《高考數(shù)學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題03一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究切線單調性問題）（選填壓軸題）含答案及解析

專題03一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究切線，單調性問題）（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、切線問題 1①已知切線幾條求參數(shù) 1②公切線問題 2③和切線有關的其它綜合問題 3二、單調性問題 3①已知單調區(qū)間求參數(shù) 3②由函數(shù)存在單調區(qū)間求參數(shù) 4③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調求參數(shù) 5④利用函數(shù)的單調性比大小 5一、切線問題①已知切線幾條求參數(shù)1．（2023·全國·高二專題練習）過坐標原點可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）已知只有一條過原點的切線，則．5．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是．6．（2023·全國·高二專題練習）若曲線有三條經過點的切線，則的范圍為．②公切線問題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北保定·高二河北省唐縣第一中學?？茧A段練習）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北·高二武漢市第四十九中學校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．114．（2023春·遼寧鞍山·高二東北育才學校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)m的最大值為.5．（2023春·安徽六安·高二六安二中校聯(lián)考期中）設直線l是函數(shù)，和函數(shù)的公切線，則l的方程是．6．（2023春·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)m的取值范圍為.③和切線有關的其它綜合問題1．（2023春·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．163．（2023·全國·高三專題練習）若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知，，記，則的最小值為．5．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學?？计谥校┤簦瑒t的最小值為.二、單調性問題①已知單調區(qū)間求參數(shù)1．（2023春·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·吉林松原·高二長春市九臺區(qū)第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．4．（2023春·高二課時練習）已知函數(shù)是區(qū)間上的單調函數(shù)，則的取值范圍是．5．（2023春·高二單元測試）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是．②由函數(shù)存在單調區(qū)間求參數(shù)1．（2023春·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）若在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調減區(qū)間，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023春·江西撫州·高二江西省臨川第二中學?？茧A段練習）函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是.5．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．6．（2023·全國·高二專題練習）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為.③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調求參數(shù)1．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖南岳陽·高二湖南省岳陽縣第一中學校考期末）已知函數(shù)在上不是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中?？计谀┖瘮?shù)在上不單調，則實數(shù)k的取值范圍是.5．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上不單調，則實數(shù)的取值范圍為.6．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中校考期中）已知函數(shù)在定義域上不單調，則正整數(shù)的最小值是.④利用函數(shù)的單調性比大小1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)：，，，且，，，則（

）A． B． C． D．

專題03一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究切線，單調性問題）（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、切線問題 1①已知切線幾條求參數(shù) 1②公切線問題 4③和切線有關的其它綜合問題 10二、單調性問題 13①已知單調區(qū)間求參數(shù) 13②由函數(shù)存在單調區(qū)間求參數(shù) 15③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調求參數(shù) 18④利用函數(shù)的單調性比大小 21一、切線問題①已知切線幾條求參數(shù)1．（2023·全國·高二專題練習）過坐標原點可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，設切點為，則，切線斜率,切線方程為，∵切線過原點，∴，整理得：,∵切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是,故選：D2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設切點為，由函數(shù)，可得，則所以在點處的切線方程為，因為切線過點，所以，整理得，設，所以，令，解得或，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，要使得過點可作曲線的三條切線，則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．3．（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】由題意，設點，過點的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∵若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.故選：D.4．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）已知只有一條過原點的切線，則．【答案】【詳解】依題意，設切點坐標為，因為，則，所以切線的斜率為，故切線的方程為，因為切線過原點，所以，整理得，因為只有一條過原點的切線，所以方程有且只有一個實數(shù)根，故，即，解得或（舍去），所以.故答案為：.5．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設過點作曲線的切線的切點坐標為，由求導得：，則切線斜率，切線方程為，于是，整理得，令，求導得，由，得或，由，得，因此函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值，因為過點作曲線的切線有三條，則方程有3個不等實根，即函數(shù)有3個零點，由三次函數(shù)的性質知，，解得，所以的取值范圍是.故答案為：6．（2023·全國·高二專題練習）若曲線有三條經過點的切線，則的范圍為．【答案】【詳解】由題意，令，則，令可得或.故當和時，單調遞增，圖象往下凸；當時，單調遞減，圖象往上凸.

又經過的切線方程為，即，令可得，又經過的切線方程為，故當時有三條經過點的切線.故答案為：②公切線問題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設直線與相切于點，與相切于點，由，所以，由，則，即點，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.2．（2023春·河北保定·高二河北省唐縣第一中學校考階段練習）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設公切線為是與的切點，由，得，設是與的切點，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設，即直線與曲線有三個不同的交點，因為，令，則，當或時，；當時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當趨近于時，趨近于0；當趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當，即時，直線與曲線有三個交點.故選：A.3．（2023春·湖北·高二武漢市第四十九中學校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【詳解】解：因為，所以，由，解得或（舍去），所以切點為，因為切點在切線上，解得，所以切線方程為，設切點為，由題意得，解得，所以，故選：D4．（2023春·遼寧鞍山·高二東北育才學校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)m的最大值為.【答案】/0.5【詳解】由題意可知：，設公切線和相切于，和相切于，因為就沒有垂直于軸的切線，故公切線斜率存在，設公切線斜率為.于是由可得，；由化簡整理可得，.根據(jù)可得，，故，設，則，1.當時，顯然；2.當時，則，令，則，故在上遞增，注意到，①當時，，；②當時，，；綜上所述：當時，；當時，；則在上遞增，在上遞減，故，所以的最大值為.故答案為：.5．（2023春·安徽六安·高二六安二中校聯(lián)考期中）設直線l是函數(shù)，和函數(shù)的公切線，則l的方程是．【答案】【詳解】設直線l與函數(shù)的切點為A，直線l與函數(shù)的切點為B，，所以，，所以，所以，后面等式整理得，代入前面等式整理得，化簡得，令，因為，所以，所以，令，所以，容易知道，為減函數(shù)，，所以恒成立，所以單調遞增，所以最多一個零點，容易知道，所以只有一個解，故，所以A點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.6．（2023春·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【詳解】∵，則，設切點坐標，則切線斜率，故切線方程為，整理得，又∵，則，設切點坐標，則切線斜率，故切線方程為，整理得，由題意可得，整理得，構建，則，∵，可得，令，解得；令，解得；∴在上單調遞增，在上單調遞減，則，當x趨近于0時，趨近于正無窮大，當x趨近于正無窮大時，趨近于正無窮大，可得的值域為，即實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.③和切線有關的其它綜合問題1．（2023春·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，由題意知，則在點處的切線斜率為，當在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最小，由，得，則，所以點到直線的距離.所以動點到直線的距離的最小值為.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【詳解】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設切點為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．【答案】C【詳解】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點與點的距離的平方，即表示圓上動點到函數(shù)y＝lnx圖像上動點距離的平方．設為y＝lnx上一點，且在處的y＝lnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時遞增，且，可得m＝1，即切點為，圓心與切點的距離為，由此可得的最小值為．故選：C．

4．（2023·全國·高三專題練習）已知，，記，則的最小值為．【答案】/【詳解】設，，．由題意知，的最小值可轉化為曲線上的點到直線上的點的距離的平方的最小值．易知，曲線與直線沒有交點，則當曲線在點A處的切線平行于B所在的直線，且AB連線與直線垂直時，兩點間距離最小．由，得，直線的斜率，令，解得，則，所以點A到直線的距離，故M的最小值為．故答案為：.5．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中）若，則的最小值為.【答案】/1.6/【詳解】，，則表示曲線上的點與直線上的點的距離的平方，令得，所以曲線在的切線方程為，所以曲線上的點與直線上的點的距離的最小值即為直線與之間的距離，即,.故答案為：二、單調性問題①已知單調區(qū)間求參數(shù)1．（2023春·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：D．2．（2023春·吉林松原·高二長春市九臺區(qū)第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，由在上單調遞增，得在上恒成立，即在上恒成立，，即在上恒成立，當時，二次函數(shù)取到最大值，故，即a的取值范圍為，故選：C3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以對恒成立，即恒成立，當時，，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.4．（2023春·高二課時練習）已知函數(shù)是區(qū)間上的單調函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【詳解】，令，則或，因為是區(qū)間上的單調函數(shù)，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.5．（2023春·高二單元測試）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因，，若，，當時，，符合題意，當時，得，因，故，由題意在上恒成立，設，則在上單調遞減，故故，，綜上，故答案為：②由函數(shù)存在單調區(qū)間求參數(shù)1．（2023春·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）若在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導得，因為函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則不等式在上有解，而，當時，，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：B2．（2023春·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，若在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.3．（2023春·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調減區(qū)間，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由已知在上有解，即在上有解，設，則在上恒成立，因此在上是增函數(shù)，，所以，故選：D．4．（2023春·江西撫州·高二江西省臨川第二中學?？茧A段練習）函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)，∴，∵函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，，即有解，令,,∴當時，，即可．故答案為:5．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】，等價于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.6．（2023·全國·高二專題練習）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】，定義域為，，由題意可知，存在使得，即.當時，，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調求參數(shù)1．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，當時，在區(qū)間上單調遞減，不符合題意.當，時，，在區(qū)間上單調遞減，不符合題意.當時，令，解得，要使在區(qū)間上不單調，則，即，解得,此時在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.故選：B2．（2023春·湖南岳陽·高二湖南省岳陽縣第一中學校考期末）已知函數(shù)在上不是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，定義域為，.若，則恒成立，則在上單調遞增，與已知不符，舍去；當時，由可知，或（舍去）.當時，有，所以在上單調遞減；當時，有，所以在上單調遞增.由已知函數(shù)在上不是單調函數(shù)，所以應有，所以.故選：A.3．（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域為，且，令，可得，當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，所以，函數(shù)的唯一極值點為，因為函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，且，所以，，解得.故選：A.4．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中?？计谀?/p>