高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型（6大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題05分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型

【目錄】

......................................................................................................................................................................1

........................................................................................................................................................................2

.......................................................................................................................................................................2

考點(diǎn)一：二次函數(shù)與塞模型....................................................................10

考點(diǎn)二：分段函數(shù)模型........................................................................12

考點(diǎn)三：對勾函數(shù)模型........................................................................14

考點(diǎn)四：指數(shù)函數(shù)模型........................................................................17

考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)模型........................................................................18

考點(diǎn)六：函數(shù)模型的選擇......................................................................20

本節(jié)內(nèi)容，常以其他學(xué)科或與社會生活息息相關(guān)的背景來命題，如現(xiàn)實(shí)中的生產(chǎn)經(jīng)營、企業(yè)盈利與虧

損等熱點(diǎn)問題中的增長、減少問題，在這些背景中發(fā)現(xiàn)、選擇、建立數(shù)學(xué)模型，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)模型，對現(xiàn)實(shí)問題中數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以解決問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性.

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2021年北京卷第8題，4分【命題預(yù)測】

二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

2020年上海卷第19題，14分預(yù)測2024年高考，可能結(jié)

合函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考

2023年/卷第10題，5分

察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型2021年甲卷（文）第6題，5分應(yīng)用能力綜合考察.

2020年山東卷第6題，5分

反比例函數(shù)模型

二次函數(shù)模型

分段函數(shù)模型

分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函

指數(shù)函數(shù)模型

數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型

幕函數(shù)模型

對勾函數(shù)模型

1、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型/W=ax+b(a,b為常數(shù)且aR。)

反比例函數(shù)模型

/（x）=-

x（左為常數(shù)）

二次函數(shù)模型1

f(x)=ax+bx+c(a；6,c為常數(shù)且。片。)

指數(shù)函數(shù)模型x

/(x)=ba+c(tz；6,c為常數(shù)，bwO,a>0,?^1)

對數(shù)函數(shù)模型

f(x}=b\ogax+c{a；b,c為常數(shù)，b#0,a>0,

塞函數(shù)模型n

f(x)=ax+b(a；6為常數(shù)，

2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)

學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

3、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題

首先，要認(rèn)真閱讀理解材料.應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，

往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問題的意義，

領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立

解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它.

其次，建立函數(shù)關(guān)系.根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問題“用字母符號、關(guān)系符號”表達(dá)出來，建立

函數(shù)關(guān)系.

其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵.在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問

題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分.這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實(shí)際盡可

能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些

非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對那些敘述的部分只需要“泛

讀”即可.反過來，對那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精

讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率.

1.（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)-滿足L=5+/gk.已知某同學(xué)視力

的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（啊W1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在￡=5+/g廠中,1=4.9,所以4.9=5+/gk,即/g1=-0.1,

解得展叱=—=麗1=-^~0.8，

1.259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

2.（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的

深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24力降雨量的等級劃分如下：

等級24〃降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0?99.9

............

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200"〃〃，高為300m機(jī)的圓錐形雨量器.若一次降雨過

程中，該雨量器收集的24〃的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24〃降雨量的等級是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圓錐的體積為「=工劭二,尸7人，

33

因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為200=50加加，

22

將r=50,h=150代入公式可得K=125000萬（加加，，

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為％=S”,且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積,

所以S=萬?（gX200）2=10000萬（7〃田）,

則平地上積水的厚度h='SO。。萬=12.5（mm）,

100007

因?yàn)?0<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

3.（2020?山東）基本再生數(shù)凡與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者

傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模

型：/?）=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與&,T近似滿足

R0=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出4=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病

例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（）（歷2。0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】把凡=3.28,7=6代入&=1+廠7,可得r=0.38,：./?）=,

當(dāng)/=0時(shí)，/（0）=1,則e"3M=2,

兩邊取對數(shù)得0.38/=勿2,解得/=坦“1.8.

0.38

故選：B.

4.（2019?新課標(biāo)H）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航

天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)

系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2

點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為AG，地月距離為R,4點(diǎn)到月球

的距離為廠，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，廠滿足方程：」^方+牛=（尺+力”.

（7?+r）2r12

3〃+3〃?

設(shè)由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中3a3,貝。的近似值為（）

R(l+?)2

I肛RB?&R

A.----KD

c?瞪R-澈R

【答案】D

【解析】?.??=-1.r=aR,

R

、、產(chǎn)口士工口MM、M

外滿足萬程：——+T2=Z（RN+T）T

（氏+/）2F2R3

1R?r

---------------+=(1+—)^i,

,rrrR

1+2—+—

RR2

ii

把a(bǔ)=—r代入，得：-----+—^M=(l+a)M^

R(l+?)2M]a22

M]1.(1+or)3—1a(a~+3tz+3)

—7-=[(1+a)----------T]M.=--------M.=-----------------；--M.

a2(1+a)(1+a)21(1+a)21

5

M23a3+3a4+a

磯-—(1+cr)2

r=aR=3—.

13M

故選：D.

5.（多選題）（2023?新高考I）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級

￡=20x/g二，其中常數(shù)p。（0>0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

Po

聲源與聲源的聲壓級

距離ImIdB

燃油汽車1060~90

混合動(dòng)力汽1050?60

車

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車107〃處測得實(shí)際聲壓分別為n，p2,P3,貝M)

A.pr-p2B.p2>10T?3C.p3=100pQD.pv,100/>2

【答案】ACD

9

【解析】由題意得，60”20/gd,90,1000A”pinWpQ,

Po

5

2

50”20/g—?60，10j70?p2?1000/20,

P。

20/g衛(wèi)=40,23=1000，

Po

可得夕廣.夕2，Z正確；

p2?10/73=lOOOpo，B錯(cuò)誤；

P3=lOOPo，。正確；

95

P1,,102Po=100x102Po“]00P2，小，100）2，。正確.

故選：ACD.

6.（2018?浙江）我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，

值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別

x+y+z=100

為x,y,z,貝ijJ1，當(dāng)z=81時(shí)，x=,y=.

5x+3j+-z=100

【答案】8；11

x+y+z=100

x+y=19

【解析】5x+3y+；z=100當(dāng)z=81時(shí)，化為:

5x+3y=73

解得x=8,y=11.

故答案為：8；11.

7.（2020?上海）在研究某市交通情況時(shí)，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時(shí)間，車

輛密度是該路段一定

時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為v=9,x為道路密度，q為車輛密度，交通流

X

量v=f(x)=<—(￡。<一。

—k(x—40)+85,40?x?80

ci）若交通流量v>95,求道路密度x的取值范圍;

（2）已知道路密度x=80時(shí)，測得交通流量v=50,求車輛密度q的最大值.

【解析】（1）按實(shí)際情況而言，交通流量V隨著道路密度X的增大而減小,

故"=/（X）是單調(diào)遞減函數(shù),

所以左>0,

當(dāng)40,,%80時(shí)，v最大為85,

1名QO

于是只需令100-135?（?*>95,解得x<§,

故道路密度X的取值范圍為（0,y）.

（2）把x=80,"=50代入？=/>（工）=一左（%一40）+85中,

7

得50=—H40+85,解得左二，.

8

180

100X-135-(1)T-X,0<X<40

:.q=vx=<

7

——(x-40)x+85x,40?x,,80

8

①當(dāng)0cx<40時(shí)，V=100-135-(1)T<100,

q=vx<100x40=4000.

7

2

②當(dāng)40”%,80時(shí)，q是關(guān)于x的二次函數(shù)，q=--x+120xf

對稱軸為苫=出，此時(shí)4有最大值，^1-2x（—）2+120x—=^22>4000.

78777

綜上所述，車輛密度4的最大值為生|

8.（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”S=區(qū),其中4為建筑物暴露在

空氣中的面積（單位：平方米），《為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為//,暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建

筑體的“體形系數(shù)”S；（結(jié)果用含7?、”的代數(shù)式表示）

（2）定義建筑物的“形狀因子”為了=匕，其中/為建筑物底面面積，￡為建筑物底面周長，又定義T

為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設(shè)〃為某宿舍樓的層數(shù)，層

高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為s=E&+-L.當(dāng)/=18,7=10000時(shí)，試求當(dāng)該

T3n

宿舍樓的層數(shù)"為多少時(shí)，“體形系數(shù)”S最小.

【解析】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得:

22

Fo=2TTRH+7TR-V0=TTRH,

_殳_兀R(2H+R)_2H+R

一斤一-TCBJ-H--HR

3后

（2）由題意可得S=H-------，nGNf

100003n1003n

所以S，=4_3=9&20。

200G3n2600/72

令9=0,解得〃=

所以S在［1,6.27］單調(diào)遞減，在［6.27,+8）單調(diào)遞增,

所以S的最小值在〃=6或7取得，

所以在"=6時(shí)，該建筑體S最小.

9.（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個(gè)季度增加0.05億元，第一季度的利

潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

（1）求今年起的前20個(gè)季度的總營業(yè)額；

（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

【解析】（1）由題意可知，可將每個(gè)季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，

則首項(xiàng)％=1.1,公差"=0.05,

S20=204+2"2；T)”=20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%,

則0.16x(l+4%)">(1.1+0.05〃)?18%,

令/(?)=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05?)-18%,(〃eN*),

即要解/(?)>0,

則當(dāng)?...2時(shí)，/(?)-/(”-1)=0.0064.(1+4%)"一一0,009,

,解得：*10，

即當(dāng)1,,”,,9時(shí)，/(〃)遞減；當(dāng)〃..10時(shí)，/伽)遞增，

由于/(1)<0,因此的解只能在加.10時(shí)取得，

經(jīng)檢驗(yàn)，/(24)<0,/(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個(gè)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

解法二：設(shè)今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為a?,

貝U-=104(13+0.0加=1.04-=1+0.04(1一--),

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

數(shù)列｛an｝滿足>a2>a3>a4=a5<a6<a7<...,

注意到，出5=0/78…,a26=0.181...,

.??今年第一季度往后的第25個(gè)季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

考點(diǎn)一：二次函數(shù)與幕模型

?規(guī)律總結(jié)

1、二次函數(shù)模型的應(yīng)用

構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法

求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意

自變量的取值范圍.

2、幕函數(shù)模型為了=辦'+6（a,b為常數(shù)，awO）,

在計(jì)算幕函數(shù)解析式、求幕函數(shù)最值的時(shí)候，通常利用幕函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題.

■題則悖訓(xùn)

例1.（2023?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）一個(gè)動(dòng)力船拖動(dòng)載重量相等的小船若干只，在兩個(gè)港口之間

來回運(yùn)貨.若拖4只小船，則每天能往返16次；若拖7只小船，則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)

與相應(yīng)減少的往返次數(shù)成正比例.為使得每天運(yùn)貨總量最大，則每次拖只小船.

【答案】6

【解析】設(shè)每日每次拖x只小船，每日來回了次，每只小船的載重量為河，每日的運(yùn)貨總重量為G,

J4左+6=16J左=一2

由題意設(shè)L點(diǎn)+6,則上左+6=10,解得正=24,

所以y=_2x+24,

所以每日運(yùn)貨總重量為G=Mxy=MX（-2X+24）=-2M（x-6）2+72M,

所以當(dāng)x=6,>=12時(shí)，G取得最大值72",

即每次拖6只小船，

故答案為：6

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)“中國女排精神”，加強(qiáng)青少年體育發(fā)展.學(xué)校在體育課中組織學(xué)

生進(jìn)行排球練習(xí)，某同學(xué)以初速度%=12m/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點(diǎn)2加以上的位置最多停

留時(shí)間為秒（小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）.（注：若不計(jì)空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)

=，-la2

的高度”（m）與時(shí)間中）滿足關(guān)系式一卬-5卬,其中g(shù)=9.8m/s2,相？225.59.）

【答案】2.09

_1_.

【解析】由題意，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度”m）與時(shí)間*s）滿足關(guān)系式h=-v”t"5爾t

1

io/h=12t—x9.8Z7

因?yàn)?=12m/s,所以2,

1

,12/一一x9.8?9=2.

令h=2,可得2-120(+20=0,

12020

入+力）----，/也——

所以4949,

所以排球能夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最多停留2.09秒.

故答案為：2.09.

例3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全

部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)

政府號召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政

府將補(bǔ)貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：

Vk82?1.22,^1/73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為x,貝J50（1+xp+10=27°,

x=-1?1.2-1=0.2

所以'15,故年平均增長率為20%.

故選：B

例4.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系

通常以塞函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率了與其體重x滿足>=履"，其中左和。為正常數(shù)，

該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則a為（）

1￡22

A.4B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】設(shè)初始狀態(tài)為（4必），則X2=?,%=8嘰

又弘=儂,%=畸，即8%=左（16玉）”=左.16&#,

8必_hl6axl3

=a-_

必kx；16s=8,24a=23,4tz=3,4.

故選：D.

考點(diǎn)二：分段函數(shù)模型

■切他陷結(jié)

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變

化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏

?題型特訓(xùn)

例5.（2023?全國?高三對口高考）已知4?兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時(shí)的速度從A

地前往B地，到達(dá)B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x（千

米）表示為時(shí)間,（小時(shí)）的函數(shù)，則下列正確的是（）

60r（0<Z<2.5）

%=^150（2.5<?<3.5）

A.x=6OZ+5OZ（O<?<6,5）B[150-50f（3.5<f<6.5）

60t,(0W/42.5)

"6Of(O</<2.5)x=<150,(2.5<^<3.5)

X=</\

c[150-50f(f>3.5)150-50(r-3.5),(3.5<^<6.5)

【答案】D

【解析】因?yàn)?2兩地相距150千米,

所以當(dāng)汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地前往5地時(shí),

旦25

需要60小時(shí)，此時(shí)汽車離開A地的距離為：

x=60/(0<t<2,5)

到達(dá)B地停留1小時(shí)，此時(shí)汽車離開A地的距離為：

x=150(2.5<Z<3.5)

當(dāng)汽車以50千米/小時(shí)的速度從B地前往A地時(shí)，

150c

----=3

需要50小時(shí)，此時(shí)汽車離開A地的距離為:

x=150-50(r-3.5)(2.5<?<6.5)

60/,(0<Z<2.5)

x=<150,(2.5<t<3.5)

150-50(/-3.5),(3.5<Z<6.5)

所以由題意有:

故選：D.

例6.(2023?全國?高三對口高考)2005年10月27日全國人大通過了關(guān)于修改個(gè)人所得稅的決定，工

薪所得減去費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月

I日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：

級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)

1不超過500元5

2500?2000元10

32000~5000元15

某人2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅()元.

A.43B.2280C.680D.不能確定

【答案】A

【解析】設(shè)工資為x元，

當(dāng)0WXW800,納稅為0元；

當(dāng)800<xM1300,納稅為(x-800)x5%元;

當(dāng)1300<xW2800,納稅為500x5%+(x-1300)xl0%元；

當(dāng)2800<x<5800,納稅為500x5%+1500xl0%+(x-2800)*15%元；

0,0<x<800

y

——40,800<x<1300

20

V=5Y

——105,1300<x<2800

10

——245,2800<x<5800

所以，納稅為120,

Y

---105=123

而25<123<175,令10,可得x=2280元，

由x-1600=680>500,則按新稅法只要交稅500x5%+(680-500)x10%=43元

故選：A

例7.(2023?云南?統(tǒng)考二模)下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價(jià)格：

11-50

一次購買件數(shù)5-10件51-100#101-300件300件以上

件

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具(

A.116件B.BO件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設(shè)購買的件數(shù)為x,花費(fèi)為了元,

37JC,1<x<10

32x,l1<x<50

30x,51<x<100

27x,101<x<300

則25x,x>300,當(dāng)x=107時(shí)，了=2889<2990,

當(dāng)尤=108時(shí)，y=2916>2900,所以最多可購買這種產(chǎn)品107件,

故選：C.

考點(diǎn)三：對勾函數(shù)模型

—律放結(jié)

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用模型/(x)=ax+2求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號成立的條件.

—型師訓(xùn)

例8.(2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考一模)某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬元購進(jìn)一臺大型聯(lián)合收割

機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年(今年)的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保

養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺收割機(jī)報(bào)廢，則這臺收割機(jī)的使用年限是

()

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】設(shè)第"年的維修保養(yǎng)費(fèi)為“”萬元，數(shù)列｛"J的前〃項(xiàng)和為s”，該機(jī)的年平均耗費(fèi)為"，

據(jù)題意，數(shù)列卜,｝是首項(xiàng)為12,公差為4的等差數(shù)列.

5+981n{n-Y\98?98

p=-..=—12H+-^——^x4+982H+—+10>22n——+10=38

2nn

2〃——

當(dāng)且僅當(dāng)〃，即"=7時(shí)，。取最小值38.

所以這臺冰激凌機(jī)的使用年限是7年.

故選:B.

例9.（2023?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學(xué)校考期中）某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積

為48m2,房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元（包含門窗），房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑?/p>

價(jià)為5800元.如果墻高為3m,且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則最低總造價(jià)是（）

A.57600元B.63400元C.69200元D.57600也元

【答案】B

_48

【解析】設(shè)房屋的正面邊長為側(cè)面邊長為總造價(jià)為z元，則初=48,即'一或，

z=3xx1200+6yx800+5800=3600x+57600X4+5800

所以x

46。。「竺等+58。。*400

3600x=------------

當(dāng)X時(shí)，即當(dāng)X=8時(shí)，Z有最小值，最低總造價(jià)為63400元.

故選：B

例10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是06萬

元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比

上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為X（XCN*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為了萬元，

2+4+6+…+2X「（2+2X）

=x(x+l)

則無年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2

100+0.5x+x(x+l)1003.I100343

y=--------------------------=%+——+—>2.x-----+—=—

所以X年的平均費(fèi)用為Xx2\X22(萬元),

當(dāng)且僅當(dāng)x=1。時(shí)，等號成立,

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為1°.

故選：B.

例11.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？既＃┤鐖D為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球

tanNAPB=——

門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的尸點(diǎn)處接球，此時(shí)31,假設(shè)

甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)0處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射

門時(shí)甲離上方端線的距離為（）

A.5&B,5屈c(diǎn).1。亞D.10百

【答案】B

【解析】設(shè)=并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

BH102

tan/BPH==———tan/APB=—

所以HP255,且31,

52

------1—3

tanNAPH=tan(ZAPB+NBPH)=_

1--x-$

所以315

x+103

PHPH25,所以255,解得x=5,即/B=5,

設(shè)QH=h,，e[0,25],則=飛力+1寸

2222

BQ=^QH+BH=7/?+10；所以在A/Q?中

AQ2+BQ2-AB2爐+150

cos/AQB=

2AQxBQV//4+325/?2+22500,

令%=/Z2+150(150WMV775),所以/=加一150

cosAAQB=/-----=i-

~J（加一150）2+325（%-150）+22500、衛(wèi)乎+至十】

所以R機(jī)2加，

111

--<—<--

因?yàn)?50W加<775,所以775m150,則要使N/08最大，

cosNAQB=?1,---------

375025,375025,

即\mm要取得最小值，即'機(jī)m取得最大值，

--37-5-0-1-2-5-FI1--1<1—<1--

即m2m在775一加一150取得最大值，

「

t—_1f__1__1_

令一機(jī)1775'150），f[t}=-3750Z+25/+1,

1Fj____1_1Fj___1_-

所以/⑺的對稱軸為：‘一同，所以/⑺在1775'300」單調(diào)遞增，在[300'150」單調(diào)遞減,

t111

所以當(dāng)一小時(shí)，/（'）取得最大值，即N/3最大，此時(shí)益一同，即加=300,

所以后=15°,所以〃=5后，即為獲得最佳的射門角度（即最大），

則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：5屈.

故選：B.

ABH

考點(diǎn)四：指數(shù)函數(shù)模型

—律敢結(jié)

在解題時(shí)，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利

率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

^題型特訓(xùn)

例12.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從

TB(1TB=1O24GB)級另1J躍升至]jPB(lPB=1024TB),EB(lEB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1O24EB)級另人國際數(shù)

據(jù)公司(的研究結(jié)果表明，年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為年增長到若從

[DC)2OO80600ZB,20101.125ZB.2008

年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量?與年份/的關(guān)系為k,其中4用均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的

數(shù)據(jù)量是2022年的倍.

3

【答案】1.5/2

【解析】由題意，1125=0.5/°嶺。。8,所以”1.5,所以尸=0.515-*

所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.5-1-514,則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量0-5-1.515,

0.5.1.5"]§

所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的西工科一,倍.

故答案為：1.5

例13.（2023?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）研究表明大氣中二氧化碳的含量對地表溫度有明

顯的影響：當(dāng)大氣中二氧化碳的含量每增加25%,地球平均溫度就要上升0.5。C若到2050年，預(yù)測大氣中

二氧化碳的含量是目前的4倍，則地球平均溫度將上升約。仁（參考數(shù)據(jù)：0.3010）

【答案】3

【解析】設(shè)目前大氣中二氧化碳的含量為。，

依題意，當(dāng)二氧化碳的含量為125。時(shí)，地球平均溫度上升0.5。（2,

當(dāng)二氧化碳的含量為"1.252時(shí)，地球平均溫度上升?5x2）℃,

依次類推，當(dāng)大氣中二氧化碳的含量為axL25"時(shí)，地球平均溫度上升@5x〃）℃,

_1g4_21g2_21g22x0.301

n---------——------~---------~o

1g1.25n5l-31g21-3x0.301

令axl.25"=4a,即1.25"=4,方程兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，則4,

所以到2050年，地球平均溫度將上升約0.5x6=3（oC）.

故答案為：3

例14.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)某人的行車速度v（km/h）與行駛地區(qū)的人口密度0

ooooo

（人/kM）有如下關(guān)系：v=5Ox（O.5+2-^）；若此人在人口密度為。人/kM的地區(qū)的行車速度為

70knVh,則他在人口密度為2a人/kM的地區(qū)的行車速度是km/h.

131

【答案】65.5/2

【解析】由70=50x（0.5+2-）,得0.9,

v=50x(0.5+2-000004)<2a)=50x0,5+(2-000004a)[=65.5km/h

所以當(dāng)人口密度為2a人/kM時(shí)，他的行車速度‘'L\'」

故答案為：65.5

考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)模型

?規(guī)律總結(jié)

在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖

像求解最值問題.

■k題型特訓(xùn)

例15.（2023?上海長寧?統(tǒng)考一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo).其值v（單位：

y—101g—2_|22

1