab>18,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=6時等號成立，

所以ab的最小值為18,故A正確；

對于B,由小+fo2>2ab>36,當(dāng)且僅當(dāng)a=b且a=2b時等號成立,

顯然不能同時成立，取不到等號，故B錯誤;

ab-62

對于C,由于ab=a+2b+6,所以有馬+：=石學(xué)—>1-9

abababab183

當(dāng)且僅當(dāng)Q=2b=6時等號成立,

即？+：的最小值為；，故C正確；

ab3

對于D,因為a>0,b=—>0,所以a>2,

a—2

所以a+b=Q+=a—2H■——+3>2/(a—2)?—+3=4\/2+3,

a-2a-2ya-2

當(dāng)且僅當(dāng)a—2=即a=2+2V2,b=1+2魚時等號成立，

a—2

則a+b的最小值為3+4夜，故D正確.

故選：ACD.

11.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)下列說法正確的是()

A.不等式4/-5x+1>0的解集是{%|x>(或x<1]

B.不等式2/一x一6W0的解集是,W-|或％22}

C.若不等式a%2+Qax+21<0恒成立，則a的取值范圍是0

D.若關(guān)于％的不等式2/+p%一3Vo的解集是(41),則p+q的值為一[

【解題思路】對于AB,直接解一元二次不等式即可判斷；對于C,對a分類討論即可判斷；對于D,由一

元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，先求得p,q，然后即可判斷.

【解答過程】對于A,4%2-5%+1>0=(%-l)(4x-1)>00久<(或無>1,故A錯誤；

對于B,2%2-%-6<0?(%-2)(2%+3)<0<=>"|<%<2,故B錯誤；

若不等式a/+Sax+21<0恒成立，

當(dāng)。=0時，21Vo是不可能成立的，

所以只能[,/C，而該不等式組無解，綜上，故C正確；

對于D,由題意得q,1是一元二次方程2/+p%_3=0的兩根，

從而,9義1_2,解得p=i,q=_j

12+p—3=02

而當(dāng)p=l,q=-|時，一元二次不等式2/+x-3<0<=>(x—1)(2%+3)<0=—|<x<1滿足題意，

所以p+q的值為-5故D正確.

故選：CD.

三、填空題

12.(2024.河北.模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=l+i,設(shè)0=2+5若復(fù)數(shù)w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為P,點P關(guān)于

實軸的對稱點為P',則IP'的的值為1.

【解題思路】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算，得到w=9+5,從而有p(|[),p'G，-》，即可求解.

【解答過程】因為Z=l+i,則卬=2+}=l+i++=l+i+?=|+],所以點P(|1),

得到叫|,一》，所以EP|=||-(-|)|=1,

故答案為：1.

13.(2024.廣西?模擬預(yù)測)若不等式a/>/一比一1對％e(-8,0)恒成立，則。的取值范圍是a>：.

【解題思路】通過參數(shù)分離等價轉(zhuǎn)化不等式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值，即可求出。的取值范圍.

【解答過程】由不等式>x2—X—1對汽G(—8,0)恒成立，

可轉(zhuǎn)化為a>e羅對xG(-oo,0)恒成立，即a>(寧匚)

max

當(dāng)％=-2時，一(工+[)2+[有最大值"所以a

2y444

故答案為：a>).

4

14.(2024.全國.模擬預(yù)測)設(shè)max{a,hc}為實數(shù)a,hc中最大的數(shù).若,%>0,y>0,z>0,貝!J

max[xz+-,x+—+4的最小值為2.

Iyyzxz)

【解題思路】設(shè)4=maxkz+二x+N?+斗，分0<zWl,z>l,分類討論代數(shù)式間的大小關(guān)系，利用

Iyyzxz)

基本不等式求得”的最小值，即可求解.

【解答過程】設(shè)4=max|xz++三,1+4,

Iyyzxz)

則42xz+Z>0,A>x+—>0,A>-+->0,

yyzxz

因為/NXZ+—=Z(X+—),當(dāng)0VZ41時，只需考慮/+2>0,A>—+->Of

yyzyzxz

又因為4>x+-->x+->2E，A>--l-->-+l>2P，

yzy-Jyxzx-Jx

兩式相乘得屁>2J|-2J|=4,可得a>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時取等號，

當(dāng)z>1時，0<%4VxzH—，只需考慮42xz4—，A—，

yzyyxz

兩式相乘得屋>(xz+工)(>+工)=x+-+yz+—>2lxX-+2I—Xyz=4,

\y)\xzJxyzyjxyyz

則/>2,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=1時取等號，

因為z>l,故/>2,綜上所述，/的最小值為2.

故答案為：2.

四、解答題

15.(24-25高二上?江蘇無錫?期中)已知復(fù)數(shù)z=bi(bER),會為實數(shù).

1+1

(1)求|z+z2|；

(2)若復(fù)數(shù)(m+z)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，且Z為實系數(shù)方程/+(m2-9)x+4=0的根，求實數(shù)

zn的值.

【解題思路】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)求出b,代入化簡后求復(fù)數(shù)模即可；

(2)由復(fù)數(shù)是實系數(shù)方程的根代入求出小，再結(jié)合所在象限舍去不合適的值.

【解答過程】（1）由2=歷，/為實數(shù)，則署=署器號=等+日為實數(shù)，

所以三=0,6=2,即z=2i,z2=-4,

所以|z+z2|=|-4+2i|=2V5.

（2）由（m+z）2=（m+2i）2=m2-4+4mi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,

所以｛

又z=2i為實系數(shù)方程/+（m2-9）%+4=0的根，

則4+2（m2-9）i-4=0,

所以爪2-9=0,m=±3,

又2,所以m=一3.

16.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出

行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每

次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.

（1）若第一次加油時燃油的價格為5元/升，第二次加油時燃油的價格為4元/升，請計算出每種加油方案的平

均價格（平均價格=總價格/總升數(shù)）；

⑵分別用機(jī)，〃（mn）表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請計算出每種加油方案的平均價格，選

擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？并給出證明.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，由平均價格的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由平均價格的計算公式，代入計算，然后作差，即可得到結(jié)果.

【解答過程】（1）第一種方案，兩次加油共花費30X5+30X4=270元，兩次共加了60升燃油，

所