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廣東省廣州市高中名校2025屆高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知分別為雙曲線的左、右焦點,點是其一條漸近線上一點,且以為直徑的圓經(jīng)過點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時,檢測結(jié)束,則第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.3.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-24.雙曲線:(,)的一個焦點為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若,對任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個使,則的最大值為()A. B. C. D.6.設(shè)為坐標(biāo)原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.7.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標(biāo)原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.11.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.12.已知集合,集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.15.如圖,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則的最小值為.16.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.18.(12分)設(shè)為拋物線的焦點,,為拋物線上的兩個動點,為坐標(biāo)原點.(Ⅰ)若點在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時,求點縱坐標(biāo)的取值范圍.19.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.20.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交曲線于兩點,為中點.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)若,求的值.22.(10分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點,將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意,設(shè)點在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點在第一象限,雙曲線的一條漸近線方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過點,則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.【點睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時,有最大值,當(dāng)時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、C【解析】
根據(jù)的零點和最值點列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個最大值,求得的取值范圍,求得對應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對的取值進(jìn)行驗證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)或時,都成立,舍去;②當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)或時,都成立,舍去;③當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、A【解析】
設(shè),因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標(biāo)為,設(shè),因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.7、B【解析】
考慮當(dāng)時,有兩個不同的實數(shù)解,令,則有兩個不同的零點,利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,所以時,有兩個不同的實數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點.又,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點,舍.當(dāng)時,若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因為有兩個不同的零點,所以,解得.又當(dāng)時,且,故在上存在一個零點.又,其中.令,則,當(dāng)時,,故為減函數(shù),所以即.因為,所以在上也存在一個零點.綜上,當(dāng)時,有兩個不同的零點.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點,必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點存在定理說明零點的存在性,本題屬于難題.8、D【解析】
通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當(dāng)時,,但,故充分條件推不出;當(dāng)時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】
由題可知,,再結(jié)合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題10、A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。11、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2.【解析】
如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當(dāng)時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標(biāo),在動點坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.14、55【解析】
由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時,,當(dāng)時,由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】.16、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2),,.【解析】
(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小;(2)設(shè)點,,分別代入拋物線方程和得到三個方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點,,其中,.則,①,②因為,,,所以.③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點縱坐標(biāo)的范圍為.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等,易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯解.19、(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來自的可能性最大.【解析】
(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計算得到頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來自的可能性更大.【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計估計等知識;考查學(xué)生的運算和求解能力.20、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域為,.由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時取得最大值.又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時,恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時,,∴當(dāng)時,.∵,∴當(dāng)時,,即②.綜上①②可得,.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計算求解能力,屬于難題.,21、(1),;(2)或【解析】
(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再由,,可得點
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