高考數(shù)學專項復習：三角函數(shù)的圖象與性質【九大題型】

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................4

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】............................................................4

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】......................................................................5

【題型5求三角函數(shù)的單調區(qū)間、比較大小】..........................................................5

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調性求參數(shù)】...............................................................6

【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】............................................6

【題型8三角函數(shù)的零點問題】........................................................................7

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用】..........................................................8

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

（1）能畫出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標I卷：第15題，

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質是高考的熱

性、奇偶性、最大（?。?023年天津卷：第6題，5分點內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱

值2024年新課標I卷：第7題，性、奇偶性與單調性之間的關系則是高

⑶借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來

2024年新課標II卷：第9題，看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質之

數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2旬上

6分間的邏輯關系的考查，試題多以選擇題、

的性質及正切函數(shù)在2024年全國甲卷（文數(shù)）：第填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.

（-上的性質13題，5分

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為y=/sin（0x+0）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如尸asi/x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設sinr=/,化為關于t的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+6（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可先設?=sirtr±cosx,化為關于t的二次函數(shù)求值域（最

值）.

【知識點2三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

（1）公式法；

（2）不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

（1）對于可化為兀r）=/sin（0x+°）（或加尸/cos（0x+p））形式的函數(shù)，如果求人x）的對稱軸，只需令

TT

①x+9=5+左兀（左￡Z）（或令€OX+（p=kR*G?）,求X即可；如果求外）的對稱中心的橫坐標，只需令

0X+9=MT（左GZ）（或令0x+°=5+析（后GZ））,求x即可.

（2）對于可化為/（x）=/tan（0x+0）形式的函數(shù)，如果求人x）的對稱中心的橫坐標，只需令（ox+e=今伏GZ））,

求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質，在尸4sin（ox+9）中代入尸0,

若》=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■7T

若了=/$也（<2>+9）為奇函數(shù)，則夕=E（左ez）；若尸isin（Ox+9）為偶函數(shù)，貝跖=7+版（左GZ）.

【知識點3三角函數(shù)的單調性問題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調區(qū)間的求解方法

求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時，首先化簡成y=/sin（cux+p）形式，再求y=Asm（<a>x+（p）的單調區(qū)間，

只需把。x+p看作一個整體代入尸siwc的相應單調區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調性求參數(shù)的解題思路

對于已知函數(shù)的單調區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問題，首先，明確已知的單調區(qū)間應為函數(shù)的

單調區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調區(qū)間，從而利用它們之間的關系可求解，另外，若是選擇

題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

【方法技巧與總結】

1.對稱性與周期性

（1）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是T個周期，相鄰的對稱中心與對

稱軸之間的距離是:個周期.

（2）正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是3個周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關的結論

TT

（1）若產(chǎn)/sin（Gx+9）為偶函數(shù)，貝師二左乃十2（攵￡Z）；若為奇函數(shù)，貝1］夕=左兀（左￡Z）.

7T

（2）若尸4cos（GX+夕）為偶函數(shù)，則夕=左兀（左￡Z）；若為奇函數(shù)，則片左7十了（左￡Z）.

（3）若y=4tan（①x+夕）為奇函數(shù)，則夕=左兀（左￡Z）.

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應用】

【例1】（2024?全國?模擬預測）函數(shù)/（%）=cos%?ln（2"+2-%）在區(qū)間［-3n,3n］上的圖象可能是（）

【變式（2024?江蘇鹽城?模擬預測）函數(shù)y=cos%與y=lg|%］的圖象的交點個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.6

【變式1-2］（2024?山東?一模）函數(shù)/（久）=%泮，則y="x）的部分圖象大致形狀是（）

【變式1-3］（2023?河南鄭州，一模）已知函數(shù)/（x）=e，+er,gQ）=sinx,下圖可能是下列哪個函數(shù)的

B./(x)-g(x)+2

C.7(x)?g(x)D.9(%)

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】（2024?廣東湛江?二模）函數(shù)/（久）=4sin（5x-]在總上的值域為（）

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2V3,4]D.[-2b,2]

【變式2-1]（2024?河南鄭州?一模）已知函數(shù)/（%）=25也（3萬一勻（3>0）在[（）圖上的值域為[—1,2],貝必

的取值范圍為（）

A-[^]B,[|,|]C.[|,|]D,[|,|]

【變式2-2]（2024?安徽安慶?二模）已知函數(shù)/（%）=2cos+sin2tox-1（3>0）的圖象關于點（右0）對

稱，且/（%）在（05）上沒有最小值，則3的值為（）

1357

A.5B.-C.-D.-

【變式2-3]（2024?內(nèi)蒙古包頭?一■模）已知函數(shù)/（無）=Asin（3K+a）（4>0,3>0,|卬|<小的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為全且f（x）的圖象關于點（-20）對稱，則f0）在區(qū)間[0,，上的最

小值為（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】

【例3】（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（X）=3sin（3久+￡）+1,則下列結論不正確的是（）

A.yO）的圖象關于點（工,1）對稱

B.若f（x+t）是偶函數(shù)，則1=督+，卜€(wěn)2

C./（X）在區(qū)間圖上的值域為[―3|]

D.f（x）的圖象關于直線》對稱

【變式3-1]（2024?貴州黔南二模）若函數(shù)"x）=cos1―。為偶函數(shù)，貝的的值可以是（）

A.—B.—C.TTD.-

632

【變式3-2]（2024?甘肅隴南?一模）下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為％=5+/cn,/CEZ的是（）

A.f（%）=sin（%—§B./（%）=cos（%+與）

C.f(x)=sin(2比一JD./(x)=cos(2x+

【變式3-3](2024?廣東佛山?二模)已知函數(shù)/(久)=sin(3x+,3>0)在[%引有且僅有兩個零點，且

/"(?)="等)，則"X)圖象的一條對稱軸是()

OO

A7TlUTT_13TT?15ir

A.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

121288

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】

【例4】(2024?天津?一模)下列函數(shù)中，以]為周期，且在區(qū)間上單調遞增的是()

A./(x)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|x|D./(%)=|cos2x|

【變式4-l](2023?湖南長沙?一■模)已知函數(shù)/(%)=sin(3%-習(1<&)<2),若存在汽力冷CR,當出一％21=

2n時，f(%i)=f(%2)=0,則函數(shù)/(%)的最小正周期為()

A.—B.—C.2TTD.4TT

33

【變式4-2](2024?安徽馬鞍山?三模)記函數(shù)/(%)=sin?%+方)(3>0)的最小正周期為7,若]<T<TC,

且〃尤)w|睨)|，則3=()

A.—B.—C.-D.士

3333

【變式4-3](2023?內(nèi)蒙古赤峰?三模)定義運算如果，1=ad—bc,f(x)=-sin(a)；+切儂>。，°<

9<與，卬滿足等式Esin"=cosg函數(shù)/(x)在(04)單調遞增，則3取最大值時，函數(shù)f(x)的最小正周期

為()

A.3nB.TTC.-D.2TT

2

【題型5求三角函數(shù)的單調區(qū)間、比較大小】

【例5】(2024?青海?模擬預測)下列區(qū)間中，函數(shù)fO)=3sin(x+：)單調遞增的區(qū)間是()

A-(嗚)B.(常)

C.(y,y)D.(TT,2TT)

【變式5-1](2023?陜西?模擬預測)已知函數(shù)/(無)=sin(2x+<p)在x=?處取得到最大值，則f(x)的一個單

6

調遞增區(qū)間是（）

A?(3制B.(冷)。管芳）立得用

【變式5-2]（2023?貴州?模擬預測）已矢口a=sinl,b=sin|,c=sin2,貝(J()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式5?3】（202+全國?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=sing-%）,g（%）=cos則使得/（g（%））和

都單調遞增的一個區(qū)間是（）

A.（精）B,&）C.（常）D,管為

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調性求參數(shù)】

[例6]（2023?天津?二模）若函數(shù)f（x）=2sin（3x+力（3>0）在區(qū)間[—也外上具有單調性，則3的最大值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1]（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/0）=5也（3久+§（3>0）的周期為丁，且滿足T>2TT,若

函數(shù)/（X）在區(qū)間令,力不單調，則3的取值范圍是（）

【變式6-2](2024?浙江?模擬預測)已知函數(shù)/(久)=Zsin(3x+w)(a)>0,\(p\</(%)</(%)+

f得一x）=0,f（x）在&10上單調，則3的最大值為（）.

A.3B.5C.6D.7

【變式6-3]（2023?浙江?模擬預測）定義min{a,b}=設函數(shù)/（久）=min{sintox,cos<k）x]（a）>0）,

可以使f（X）在（行5）上單調遞減的3的值為（）

A.[|,|]B.[2,3]C.[|,2]D.[3,4]

【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】

[例7]（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)/（%）=cos（tox+（p）（0<o）<10,0<cp<n）圖象的一個對稱中心

是喏,0）,點B（0爺在/（%）的圖象上，下列說法錯誤的是（）

A./'(%)=cos(2x+gB.直線x=■^是f(久)圖象的一條對稱軸

C./(x)在上單調遞減D.+f是奇函數(shù)

【變式7-1](2024?天津?模擬預測)已知/'(%)=sin(3%+合+9)(3>0,切<小為偶函數(shù),g(x)=sin(3久+

切，則下列結論錯誤的個數(shù)為()

①(P=

②若9(久)的最小正周期為3n,則3=|；

③若g(x)在區(qū)間(O,Tt)上有且僅有3個最值點，則3的取值范圍為?，羽；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式7-2](2024?河北唐山?一模)已知函數(shù)/(久)=|sino)x|+cos(ox(3>0)的最小正周期為兀，則()

A.八%)在卜睛]單調遞增B.管,0)是/⑺的一個對稱中心

C.八久)在卜沅]的值域為[1,陽D.%=沈/㈤的一條對稱軸

【變式7-3](2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)"X)=cosx-￡,現(xiàn)給出下列四個結論：

①f(x)的圖象關于點6,0)對稱；

②函數(shù)八0)=If(久)|的最小正周期為2n；

③函數(shù)g(x)=2fO)+|/(久)|在(0,習上單調遞減;

④對于函數(shù)g(x)=2/(%)+|/(x)|,Vxe(0,]),3|g(x)|=g(x+n).

其中所有正確結論的序號為()

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【題型8三角函數(shù)的零點問題】

【例8】(2024?湖北武漢?模擬預測)若函數(shù)fO)=3cos(3x+,)(3<0,*3的最小正周期為加

在區(qū)間(-2*)上單調遞減，且在區(qū)間(05)上存在零點，則R的取值范圍是()

【變式8-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/⑺=疝(2兀3%)(3>0)在區(qū)間(0,2)上單調，且在區(qū)間[0,18]

上有5個零點，則3的取值范圍為()

【變式8-2](2024?全國?一模)已知函數(shù)/(無)=sin(3X+f(3>0)在區(qū)間FT上恰有3個零點，則3的

取值范圍是()

AY用U(4,g)B.桂4]U《5

。?居爭乂5爭D.件5]U怎為

【變式8-3](2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/'(%)=2cos(3%+3)(3>0且一]<RV]),設T為函數(shù)/(%)

的最小正周期，/(；)=—1，若在區(qū)間[0,1]有且只有三個零點，則3的取值范圍是()

A-(序智B.[等爭)C.得知D.冷陰

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用】

【例9】(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)y=/(%),記/(%)=sin(a%+w)，3>0,0<9<冗,％€R.

(1)若函數(shù)y=/(%)的最小正周期為n,當/(g)=1時，求3和0的值；

6

(2)若3=1,0屋，函數(shù)y=/2(x)-2/(%)-Q有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1](2023?北京海淀?三模)已知函數(shù)/(無)=2sin(wx+=)+m-g(3>0).在下列條件①、條件②

、條件③這三個條件中，選擇可以確定3和機值的兩個條件作為已知.

⑴求黑)的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值.

條件①：/(0)=2；條件②：/(久)最大值與最小值之和為0；條件③：/(x)最小正周期為死

【變式9?2】(2024,全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=-2cos2%+2sinx+33t為常數(shù).

(1)證明：/(%)的圖象關于直線％=對稱.

⑵設/(%)在(n,為上有兩個零點zn,n.

(i)求七的取值范圍；

(ii)證明：m+n<-y.

【變式9-3](23-24高一下?江蘇鹽城?開學考試)已知函數(shù)f(%)=2sin(2tox+g)+1.

(1)若/(%D</(%)</(第2)，出一％2lmin="求f(%)的對稱中心；

(2)已知0va<5,函數(shù)/(%)圖象向右平移!個單位，得到函數(shù)g(%)的圖象，x=]是g(%)的一個零點，若函

O3

數(shù)g(%)在(m,7leR且771<九)上恰好有10個零點，求71-TH的最小值；

(3)已知函數(shù)h(%)=acos(2x-7)-2。+3(a>0),在第(2)問條件下，若對任意亞E[0,：],存在第2E

644

使得九(%。=g(%2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

?過關測試

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知函數(shù)/Xx)的周期為n,)

A./(x)=sin(x-§B.汽久)=cos(x-§

C./(%)=sin(2x—§D./(x)=cos(2x—§

)對稱,若當?shù)趀|m,.

時，/(%)的最小值是-1，則TH的最大值是()

A.--B.--C.—D.-

612126

4.(2024?廣東汕頭?三模)已知B,C是直線y=m與函數(shù)/(%)=2sin(o)%+底)(to>0,0<g<IT)

的圖象的三個交點，如圖所示.其中，點4(0,四)，B,。兩點的橫坐標分別為％1，%2,若%2-％1=：，則()

A?IB.啰)=一魚

C./(%)的圖象關于6,0)中心對稱D./(%)在［0弓］上單調遞減

5.(2024?黑龍江?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=/sin(3%+g)(Z>0,a>0,-三VgV",且％=?

\22/63

是函數(shù)y=/(%)相鄰的兩個零點，VxeR,/(%)<3,則下列結論錯誤的是()

A.A=3B.3=2

cw=yD-/(%-￡)=，(一久一芻

6.（2024?天津濱海新?三模）已知函數(shù)f（x）=sin（2x-習，關于該函數(shù)有下列四個說法：

（1）函數(shù)/（久）的圖象關于點（稱,0）中心對稱

（2）函數(shù)八久）的圖象關于直線％=-白寸稱

O

（3）函數(shù)/（%）在區(qū)間（一11JI）內(nèi)有4個零點

（4）函數(shù)/O）在區(qū)間[-3。]上單調遞增

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2024?青海海南?二模）已知函數(shù)/（久）=85（3%—§,3>0,%€/?,且f（a）=-1"（0）=0.若|心一。|

的最小值為%則“久）的單調遞增區(qū)間為（）

A.[——+/cir,—+/CTT],k€ZB.[——+2/CTT,—+2/CTT],k.S,Z

C.+fcir,1^-+fcirj,/cGZD.[-工+2/CTT瀉+2/CTT|,keZ

8.（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)/（久）=$也（3%+§（3〉0）在區(qū)間（0,費）上只有1個零點，且當xe

（一g*）時，/（久）單調遞增，則3的取值范圍是（）

2

A.（P]B.g,|]C.Q,1]D-

二、多選題

9.（2024?吉林?二模）已知函數(shù)f（x）=Hsin（3x+0）（A>0,3>0,0<0<]）部分圖象如圖所示，則（）

B.函數(shù)人久）在（工片）上單調遞減

C.方程/（久）=1的解集為回久=fcir-^,fcez）

D.e=—'是函數(shù)y=/o+e）是奇函數(shù)的充分不必要條件

10.（2024?湖南長沙?三模）已知函數(shù)/'（久）=遍sin（3%+￡）,3>0,則下列說法正確的是（）

A.fO）的最大值為2

B.函數(shù)/（X）的圖象關于直線x=（（kn+§（keZ）對稱

c.不等式f（x）>|的解集為（等，歿盧）（kez）