河北大學(xué)自控課件

第八章非線性控制系統(tǒng)8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.2相平面法8.3描述函數(shù)法12/21/20241電子信息工程學(xué)院8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)理想的線性系統(tǒng)并不存在，實際系統(tǒng)往往都是非線性系統(tǒng)，只是做了一些合理的假設(shè)以后把他們看成線性系統(tǒng)來處理。但是，這種線性方法并不是在一切情況下都適用的。系統(tǒng)中的非線性主要存在于兩個部分1）控制儀表和傳動機(jī)構(gòu)2）對象本身的特性12/21/20242電子信息工程學(xué)院小偏差線性化：實質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點（x0y0）展開為泰勒級數(shù)：xyy=f(x)x0增量較小時略去其高次冪項，則有12/21/20243電子信息工程學(xué)院例單擺運動

lMgsinθMgθ單擺運動示意圖根據(jù)牛頓運動定律可以直接導(dǎo)出此系統(tǒng)的動態(tài)方程為非線性項這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當(dāng)控制系統(tǒng)處在自動調(diào)節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運行時，可應(yīng)用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。平衡狀態(tài)為

線性二階微分方程12/21/20244電子信息工程學(xué)院小偏差線性化條件：（1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點附近做微小變化。（2）非線性特性在此工作點可導(dǎo)，也就是曲線光滑。在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存在有本質(zhì)非線性情況。1、飽和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有飽和特性2、死區(qū)特性－aak0ue測量元件，電機(jī)等都有死區(qū)12/21/20245電子信息工程學(xué)院3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器特性12/21/20246電子信息工程學(xué)院二、非線性控制系統(tǒng)的特點2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。

1、非線性系統(tǒng)的重要特征是不滿足線性疊加原理。例：一階非線性系統(tǒng)：兩個平衡狀態(tài)，其解為平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)—小范圍穩(wěn)定平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非線性系統(tǒng)運動的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用。故能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。12/21/20247電子信息工程學(xué)院對于線性系統(tǒng)，只有一個平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無關(guān)。對于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要考慮各個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與外作用和初始條件有關(guān)?？偨Y(jié)：3、可能存在自激振蕩現(xiàn)象所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動。范德波爾方程非線性阻尼項12/21/20248電子信息工程學(xué)院當(dāng)擾動使時—系統(tǒng)具有負(fù)阻尼此時系統(tǒng)從外部獲得能量，的運動呈發(fā)散形式當(dāng)擾動使時—系統(tǒng)具有正阻尼此時系統(tǒng)消耗能量，的運動呈收斂形式當(dāng)時，系統(tǒng)為零阻尼，其運動呈等幅振蕩形式系統(tǒng)能克服擾動的影響，保持幅值為1的等幅振蕩——自持振蕩

tc(t)10-1非線性系統(tǒng)的自持振蕩12/21/20249電子信息工程學(xué)院4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基頻分量)外，還含有關(guān)于的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。例：死區(qū)非線性特性三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法(1)相平面法相平面法是推廣應(yīng)用時域分析法的一種圖解分析方法。該方法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時間響應(yīng)信息，特別適用于分析非線性系統(tǒng)在不同初始條件下或非周期信號輸入(脈沖、階躍、斜坡等)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)特性。但相平面法只限于一階、二階系統(tǒng)的分析和設(shè)計。(2)描述函數(shù)法描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。特別適用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。(3)逆系統(tǒng)法12/21/202410電子信息工程學(xué)院常見的本質(zhì)非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe12/21/202411電子信息工程學(xué)院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時不變系統(tǒng)的常微分方程為是和的線性或非線性函數(shù)——系統(tǒng)運動的相變量(狀態(tài)變量)

—橫坐標(biāo)—縱坐標(biāo)0相平面（，）直角坐標(biāo)平面稱為相平面

在一定的初始條件下，求解相變量從初始時刻對應(yīng)的狀態(tài)點起，隨著時間的推移，狀態(tài)點在相平面上運動形成的曲線稱為相軌跡。不同的初始狀態(tài)對應(yīng)不同的相軌跡—相軌跡簇。12/21/202412電子信息工程學(xué)院相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運動特征0t1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t412/21/202413電子信息工程學(xué)院例8-1某彈簧-質(zhì)量運動系統(tǒng)如圖所示，若初始條件為，，試確定系統(tǒng)自由運動的相軌跡。描述系統(tǒng)自由運動的微分方程式為該系統(tǒng)自由運動的相軌跡為以坐標(biāo)原點為圓心、為半徑的圓分離變量積分得：012/21/202414電子信息工程學(xué)院例8-2已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求零初始條件，單位階躍輸入下系統(tǒng)運動的相軌跡。-系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)對單位階躍輸入關(guān)于誤差的微分方程為由給定零初始條件得(1,0)0MP12/21/202415電子信息工程學(xué)院二、相軌跡的性質(zhì)：（1）相軌跡上每一點斜率—相軌跡斜率（2）相軌跡的奇點

當(dāng)相軌跡同時滿足，時，該點相軌跡的斜率為0/0，是一個不定值，因此通過該點的相軌跡就有無數(shù)多條。同時滿足，的點稱為奇點。如果在一條線上滿足，則該直線為奇線。12/21/202416電子信息工程學(xué)院（3）相軌跡正交于軸在軸上，因而除去奇點外，在這些點上的斜率為∞，這表示相軌跡與相平面的橫軸正交。（4）相軌跡的運動方向在相平面的上半平面，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運動方向是的增大方向，即向右運動。在相平面的下半平面，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運動方向是的減小方向，即向左運動。012/21/202417電子信息工程學(xué)院三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式?；舅枷耄夯舅枷耄合却_定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。（不需求解微分方程）等傾線：相平面上相軌跡具有相等斜率的點的連線。該方程給出了相軌跡在相平面上任一點處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)，得等傾線方程：對于線性系統(tǒng)，等傾線為直線，非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線。12/21/202418電子信息工程學(xué)院試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，

設(shè)，等傾線方程為—過原點，斜率的直線據(jù)此，求得取不同值時的等傾線：當(dāng)取不同的值時，就得到不同斜率的等傾線，在每一條等傾線上作一系列相應(yīng)斜率為的短線段。12/21/202419電子信息工程學(xué)院（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時，只要從初始點出發(fā)，沿著方向場依次連接各等傾線上的短線段。就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整的相軌跡。由圖可見，由任何初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點的螺旋線。使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意：坐標(biāo)軸小和應(yīng)選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點的相軌跡切線；一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時也使作圖產(chǎn)生的積累誤差增大。為提高作圖精度，可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。12/21/202420電子信息工程學(xué)院四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程：T<0T>0穩(wěn)定不穩(wěn)定12/21/202421電子信息工程學(xué)院二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程：對應(yīng)的特征方程的特征根求其等傾線方程：令等傾線方程等傾線斜率為：兩條特殊的等傾線：等傾線斜率＝過等傾線的相軌跡的斜率當(dāng)相軌跡運動至特殊的等傾線時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散——漸近線12/21/202422電子信息工程學(xué)院兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程所對應(yīng)的特征方程的特征根1、12/21/202423電子信息工程學(xué)院2、—奇線發(fā)散收斂12/21/202424電子信息工程學(xué)院3、?。?）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點（2）兩個相等的負(fù)實根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點12/21/202425電子信息工程學(xué)院（3）兩個互異的負(fù)實根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點（4）一對純虛根0相軌跡為等幅振蕩12/21/202426電子信息工程學(xué)院（5）0（6）12/21/202427電子信息工程學(xué)院（6）總結(jié)：12/21/202428電子信息工程學(xué)院3、奇點與極限環(huán)（1）奇點同時滿足，的點稱為奇點。12/21/202429電子信息工程學(xué)院c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac&c0wjac&c穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點中心點鞍點12/21/202430電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)12/21/202431電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)12/21/202432電子信息工程學(xué)院非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對于本質(zhì)非線性）基本思想：分段線性化非線性系統(tǒng)分區(qū)線性系統(tǒng)相軌跡開關(guān)線-M－M繼電型非線性元件特性開關(guān)線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)繼電型非線性系統(tǒng)的分析例8-412/21/202433電子信息工程學(xué)院設(shè)在Ⅰ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行于軸的一族直線，因此相軌跡是沿水平方向平移的一族曲線。漸近線：令Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/21/202434電子信息工程學(xué)院在Ⅱ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為兩個區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點對稱等傾線方程漸近線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/21/202435電子信息工程學(xué)院初始狀態(tài)(1，0)Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)ABCD由A點開始，沿相軌跡曲線Ⅰ運動到開關(guān)線上的銜接點B；進(jìn)入Ⅱ區(qū)，再從B點開始沿相軌跡曲線Ⅱ運動到分界線上的銜接點C；然后再進(jìn)入I區(qū)，如此往復(fù)……。經(jīng)過如此的往返振蕩，從理論上說系統(tǒng)狀態(tài)最后收斂于原點(0，0)。系統(tǒng)運動曲線呈衰減振蕩形式，靜態(tài)誤差為零。12/21/202436電子信息工程學(xué)院)(tc-)(tx)(ty0)(=tr)(sGN非線性環(huán)節(jié)線性部分設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號8.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念一般情況下，為非正弦周期信號，因而可以展開成傅里葉級數(shù)：直流分量第n次諧波分量12/21/202437電子信息工程學(xué)院直流分量當(dāng)非線性元件的特性對坐標(biāo)原點是奇對稱時，直流分量第n次諧波分量一般本質(zhì)非線性均滿足當(dāng)系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性時，可認(rèn)為中只有一次諧波分量會對輸出產(chǎn)生影響。非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。12/21/202438電子信息工程學(xué)院定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。

非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用有三個條件：

1、非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式

。2、非線性元件的特性對坐標(biāo)原點是奇對稱的。3、系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。12/21/202439電子信息工程學(xué)院二