高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類（解析版）

專題2-7導(dǎo)數(shù)大題求參歸類

目錄

題型01恒成立求參：常規(guī)型.......................................................................1

題型02恒成立求參：三角函數(shù)型..................................................................5

題型03恒成立求參：雙變量型....................................................................10

題型04恒成立求參：整數(shù)型......................................................................13

題型05恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)..............................................................17

/題型06“能”成立求參：常規(guī)型..................................................................21

題型07“能”成立求參：雙變量型................................................................25

題型08“能”成立求參：正余弦型...............................................................29

題型09零點(diǎn)型求參：常規(guī)型.....................................................................31

題型10零點(diǎn)型求參：雙零點(diǎn)型...................................................................35

題型11零點(diǎn)型求參：多零點(diǎn)綜合型...............................................................41

題型12同構(gòu)型求參：xi,X2雙變量同構(gòu)............................................................45

題型13虛設(shè)零點(diǎn)型求參.........................................................................48

高考練場(chǎng).......................................................................................51

熱點(diǎn)題型歸納N

題型01恒成立求參：常規(guī)型

【解題攻略】

廠的超導(dǎo)數(shù)泵廨寥藪范函的麗帝甬石莖———

(1)分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)

I系，求解出參數(shù)范圍；

(2)分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍

］最后取并集.

I

I

麗一而72024.工贏:高三瓶Q丁說彘丁南藪73二環(huán)

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若求。的取值范圍；

(3)若/'㈤VI,求服

【答案】⑴/⑴在［單調(diào)遞減，在卜;單調(diào)遞增

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"Hnx,分類討論。21與0<。<1,結(jié)合(1)中結(jié)論即可得解；

(3)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x),利用導(dǎo)數(shù)分類討論。的取值范圍，結(jié)合/x)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=x"ln尤的定義域?yàn)?。,+8),a>0,

則/'(x)=axFnx+x"T=x"T(“l(fā)nx+l),令/''(x)<0,得。<丫之"；令/''(x)>0,得丫>［；

(二、(_1、

所以八>)在0,e0單調(diào)遞減，在ea.+oo單調(diào)遞增.(2)因?yàn)椋?gt;0,所以/(%)4工等價(jià)于產(chǎn)1lnx?1,

\7\7

記函數(shù)g(x)=x"Tlnx,當(dāng)時(shí)，g(e2)=2e2(<--1)>l,不合題意；

當(dāng)0<a<l時(shí)，由(1)知g(x)4ge?=-_—<1,解得ae(0,l-eT］；

()(l-a)e'」

綜上，。的取值范圍是(0,1-e-1.

(3)記函數(shù)/z(x)=/<%)=x"T(alnx+l),則〃'(x)=x"之［(/一。)1n工+？。一［,

11_2,

若a=—,〃(%)=——x2lnx,令〃'(x)>0,得0<x<l；令"(x)<0,得x>l；

24

〃(X)在(0,1)單調(diào)遞增,在(L+8)單調(diào)遞減，故〃(幻”⑴=1,符合題意；

若aw0,；,當(dāng)e巖〈Ye時(shí)，"(x)<0,則〃(x)在即乜/單調(diào)遞減，

1，\7

(l-2a\/1\C1-2。、

故刀e右>A(1)=1,不合題意；若ae不1,當(dāng)［一介巖時(shí)，〃(x)>0,則〃(x)在l,e"單調(diào)遞增,

\//1\A\U

k71〃\7

'1-2。、

故6e入>"(1)=1,不合題意;若。€口,+⑹，當(dāng)x>l時(shí),h'(x)>0,則〃(x)在(1,+8)單調(diào)遞增,

kJ

故〃(x)>〃⑴=1,不合題意.綜上，a=1.

【典例1-2】(2024上?甘肅武威?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=|j+aln(x+l).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)的最大值；

(2)若/"(x^O在xe[0,+s)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7

【答案】⑴々2)(—,-2]

e

【分析】(1)先求解出/(無)，然后根據(jù)尸(無)的正負(fù)確定出“X)的單調(diào)性，然后可求“X)的最大值；

(2)先求解出/'(無)，令/'(x)的分子部分為g(x),再根據(jù)。與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論：當(dāng)“=0時(shí)，根據(jù)

(1)的結(jié)果進(jìn)行分析；當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)/(x)解析式各部分取值正負(fù)進(jìn)行分析；當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)g(O)的正

負(fù)再進(jìn)行討論，由此求解出結(jié)果.

【詳解】(1)由題可知“X)的定義域?yàn)?-1,+8),當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=2，

因?yàn)?(月=三』，

當(dāng)xw(-1,1)時(shí)，/0(X)>0,當(dāng)xe(l,+ao)時(shí),/,(x)<0,

所以〃x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，在。,+⑹上單調(diào)遞減，

所以/⑴2“⑴二)

9v/7px_9r2-i-9

(2)因?yàn)?(x)=F+aln(x+l),所以/'(x)=-^-----n_T>

Qix?lie

令g(x)=ae*-2x?+2,貝！]g'(x)=ae*-4x,

2

當(dāng)。=0時(shí)，由(1)知/(x)=—>0,不滿足題意；

1mxe

當(dāng)a>0時(shí)，xe[0,+?)),-^>0,?ln(x+l)>0,所以/(x)20恒成立，不滿足題意；

當(dāng)。<0時(shí),g'(x)?O在[0,+功上恒成立,

所以g(x)在[0,+功上單調(diào)遞減,所以g(x)7g(O)=a+2.

①當(dāng)aV-2時(shí)，因?yàn)間(x)4g⑼40,所以/(X)VO,

所以/(無)在[o,+8)上單調(diào)遞減，所以/'(X)4/(0)=0,所以-2滿足題意，

②當(dāng)-2<a<0時(shí)，因?yàn)間(x)在[0,+功上單調(diào)遞減，且g(O)=a+2>O,g(l)=ae<0,

所以存在X。€(0,1),使得g(x°)=o,

當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，g(x)>0,即

當(dāng)xe(%,+oo)時(shí)，g(x)<0,gp/,(x)<0,

所以/(無)在(0戶。)上單調(diào)遞增，在(%,+?))上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(0)=0,所以當(dāng)尤e(O,x。)時(shí)，/(x)>0,不滿足題意，

綜上所述，as(-oo,-2].

【變式1-1](2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(同=三竺.

⑴若/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若/'(x)2sinx對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)18,-"|(2)[-l,+CO)

【分析】(1)先求/'(X),然后將問題轉(zhuǎn)化為"x2-(a+2)x+aW0對(duì)XC(-2,-1)恒成立”，然后通過分離參數(shù)

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解出。的取值范圍；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為"e，sinx-%?+uxW0對(duì)尤e(-a)⑼恒成立"，然后構(gòu)造函數(shù)

g(x)=e1sinx-x2+?x,x6(-?,0],通過多次求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的過程求解出a的取值范圍.

/、(2x-a)eJ-(x"-axje'%2—(a+2}x+a、

【詳解】(1)因?yàn)?(無)=-------4------=------—,又/(無)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，

⑹)e

所以/'(x)20對(duì)xe(-2,-l)恒成立,所以X?-(。+2)「+。40對(duì)」€(-2,-4)恒成立,

所以aVx-1-一匚對(duì)xe(-2,-1)恒成立；令f=x-1e(-3，-2),且〉在(-3,-2)上單調(diào)遞增，

x-1t

所以[x-1---1■]>-3-々=一。，所以即0的取值范圍是；

Ix-\)-333I3」

(2)因?yàn)?'(x)*inx對(duì)xe(-t?,0]恒成立，所以e"sinx-/+axV0對(duì)xe(—0,0,亙成立，

設(shè)g(x)=e*sinx-x2+ax,xe(-oo,0],所以g'(x)=ex(sinx+cosx)-2x+a,令=e*(sinx+cosx)-2x+a,

所以(x)=ex(cosx-sinx+sinx+cos無)-2=2ercosx-2,

因?yàn)閤e(-a),0],所以e*e(0,l],cosxe[-1,1],所以2e*cosx-2V2-2=0,

所以"(x)40,所以%(x)在(-oo,0]上單調(diào)遞減，所以〃(x)N/z(O)=a+l,

當(dāng)a+lNO時(shí),即aZT,h(x)=g'[x)>Q,所以g(x)在(-oo,0]上單調(diào)遞增，

所以g(x)Vg(O)=O,滿足條件；當(dāng)a+l<0時(shí)，即0<-1,/?(0)=?+1<0,且X-YO時(shí)，〃(x)f+co,

所以〃(無)在(Y?,0]上有唯一零點(diǎn)，記為飛,貝lJxe(fo,Xo),/z(x)>O,xe(X0,O),/z(x)<O,

,,

gpxe(-oo,x0),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，xe(xo,O),g(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

故當(dāng)x?x0,0)時(shí),g(x)>g(O)=O,與題意矛盾，綜上所述，。的取值范圍是[T+s).

【變式1-2】(2024上?山西?高三期末)已知函數(shù)/'(x)=-2x+21nx,m>2.

⑴求證：函數(shù)/(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度b-a的取值范圍；

⑵當(dāng)x21時(shí)，/(x)V2xei-4尤恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析，1,1](2)[2,4]

【分析】(1)先求尸(x),然后分析/'(x)=o的根，由此完成證明；利用韋達(dá)定理表示出b-。結(jié)合機(jī)的范

圍求解出其范圍；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為“根(尤-l)2+2x+21nx-2xei40在［L+co)上恒成立"，建立函數(shù)

2

F(x)=m(x-l)+2r+211K-2re,通過多次求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的過程求解出m的取值范圍.

【詳解】(1)r(x)=2m(%-1)-2+-=W-(2ot+2)x+2,令“(x)=2加/-(2加+2)x+2,

因?yàn)椤ǎ?2,二次函數(shù)對(duì)稱軸力(0)=2>0,>A=(2w+2)2-4x2mx2=(2m-2)2>0

4m2m

恒成立，

所以〃(x)=0恒有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且這兩個(gè)正實(shí)根分別為。力優(yōu)>a),a+6='擔(dān)，ab=-,

mm

所以/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間是(a,6),所以單調(diào)遞減區(qū)間(a,6)的長(zhǎng)度

b—a=J(b+a］1-4ab=jl—二1―-,

v\mmm

因?yàn)榧?2,所以b-a的取值范圍為；/；

(2)由題意加-2%+21nx<2xe"T-4x在［1,+s)上恒成立，即m(x-l)2+2x+21nx-2xex-1<0在［1,+⑹

上恒成立，

2

令/(%)=加9+2x+21nr-2xex-1,貝！Jk(x)=2加(％-1)+2+—(2x+2)e>,令

2

G(x)=2m(x-l)+2d---(2x+2)e”一，

794

貝lJG(x)=2加—---(2x+4)ex-1,令H(x)=2m—---(2x+4)ex-1,則牙⑴=方-(2%+6產(chǎn),令

4

\=--(2x+6)e"T,

x

io

則"(x)=-5-(2x+8)e\當(dāng)X21時(shí)，”(x)<0,所以M(x)在［1,+s)上單調(diào)遞減，

M(x)<M(l)=4-8=-4<0,

所以"(x)在［1,+s)上單調(diào)遞減，⑴=2〃7-2-6=2〃.8,

當(dāng)2〃L840,即用44時(shí)，G'(x)=〃(x)W0,所以G(x)=b'(x)在［1,+s)上單調(diào)遞減，尸'(x)4產(chǎn)⑴=0,

所以尸(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，尸(x)4/⑴=0成立，所以24小44；

當(dāng)2加-8>0,即加>4,單調(diào)遞減函數(shù)”(x)在xf+8時(shí)，且H⑴=2加-8>0,

所以〃(x)=0在［1,+oo)上有根，記為看,在［1,天)上，〃(尤)>0,在上〃(x)<0,

所以尸'(x)在［1,工0)上單調(diào)遞增，在(%,+00)上單調(diào)遞減，且尸")=0,函數(shù)尸'(X)在X->+00時(shí)，尸'(X)-00,

因此尸'(x)=0在(1,+⑹上有解，記為4，在(1,不)上，F(xiàn)'(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增，而尸⑴=0,

因此在(1,占)上，尸(無)>尸⑴=0,從而在［1,小)上尸(x)V0不恒成立，

綜上所述，加的取值范圍是［2,4］.

【變式1-3］(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2x?-alnx-1,aeR.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意的xe(0,+s),不等式〃x+l)>(x+l)2+工一二恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析⑵(-*2］

【分析】(1)第一步：求函數(shù)/(X)的定義域與導(dǎo)函數(shù)/'(X),第二步：分“W0,。>0分別討論了‘(X)的正負(fù),

得函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)第一步：轉(zhuǎn)化不等式，第二步：構(gòu)造新函數(shù)g(x)并求導(dǎo)，第三步：分。>0分別討論g(x)的單

調(diào)性，求出其最值，第四步：總結(jié)，得。的取值范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+勾1,廣。)=4工-q=竺?巴，

XX

當(dāng)a<0時(shí)，/'(x)>0J(x)在區(qū)間(0,+00)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，由((無)>0,得x>五,由/''(x)<0,得o<x〈正，

22

??.〃x)在區(qū)間［,?］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［等,+m］上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間;

Cr\(r\

當(dāng)。>0時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為。，咚,單調(diào)遞增區(qū)間為號(hào),+6.

l2Jl2)

(2)當(dāng)xe(0,+8)時(shí)/(x+l)>(x+l)2+^——^恒成立，等價(jià)于當(dāng)xe(0,+s)時(shí),

x+1e

+2xH------ciln(x+1)--------->0恒成立.

exx+1

設(shè)g(x)=x2+2xH---dtln(x+1)--------，則當(dāng)％w(0,+8)時(shí)，g(x)>0恒成立，

ex+1

g<x)=2x+2-------—+——---.

exx+1(x+1)

①當(dāng)a?0時(shí)，由x〉0可得2x+2>2,0<—<1,/.2x+2-—>0,又-----+-----y>0,/.g(x)>0,

excxx+1(x+1)

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,而g(0)=0,.?.當(dāng)xe(0,+oo)時(shí).g(x)>0恒成立.

②當(dāng)。>。時(shí),令垢)=g'(x),則如)=2+：+贏-七=2卜人〉](九.

門>0,。>°，,2卜&]>0,且卜表>0,

因此〃'(x)>0,即g'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，.?.當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>g'(0)=2-a.

當(dāng)2-aNO,即0<aW2時(shí)，g'(0)20,.,.當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,，g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增.

g(0)=0,.,.當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，g(x)>0恒成立.

當(dāng)2—a<0,即a>2時(shí)，g,(0)=2-a<0,gr(a-l)=2a-l--+二.

ea

?：a>2,2a—1>1,而工―<1,因2a-1——>0,故g'(a-1)>0,

ee

而g'(x)在(0,+co)單調(diào)遞增，，當(dāng)工武。,/)時(shí)，g'(無)<0,

.?.g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，從而當(dāng)無e(0,尤0)時(shí)，g(x)<g(0)=0,不符合題意.

綜上所述，?<2,即實(shí)數(shù)”的取值范圍是(--2].

題型02恒成立求參：三角函數(shù)型

【解題攻略】

三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求參：

1.正余弦的有界性

2.三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：x2sinx(xN0).

【典例1-1】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(#=蓼，g(x)=?cosx.

(1)求證：時(shí)，/(X)<1；

(2)當(dāng)曰與。］］。,?時(shí)，/(x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍；

(3)當(dāng)時(shí)，［〃x)［2>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴證明見詳解⑵(，》』⑶(一8』

【分析】(1)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為sinx<x,令夕(x)=sinx-x,利用導(dǎo)數(shù)求得<p(x)的單調(diào)性，結(jié)合夕(x)<0(0),

即可得證；

⑵令/(x)=/(x)-g(x)=smxaxcosX,轉(zhuǎn)化為尸⑺>0在(0,?上恒成立，令H(x)=sinx-axcosx>0

在(%)上恒成立，求得“'(x)=(l-a)cosx+axsinx,分aWO、0<aWl和a>l,三種情況討論，即可求

解；

(3)由(1)(2),令G(x)=［/(x)T-g(x)=si/xq/cosx,轉(zhuǎn)化為G(x)>0在，鼻上恒成立，令

//卜)=$苗2苫-辦285苫>0在(0,3上恒成立.分。<0、0<a41和a>l,三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性和最值，即可求解.

【詳解】⑴證明：x<0,3時(shí)，求證/(x)<l等價(jià)于求證sinx<x,

令°(x)=sinx-x,貝！|"'(x)=cosx-lV0,故°(x)在上單調(diào)遞減，故夕@)<夕⑼=0,不等式成立.

sinx-axcosx

(2)解:令尸(x)=〃x)-g(x)=

x

因?yàn)槭?r)=尸⑺，所以題設(shè)等價(jià)于尸(x)>0在上恒成立，即H(x)=sinx-axcosx>0在(0身上恒

成立，

可得"'(x)=(l-a)cosx+arsinx,且a(0)=0,H'(0)=l-a.

(i)當(dāng)aVO時(shí)，在(。,力上sinx>0,-axcosx>0,故7f(x)>0,所以尸(x)>0,符合題意；

(ii)當(dāng)0<aVl時(shí)，〃'(x)=(l-a)cosx+辦sinNO在由上恒成立，故〃(無)在詞上單調(diào)遞增，故

H(x)>H(0)=0,所以尸(x)>0,符合題意；

(iii)當(dāng)“>1時(shí)，〃⑼=l-a<0,"'U=券>°，

故必存在/(。，鼻，使得“'(x°)=0,且當(dāng)無e(0,x°)時(shí)，*(x)<0,

故》(無)在(0,x0)上單調(diào)遞減，故在(0,%)上8(x)<8(0)=0,不符合題意.

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-85.

(3)解：由(1)知：sinx<x在(0,2上恒成立.

由(2)知：當(dāng)4=1時(shí)，/(x)>g(x),即包把〉(：05%=>$111%>%(：05%在(0,3上恒成立.

人\\~|2sinxsinx-axcosx

令G(x)=[/(%)」_g(z%x)=^_—acosx=--------p----------，

因?yàn)镚(-x)=G(x),所以題設(shè)等價(jià)于G(x)〉0在(0,野上恒成立，

即：〃(x)=sin2x-QX2cosx>0在(。金)上恒成立.

(i)當(dāng)aWO時(shí)，在上sin?x〉0,-ax2cosx>0,故〃卜)>0,所以G(x)>0,符合題意;

(ii)當(dāng)0<Q?1時(shí)，〃(%)=sin2x-ax2cosx>sin2x-x2cosx,

4"r(x)=sin2x-x2cosx,xG[^9~2

則rr(x)=2sinxcosx-2xcosx+x2sinx>2sinxcosx-2sinx+x2sinx

=|^x2-2(l-cosx)Jsinx=^x2-4sin2^-jsinx=4-sin2sinx>0,

所以r(x)在(og)上單調(diào)遞增，所以r(x)>r(O)=O,故火力>0,所以G(x)>0,

符合題意；

(iii)當(dāng)°>1時(shí)，A(x)=sin2x-ox2cosx<x2-ax2cosx=x2(1-acosx),

當(dāng)cosxe(，,lj旦xe(。，1')時(shí)，1-acosx<0,故〃(x)<x?-ox?c°sx=x?(1-acosx)<0,不符合題意.

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一叫1].

【典例1-2】(2023上?全國(guó)?高三期末)已知函數(shù)/(x)=e*sinx-2尤.

(1)求曲線了=〃尤)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求/(x)在區(qū)間0胃上的最大值；

⑶設(shè)實(shí)數(shù)a使得/(x)+x>ae*對(duì)xeR恒成立，求a的最大整數(shù)值.

【答案】(l)x+〉=0⑵77一兀⑶-2

【分析】(1)求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出/'(0),即可得出切線方程;

(2)求出函數(shù)在區(qū)間0胃上的單調(diào)性，求出最值即可;

Yy

(3)依題意，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為a<sinx-=在R恒成立，構(gòu)造函數(shù)夕(尤戶siiw-三，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

的單調(diào)性和最小值的范圍，進(jìn)而求解.

【詳解】(1)f(x)=exsinx-2x,f'(x)=ex(sinx+cosx)-2,

.-./(0)=-l,/(0)=0,所求切線方程為>-0=-(》-0),即x+y=o,

所以切線方程為x+y=0.

ITjr

(2)令g(x)=/<x)=e"(sinx+cosx)—2,則g<x)=2e"cosx,當(dāng)1￡0,-時(shí)，gr(x)>0,g(x)在0,-上單調(diào)

遞增.

X-.-g(0)=-l<0,g[3=VF-2>0,使得8(%)=0.

.,.當(dāng)丁€(0,天)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe[xo，|^時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

乂/(0)=0,/W=AF-K>0,/(x)max=/M=V7-K,

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間上的最大值為J/一兀.(3)不等式〃x)+x>ae，恒成立等價(jià)于"Sinr-i恒成

立，

YV

令夕(x)=sinx——-,當(dāng)時(shí)，一一->0,°(x)>—1恒成立，

Xy—1

當(dāng)x>0時(shí)，令〃(x)二——,則〃'(%)=—1,.,?當(dāng)0<x<1時(shí)，h\x)<0,%(%)單調(diào)遞減;

ee

當(dāng)X〉1時(shí)，h\x)>0,〃(%)單調(diào)遞增，〃(X)min=/1)=-,，

e

當(dāng)1.0+時(shí)，0-；當(dāng)％f+oo時(shí)，/幻—0-，./(x)的值域?yàn)椤?/p>

3兀

11V，一2<-1一:<Wmin<-1，所以4的最大整數(shù)

Qsin%i[-1,1],夕(1)=sinl——>――,)=-1—y-<-b

ee-f

e2

值為2

【變式1-1］(2023上?湖北省直轄縣級(jí)單位?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=*-2"(QERMWO).

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

⑵若不等式/(x)之sinx-cosx+2-2QX對(duì)任意x>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(X)在區(qū)間［-8,墨］上單調(diào)遞減，在區(qū)間1號(hào),+e)上單調(diào)遞增(2)［1,+⑹

【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

(2)由題意，構(gòu)造函數(shù)％(x)=esinx+cosx-2,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，多次構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)

研究單調(diào)性以及特殊點(diǎn)，即可求解.

【詳解】⑴f(x)=e熱一2"，則/(x)=ae--2a=a(e--2),

當(dāng)。>0時(shí)，令/''(x)<0,解得》<區(qū)，令#(x)〉0,解得也，

aa

所以“X)在區(qū)間(-j邛］上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令/⑺<0,解得x<@2；令H(x)〉0,解得

aa

所以/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上，/(X)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間［T，+")上單調(diào)遞增.

(2)由題意得e*2sinx-cosx+2對(duì)任意xNO恒成立，令才(x)=e"'—sinx+cosx-2,則

h'(x)=asax-cosx-sinx.

若xNO,當(dāng)aZl時(shí)，e"2e*-cosx-sinx,令"(x)=x-siwc(xW0),則“'(x)=1-COST20,

所以K(X)在區(qū)間［0,+司上單調(diào)遞增，且W(x)>w(0)=0,

RPx>sinx,令丫(〉)=］-丫-1(420),則M(x)=e*-120,

所以v(x)在區(qū)間［0,+司上單調(diào)遞增，且v(x)"(0)=0,即e，2x+l,

所以當(dāng)x20時(shí),e1>x+l>sinx+l,則/z'(x)2e"-cosx-sinxNl-cosxN0,

所以M尤)在區(qū)間［0,+e)上單調(diào)遞增，且力(x)N「(O)=O,即以會(huì)2-(:。航+2恒成立.

當(dāng)a<1時(shí)，A'(0)=a-l<0,存在實(shí)數(shù)%>0,使得Vxe(0,尤0),均有〃'(x)<0,

則〃(x)在區(qū)間(0,無。)上單調(diào)遞減，且刈力<〃(0)=0,不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,內(nèi)).

【變式1-2](2023上?甘肅定西?高三甘肅省臨洗中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)〃x)=e'-sg-cosxj。)為

其導(dǎo)函數(shù).

⑴求“X)在[-⑥+⑹上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若/'(x)2"+2-2cosMaeR)對(duì)Vxe[-兀,+co)恒成立，求a的值.

【答案】(1)2(2)2

【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)有界性分段討論/(X)的符號(hào)，由此得函數(shù)"X)的單調(diào)性

與極值；

(2)先探求恒成立的必要條件，再證明其充分性.充分性的證明先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,

結(jié)合(1)結(jié)論可證.

【詳解】(1)/'(X)=e*-cosx+sinx=e*+5^~sin卜-

①當(dāng)一兀也時(shí)，--<x--<-n,所以血sin[x-￡]>0,d>0,則f'(x)>0,

444<4；

所以在「-兀兀3、)單調(diào)遞增；

②當(dāng)一型Vx〈一乙時(shí)，則一兀Wx—四<_至，

4244

設(shè)g(x)=f\x)=ex+乃sin[一：)，則g'W=e'+6"cos[-,

且e，<l,-V2<V2cos^-^<-l,則gU)<0,所以g(x)在一：匹一駕單調(diào)遞減，

又g(-(j=eJ>0,g[-^]=e2-1<0,故存在％?無,使得86)=0,即/'(/)=0,

且在兀/)上，f'(x0)>0,在上，/'(x)<0,

所以/(X)在上單調(diào)遞增，在[x。,-])上單調(diào)遞減；

③當(dāng)一"vxvO時(shí)，則-電■Wx-四<-巴，所以—J^sin(x--1,又e*<l,

2444I

所以/'(x)<0,故/(x)在-；,oj上單調(diào)遞減；

④當(dāng)04x<巴時(shí)，則一百4x-巴<0,所以-1(收sin(x-；]<0,又e—l,

所以/G)20,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以/(x)在0,：)上單調(diào)遞增；

⑤當(dāng)x2工時(shí)，貝!Jx—烏20,ex>e^>Ve>V2,V2sin|x-—|>-V2,

44<4J

所以/''(x)>0,/(x)在上單調(diào)遞增；

綜上所述，/(X)在[-兀/)上單調(diào)遞增，在(％,0)上單調(diào)遞減，在[0,+8)上單調(diào)遞增.

所以/W在[-兀,+8)上僅有2個(gè)極值點(diǎn).

(2)當(dāng)工之一兀時(shí)，/'(X)Nax+2—2cosx(。wB恒成立，即d+sinx+cosx-QX-2〉0(QE的.

令0(x)=eX+cosx+sinx—ax—2,若°(x)N0對(duì)VXE[—兀,+oo)恒成立，由°(0)=e°+cos0—2=0,

夕0)>0=9(0),

所以當(dāng)x=0時(shí)，p(x)取得最小值.由(p\x)=ev-sinx+cosx-a,

則x=0為函數(shù)儀幻的極小值點(diǎn)，故,'(0)=2=0,解得q=2.

下面證明：當(dāng)。=2時(shí)，x=0為函數(shù)0(x)的最小值點(diǎn)，(p\x)=er-sinx+cosJC-2,

令=e*-sinx+cosx-2,〃㈤=e*-cosx-sinx=/(x),

由(1)可知，/(x)在[-兀內(nèi)))上單調(diào)遞增，在(％,0)上單調(diào)遞減，在[0,+8)上單調(diào)遞增.

又/(-兀)=b+1>0,且"0)=0,

所以當(dāng)X?-兀時(shí)，〃X)的最小值為"0)=0,則/(x)20恒成立，即〃(x)20在卜5+⑹上恒成立,

所以h{x)即0(尤)在[-71,+?)上單調(diào)遞增,又“(0)=0,

所以當(dāng)一兀4x<0時(shí)，^(%)<0,當(dāng)x>0時(shí)，(p{x}>0,

所以函數(shù)0(x)在『私0)單調(diào)遞減，在(。,+紇)上單調(diào)遞增，

所以夕(x)N夕(0)=0,即e*+sinx+cosx-2x-220恒成立，符合題意.綜上所述，a=2.

題型03恒成立求參：雙變量型

【解題攻略】

一般地，已知函數(shù)y=/(x)，xe[a，H,V=g(x),xe[c,d]

⑴若也目。，引，總有/'(xJvgH)成立，故/(x)1mx<g⑴1n;

⑵若％e[a,b],3x2&[c,d],有/(占)<g&)成立，故"力皿vg(x)皿;

(3)若王月。,司,Vx閆C,d],有/(xj<g(x2)成立，故/(x)min<g(尤)min；

(4)若玉1na,可,3x2e[c,d],有/(再)<g(xj成立,故/⑺1nhi<g(x)1Mx.

彳五祠一17172023加7|孽耘忍獲植而'福而T三面函藪冗?工京二；(星河二

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=(Y-l)e*-當(dāng)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉玉<工2)時(shí)，總有

值(%)2(2+xj(eJx；-3)成立，求實(shí)數(shù)f的值.

【答案】⑴xe(O,+a>)單調(diào)遞增,》?-<?,0)單調(diào)遞減(2)/=-1

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/‘(X),由/'(x)>0得增區(qū)間，由r(x)<0得減區(qū)間；

(2)求出g'(x),由g'(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根Xj,X2(X]<X2),結(jié)合判別式韋達(dá)定理得。>-2且再+%=-2,所

以西不等式中消去。,占得關(guān)于％J的不等式，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論.

【詳解】(1)0=1時(shí)，函數(shù)〃x)=e=x的定義域?yàn)镽J'a)=e-L由/'(x)=0解得x=0.

當(dāng)xe(-叫0)時(shí)，/(x)<0J(x)在尤e(-哈0)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，((x)>0J(x)在xe(0,+oo)單調(diào)遞增.

(2)g(x)=(x2-a-l)e\則g<x)=(x2+2x-a-l)e”.

根據(jù)題意，得方程/+2工-0-1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根尤戶12(為<々)，

/.A>0,即〃〉一2且再+工2=—2,所以再<—1<%2.

X22X2

由tg(x2)>(2+x1)(e+x2-3),可得“勾_QT)e“2>(2+x1)(e+W—3)又％;-a-l=-2x2,2+xi=-x2

X2

???總有一2及2?巧>(~x2)(e+%2-3)=>/忤叱一佇2+%2_3Jj<0對(duì)聲>一1恒成立.

①當(dāng)％2=0時(shí)，起卜作用—(科+考—3)](0恒成立，此時(shí)看cR；

②當(dāng)了2?-1,0)時(shí)，2代一(戶+寸一3”0成立，即2出戶+竿一3

令函數(shù)〃(尤2)=e"+：j3,則”伍)=_xj鼠聲+3=+>：2-3)>o在馬?-1,0)恒成立

故〃(工2)在％2￡(—1，°)單調(diào)遞增，所以2%2%(。)=—2=/2—1.

③當(dāng)苫240,+動(dòng)時(shí)，2代-(e*+%2-3)W0成立，即

由函數(shù)〃(尤2)=°"+：：―3,則〃⑺//+*「3)=0,解得％=3

2o

當(dāng)工2?(0,3)時(shí)，〃(3)>0，力(工2)單調(diào)遞增；當(dāng)％e(3,+co)時(shí)，單調(diào)遞減又分(3)=1+三6,

當(dāng)/f+oo時(shí)，〃卜?)—>1；.所以2lV〃(0)=—2=>ZV—1.綜上所述，Z=-1.

【典例1-2】(2024上?四川成都?高三成都七中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=ex-依，其中aeR.

⑴討論函數(shù)/*)在口,+◎上的極值；

(2)若函數(shù)有兩零點(diǎn)玉,%(不<%),且滿足華學(xué)>1,求正實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析⑵口,+8)

【分析】(1)求出/'(x)=e「a,分a<e、a>e討論，可得答案；

X

(2)由零點(diǎn)存在定理可知0<玉<111。<尤2,而題設(shè)e』"X|=e*-3=0,消去?？傻靡籢2==選，令

e1再

^=->1.且lnt=X2-王，求出巧，不將其代入三當(dāng)>1得/⑺=空嗎a>0,再利用導(dǎo)數(shù)分

/1+AZ/+1

421、0<4<1討論可得答案..

【詳解】(1)由/(x)=e"一?知/)x)=e、-a,

1)當(dāng)時(shí)，且有、￡工位)，/'(幻之0,/(%)單調(diào)遞增，故無極值；

2)當(dāng)Q〉e時(shí)，有xw(l,lnq),f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,而xw(lna,+8),f\x)>0,/(%)單增,故

/(%)極小值=/(lna)=""lna,/(、)無極大值.綜上，當(dāng)q?e時(shí)，/⑴無極值；

當(dāng)〃〉e時(shí)，/(%)極小值為Q-lna,/(%)無極大值；

(2)由(1)可知當(dāng)Q>e時(shí)，f(lna)=a(l-1na)<0,/(0)=1>0,且xf+―/(x)f+oo,

由零點(diǎn)存在定理可知0<%<出。<工2，而題設(shè)可知。-3=e、2-〃/=0，消去〃可得

e%2/人，x?tintInt

~~~=e-=,令/=>1,且In/=%—石，即/=---，%-----，

e'X]x1t-1t-\

將其代入>1,整理可令得?、?In"?),T)>°，而尸'(。=1_(2+D：

1)當(dāng)八1時(shí)，且止(1,+8),有/⑺>0,小。單調(diào)遞增，尸(。>尸(1)=0,滿足題設(shè)；

2)當(dāng)0</<1時(shí)，且有尸⑷<0,尸(。單調(diào)遞減，/⑺〈尸(1)=0,不滿足題設(shè)；

綜上，4的取值范圍為□,+◎.

【變式1-1](2023?上海松江??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=or-alnx-g.

X

(1)若。=0,求函數(shù)y=〃x)的極值點(diǎn)；

(2)若不等式〃x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶若函數(shù)了=/(尤)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)X]、巧、了3，且/(占)+/■(%)+/(三)<35-6,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)l(2)a<e(3)e<a<e2

【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的極值點(diǎn).

(2)由/(x)<0分離常數(shù)。，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得。的取值范圍.

(3)首先根據(jù)/(x)有3個(gè)不同的極值點(diǎn)求得a的一個(gè)范圍，然后化簡(jiǎn)不等式/(占)+/(%)+/(%)43e?-e,

利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)°=0時(shí)，=,

XJC

當(dāng)0<x<l時(shí)，/幻)>0,X>1時(shí)，r(x)<0,所以函數(shù)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，在區(qū)間。,+⑹單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在x=l處取得極大值，函數(shù)的極值點(diǎn)為1；

(2)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+8),不等式/(x)<0恒成立，即a(x-lnx)〈.在(。,+⑹上恒成立，

1Y_1

記〃(x)=x-Inx,則/(%)=1——=----,得到MX)在區(qū)間(0,1)上〃'(％)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

xx

在。,+8)上〃'(％)>0,〃(%)單調(diào)遞增,則〃⑴二="1)=1,即。%)之1在區(qū)間(0,+8)上恒成立,

分離變量知：〃<丁€—=8(外在(0,+8)上恒成立，則?！唇ば?，

x-xInx

ex(x2-xlnx)-ex(2x-lnx-l)ex-xlnx-2x+lnx+l)

g(x)—7~2i\2-7T'

lx-xlnxI(x-xInxI

='［，［)-(x”nx］=e'(二,由前面可知，當(dāng).(。/川化+⑹時(shí)，"(x)=x-lnx>1恒

成立，BPx-l-ln