滬科版-數(shù)學(xué)-七年級上冊-基本方法-數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值

初中-數(shù)學(xué)-打印版初中-數(shù)學(xué)-打印版1.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值5．數(shù)軸上兩點間的距離與點表示的數(shù)之間的關(guān)系(1)數(shù)軸使數(shù)和直線上的點建立了對應(yīng)關(guān)系，它揭示了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系．正是這種聯(lián)系，使得數(shù)軸上兩點之間的距離與所表示的數(shù)之間存在密切關(guān)系．(2)數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點之間的距離：當a為一個正數(shù)時，它與原點的距離是a個單位長度，當a是負數(shù)時，它與原點的距離是|a|個單位長度；當a是0時，距離為0.(3)注意：到某一點距離等于a(a是正數(shù))的點有兩個，在原點的左右兩側(cè)各一個．解技巧確定數(shù)軸上兩點間的距離解決此類問題的最好方法是畫出數(shù)軸，并表示出所求的數(shù)，再求兩點間的距離．【例5－1】如圖，A，B兩點在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)為2，若線段AB的長為3，求點B對應(yīng)的數(shù)是多少？分析：由于點A對應(yīng)的數(shù)為2，說明它到原點的距離為2，又線段AB的長為3，則點B對應(yīng)的數(shù)就很容易確定了．解：因為點A對應(yīng)的數(shù)為2，又線段AB的長為3，所以點B到原點的長為1.又因為點B在原點的左邊，所以點B對應(yīng)的數(shù)為－1.【例5－2】已知數(shù)軸上A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，并且A，B兩點間的距離為6個單位長度，求A，B兩點表示的數(shù)(A在B的左邊)．分析：互為相反數(shù)的數(shù)，位于原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等，根據(jù)A，B的距離為6個單位長度，即可求出A，B兩點表示的數(shù)．解：由點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A，B兩點間的距離為6，可知點A，B在原點的兩側(cè)，到原點距離都為3，又A在B的左邊，所以A點表示－3，B點表示3.6.運用相反數(shù)化簡符號(1)理解：①在任意－個數(shù)前面添上“－”號，新的數(shù)就是原數(shù)的相反數(shù)．如：＋5的相反數(shù)表示為－(＋5)，而5的相反數(shù)就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此運用相反數(shù)可以進行符號化簡．(2)分類：簡單的符號化簡共有3種情況：①－(＋a)＝－a；②＋(－a)＝－a；③－(－a)＝a.(3)延伸：①－＝－a；－＝a等．②－0＝0，表示0的相反數(shù)是0.多重符號的結(jié)果是由“－”號的個數(shù)決定的，與“＋”號無關(guān)，據(jù)此可以對帶有多重符號的數(shù)進行化簡．化簡時“＋”號的個數(shù)不影響結(jié)果，可省去；而“－”號的個數(shù)是偶數(shù)個時也可全部省去，奇數(shù)個時，結(jié)果保留一個“－”號即可．【例6－1】填空：(1)－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是__________；(2)如果－x＝＋(－80.5)，那么x＝__________.解析：(1)∵－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))＝1eq\f(2,7)，因此此題實際上是求1eq\f(2,7)的相反數(shù)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是－1eq\f(2,7)；(2)是已知x的相反數(shù)求原數(shù)x的問題，∵－x＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x＝80.5.答案：(1)－1eq\f(2,7)(2)80.5【例6－2】化簡下列各符號：(1)－；(2)＋{－}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n個負號)．分析：化簡的法則是：結(jié)果的符號與負號的個數(shù)有關(guān)，有偶數(shù)個負號時，結(jié)果為正；有奇數(shù)個負號時，結(jié)果為負．解：(1)－2；(2)5；(3)當n為偶數(shù)時，為6；當n為奇數(shù)時，為－6.7.絕對值的化簡和計算化簡絕對值符號主要根據(jù)絕對值的非負性，解題時看清楚“－”號在絕對值符號的里面還是外面．如果“－”號在絕對值符號的里面，化簡時把“－”號去掉；如果“－”號在絕對值符號的外面，化簡時不能把“－”號去掉．解技巧準確化簡絕對值符號化簡絕對值符號的關(guān)鍵是判斷絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負數(shù)或是0.【例7】化簡：(1)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))；(2)＋|－24|；(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,2)))))；(4)|－(－7.5)|.分析：先判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，再求絕對值．解：(1)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,3)；(2)＋|－24|＝24；(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,2)))))＝3eq\f(1,2)；(4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的數(shù)的絕對值的求法應(yīng)用因為用字母所表示的數(shù)既可以是正數(shù)也可以是負數(shù)，還可以是0.它具有不確定性，而求絕對值首先要考慮的就是符號，因此求字母表示的數(shù)的絕對值時，必須考慮題目中給定的條件，若有限定條件，就按限定條件求出，若沒有限定條件，則要分正、負、0三種情況討論．解技巧求字母表示的數(shù)的絕對值(1)限制型逆用求法，如：|a|＝6，那么a＝±6；(2)開放型分類討論求法：如求|x|＋x的值，當x＞0時，|x|＝x，所以|x|＋x＝x＋x＝2x，當x＜0時，|x|＝－x，原式＝0，當x＝0時，原式＝0；(3)化簡型求法：如：|a|＝|－8|，|－a|＝|－8|，|－a|＝|8|都能化為|a|＝|8|＝8解決．【例8－1】已知a＝－5，|a|＝|b|，則b的值等于()．A．＋5 B．－5C．0 D．±5解析：因為a＝－5，所以|a|＝5.所以|b|＝5.所以b＝±5.注：本題常見的思維誤區(qū)是由|a|＝|b|推出a＝b，錯選B.事實上，由|a|＝|b|，可得b＝±a，所以b＝a或b＝－a，即b＝5或b＝－5.答案：D【例8－2】下面推理正確的是()．A．若|m|＝|n|，則m＝nB．若|m|＝n，則m＝nC．若|m|＝－n，則m＝nD．若m＝n，則|m|＝|n|解析：A中若|m|＝|n|，則m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非負數(shù))，則m＝±n，例如|±2|＝2，此時m＝±2，n＝2，顯然m＝±n；C中若|m|＝－n，則m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正數(shù))，此時m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D9．利用數(shù)軸解決生活中的實際問題本節(jié)知識常與運動問題結(jié)合在一起，利用數(shù)形結(jié)合將運動問題解決．這種利用數(shù)形結(jié)合解決問題的方法是中考考查的熱點題型之一．數(shù)軸是一種數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立了對應(yīng)關(guān)系，運用數(shù)軸可以直觀表示點的移動，正確找出數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點，會由數(shù)軸上的點的位置確定對應(yīng)的數(shù)，是解決這類問題的關(guān)鍵．解題時，通常根據(jù)題意正確地畫出數(shù)軸，在選取長度單位時，要根據(jù)題目中的實際情況來確定，再在數(shù)軸上表示點的移動過程，用箭頭和豎線來表示．【例9】超市、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，超市在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊50米處．小明從書店出來沿街向東走了50米，接著又向東走了－80米，此時小明的位置在何處？在數(shù)軸上標出超市、書店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：書店處于超市和玩具店之間，且書店與玩具店之間的距離是50米，書店與超市之間的距離是20米，這樣可以畫出數(shù)軸，即可表示出小明最后的位置．解決點的移動問題，可畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示點的移動，關(guān)鍵是確定原點，最后的點相對于原點來說，若在原點的右側(cè)，表示的是正數(shù)，若在原點的左側(cè)，則表示的是負數(shù)．解：根據(jù)題意可以畫出如圖所示的數(shù)軸，小明位于超市西邊10米處．10.利用絕對值解決實際問題絕對值的產(chǎn)生來源于實際問題的需要，反過來又可以運用它解決一些實際問題．利用絕對值求距離路程問題中，當出現(xiàn)用“＋”、“－”號表示帶方向的路程，求最后實際路程時，實際上是求絕對值的和．方法：①求各個數(shù)的絕對值；②求所有數(shù)的絕對值的和；③寫出答案．【例10】一天上午，出租車司機小王在東西走向的中山路上營運，如果規(guī)定向東為正，向西為負，出租車的行車里程如下(單位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，請問小王將最后一位乘客送到目的地時，共行駛了多少千米？分析：本題是絕對值意義在實際問