高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：分布列概率中的三大最值問(wèn)題（三大題型）

微考點(diǎn)7-1分布列概率中的三大最值問(wèn)題(三大題型)

■題型解密J

題型一：二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求最值

①當(dāng)夕給定時(shí)，可得到函數(shù)/(左)=。,：/(1-2)"工左=0,1,2L〃，這個(gè)是數(shù)列的最值問(wèn)題.

Pk=C；pR-p)i=(n-k+T)p=:(1一—)+("+1)夕一左=J+(〃+1)…

Pi-—k(l-p)—k(l-p)—k(l-p),

分析：當(dāng)左<(〃+1)2時(shí)，Pk>Pk_i，隨左值的增加而增加；當(dāng)左〉(〃+1)2時(shí)，

pk<pk_x,p/隨左值的增加而減少.如果(〃+1)夕為正整數(shù)，當(dāng)左=(〃+1)。時(shí)，Pk=Pw此時(shí)這兩項(xiàng)

概率均為最大值.如果(〃+1)?為非整數(shù)，而左取(〃+1)夕的整數(shù)部分，則外是唯一的最大值.

注：在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量上等于期望時(shí)，概率最大.

【精選例題】

【例1】某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,若X?以1108),若尸(X=外最大，貝%=()

A.7B.8C.9D.10

【例2】(多選題)下列選項(xiàng)中正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布'I")，則D(2X)=5

B.口袋中有大小相同的7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量

E(X)=L

x,則X的數(shù)學(xué)期望5

C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，所得的樣本空間為°={123,4,5,6},令事件"={2,3,4},事件

8=[2},則事件A與事件B相互獨(dú)立

D.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8,則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次

【例3】高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān).為了解高中生的數(shù)學(xué)閱

讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，在問(wèn)卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)如

下：

時(shí)間（X小時(shí)/周）00<x<0.50.5<%<1x>\

人數(shù)20403010

（1）為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取

10名學(xué)生，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于

0.5小時(shí)的概率；

（2）用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用“'=后）表示這10名學(xué)生中恰有

收e電04人W⑼名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在（仇詞小時(shí)的概率，求尸（'=人）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的左的值.

【題型專練】

1.（多選題）某同學(xué)共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8,假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立，記他投籃命中

的次數(shù)為隨機(jī)變量X,下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.*?8（12,0.8）B.E（X）=9.6c_.0（2^）=3.84D.該同學(xué)投籃最有可能命中9次

2.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布I則使尸（*=外取得最大值時(shí)，k=

3.已知隨機(jī)變量X~B（6,0.8）,若尸（X=k）最大,則。（a+1）=.

4.一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端.某種植戶對(duì)一塊地的〃個(gè)坑進(jìn)

行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為萬(wàn)，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而

言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.則當(dāng)“=時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)

播種的概率最大，最大概率為.

5.小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措

施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買(mǎi)

量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

123456購(gòu)買(mǎi)量/kg

⑴從小區(qū)超市某天購(gòu)買(mǎi)甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購(gòu)買(mǎi)量在口，6](單位：kg

)的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在[3,司(單位：kg)的戶數(shù)為4

,求4的分布列和期望；

(2)將某戶某天購(gòu)買(mǎi)甲類生活物資的量與平均購(gòu)買(mǎi)量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買(mǎi)量不少于06kg時(shí)，則該居民戶

稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到左戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求人的值.

題型二：二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求最值

當(dāng)上給定時(shí)，可得到函數(shù)=2)"”,夕e(0,l),這個(gè)是函數(shù)的最值問(wèn)題，

這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).

分析：/'(2)=C：(1-P)"』一p\n-左)(1—pL]

=C小(1-p)"+下(1—p)-(〃一左)p]=Cfpi(1—p),e(k-np).

“k

當(dāng)左=1,2,…,〃—1時(shí)，由于當(dāng)〃<—時(shí)，/'(p)>0,/(p)單調(diào)遞增，當(dāng)夕〉一時(shí)，/'(p)<0,f(p)

nn

單調(diào)遞減，故當(dāng)夕="時(shí)，/(0)取得最大值，/(p)111ax=/(").又當(dāng)p-0J(p)fl，當(dāng)夕-0時(shí)，

nn

/(p)f0,從而/(p)無(wú)最小值.

【精選例題】

【例1】(2018年全國(guó)1卷).某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要

對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取2°件作檢驗(yàn)，再根

據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為?且各件

產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（P），求的最大值點(diǎn)P。；

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了2°件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的夕。作為°的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX；

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

【例2】設(shè)離散型隨機(jī)變量x和y有相同的可能取值，它們的分布列分別為==

P（y=%）=%,4>0,%>0,'12"中石"1指標(biāo)。（x"y）可用來(lái)刻畫(huà)X和y的相似程

o（xl|y）=tx/n衛(wèi)

度，其定義為I”.設(shè)X?3（",p）,o<p<l.

⑴若y?3(",q),o<q<l,求D(X||y)；

,求。吠此）的最小值;

（3）對(duì)任意與x有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：o（xny）2o,并指出取等號(hào)的充要條件

【跟蹤訓(xùn)練】

1.某超市推出了一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)則如下：

規(guī)則一：顧客在本店消費(fèi)滿100元，返還給顧客10元消費(fèi)券；

規(guī)則二：顧客在本店消費(fèi)滿100元，有一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)，就會(huì)有價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.顧客每次

抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

⑴某顧客在該超市消費(fèi)了300元，進(jìn)行了3次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為。.記中獎(jiǎng)2次的概率為〃P)

,求八0)取得最大值時(shí)，〃的值外.

(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，且中獎(jiǎng)率均為0。，則該顧客選擇哪種規(guī)則更有利？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.某單位為了激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性，現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”NP尸中特有的“四人賽”答題活動(dòng)進(jìn)行比賽，

活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，第二局獲勝得

2分，失敗均得1分，小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局和第二局比賽獲

勝的概率分別為F(0<^<1),2,且各局比賽互不影響.

2

p=一

(1)若3,記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為〃°),試問(wèn)當(dāng)p為何值

時(shí)，"0取得最大值.

題型三：超幾何分布的概率最值

將從(a+6)件產(chǎn)品中取出〃件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為CM,.其中，次品出現(xiàn)上次的可能

『

為C：C2N="b,則所求概率為hk(N)=

「k「n-k

a

〃左(N)C'ITN'—aN—nN+an.h,.(A^).n.19.Ar

即一八=N,=--------------------------------.令一八’=%則當(dāng)仍>左N時(shí)，2>1；當(dāng)an〈kN

4(N—1)C1RdN2-aN-nN+kN”(N—1)

/.I

anctn

時(shí)，2<1,即當(dāng)N<一時(shí)，4(N)是關(guān)于N的增函數(shù)；當(dāng)N〉一時(shí)，4(N)是關(guān)于N的減函數(shù).所

kk

以當(dāng)N=—時(shí)，&(N)達(dá)到最大值.

k

【精選例題】

【例1】設(shè)隨機(jī)變量"~"(1°，跖1°0°)(24MW992且MeN*),"(2；10,”1000)最大時(shí)，"(X)=

()

A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01

【例2】（2023屆四省聯(lián)考）一個(gè)池塘里的魚(yú)的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚(yú)，并給魚(yú)作上標(biāo)識(shí)，

然后把魚(yú)放回池塘里，過(guò)一小段時(shí)間后再?gòu)某靥晾飺瞥?00尾魚(yú)，X表示撈出的500尾魚(yú)中有標(biāo)識(shí)的魚(yú)的

數(shù)目.

（1）若N=5000,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）已知撈出的500尾魚(yú)中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值（以使得RX=15）最大的N的值作為N的

估計(jì)值）.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.2023年中央一號(hào)文件指出，艮旋要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)

品開(kāi)設(shè)直播帶貨專部直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在購(gòu)買(mǎi)的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)

調(diào)本向卷.己知有N（N>30）名熱心參與問(wèn)卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門(mén)為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活跡次

抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這N名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送，若直拱時(shí)這N名顧

客都在線,記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)）.

（1）若甲是這N名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為卷，求N;

（2）求使尸（X=30）取得最大值時(shí)的整數(shù)N.

■考點(diǎn)過(guò)關(guān)練■

1.隨著春季學(xué)期開(kāi)學(xué)，郴州市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行

動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂

每天都會(huì)提供8兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天

2￡

選擇/套餐的概率為§，選擇8套餐的概率為§.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇/套餐的概率

121

為4,選擇B套餐的概率為4；前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選擇/套餐的概率為2,選擇B套餐的概

率也是萬(wàn)，如此往復(fù).記同學(xué)甲第〃天選擇B套餐的概率為q.

⑴求同學(xué)甲第二天選擇B套餐的概率；

（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列;

（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去/餐廳就餐的人數(shù)X,用P（X=&）表示這

100名學(xué)生中恰有左名學(xué)生選擇去/餐廳就餐的概率，求尸（”=外取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的上的值.

2.某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組,

每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機(jī)變量正（'=1"，…，5）表示第i組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機(jī)

變量”的觀測(cè)值再（'=12…,5）繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為

p<pw（°'功，假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記4為事件“X=%（'=12…，5），，.

（1）寫(xiě)出尸（4）（用P表示，組合數(shù)不必計(jì)算）；

p=L鏟_9夕+上

⑵研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)概率〃與參數(shù),（°<,<1）之間的關(guān)系為2645.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)°=4時(shí)的

〃值使得概率尸（44444）最大，稱°。是夕的最大似然估計(jì)，求為.

3.N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑上的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95%

以上.某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑》。^用11的顆粒的過(guò)濾效率服從正態(tài)分布

2V（0.97,9.025xlO-5）

（1）當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測(cè)量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑20-3同11的顆粒的過(guò)濾效率為93.6%

時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況.請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道

理，并說(shuō)明判斷的依據(jù).

(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑20-3叩1的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95.1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”.

(i)求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；

(ii)該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記X為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的

件數(shù)，當(dāng)X為多少時(shí)可能性最大(即概率最大)？

4.汽車(chē)尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新

能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車(chē)制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車(chē)的銷售情況進(jìn)

行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份，20172018201920202021

年份代碼X(X="2°16)12345

銷量”萬(wàn)輛1012172026

(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量了與年份代碼x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能

源汽車(chē)的銷量最早在哪一年能突破50萬(wàn)輛；

(2)為了解購(gòu)車(chē)車(chē)主的性別與購(gòu)車(chē)種類(分為新能源汽車(chē)與傳統(tǒng)燃油汽車(chē))的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該

地區(qū)200位購(gòu)車(chē)車(chē)主的購(gòu)車(chē)情況作為樣本其中男性車(chē)主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)的有?名，購(gòu)置新能源汽車(chē)的

有45名，女性車(chē)主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē).

①若W=95,將樣本中購(gòu)置新能源汽車(chē)的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用(1)中的線性回歸

方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車(chē)的女性車(chē)主的人數(shù)(假設(shè)每位車(chē)主只購(gòu)買(mǎi)一輛汽車(chē)，結(jié)果精確到

千人)；

②設(shè)男性車(chē)主中購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為P,將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車(chē)主中隨機(jī)

抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為了（"）,求當(dāng)w為何值時(shí)，/（P）最大.

臺(tái)=旦---------

n

2—2

%~nxA_

附：y=bx+a為回歸方程,E,=ia=y-bx

5.學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與

“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩

局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分.已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)

時(shí)，每局比賽獲勝的概率為萬(wàn)；參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別

為p,4.李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），各局比賽互不影

響.

（1）求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為了他）.求〃

為何值時(shí)，/（p）取得最大值.

6.某市居民用天然氣實(shí)行階梯價(jià)格制度，具體見(jiàn)下表:

階梯年用氣量（立方米）價(jià)格（元/立方米）

第一階梯不超過(guò)228的部分3.25

第二階梯超過(guò)228而不超過(guò)348的部分3.83

第三階梯超過(guò)348的部分4.70

從該市隨機(jī)抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下:

居民用氣編號(hào)12345678910

11

年用氣量（立方米）951061612102