湖南省2024-2025學年高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學試題

2024年高三10月聯(lián)考卷

數(shù)學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證

號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1.已知集合2={x|ln(x-1)>0},集合B={x\x2-3x<0},則4UB=()

A.(0,2]B.[2,3)C.(0,+oo)D.[2,+oo)

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z+l|=|z+i|=通，則|z|的值為()

A.1B.V2C.m或2近D.1或企

3.已知向量d=(2,0),b=若向量3在向量a上的投影向量m=C，。)，

則|同=()

A.V3B.V7C.—D.1

4

4.已知函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(2-%)，且在區(qū)間[1,+8)上單調遞減.設a=

/(-Inl.l),匕=/(2°4),c=/(log25),則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

5.已知圓錐的母線長為定值R,當圓錐的體積最大時，圓錐的底面半徑為()

1

A-豹Bc-豹D.-R

-白R3

6.已知函數(shù)fQ）的圖象如圖所示,則不等式。+1）/。）＜0的解集為（)

B.(—oo,—l)U(2,4-00)

C.(―1,1)U(3,+8)D.^-oo,-0U(2,4-00)

7.若正項等比數(shù)列滿足anan+l=22n（72CN*）,則數(shù)列｛%J的前4項的和S4

的值是（）

A.15V2B.—C.8V2D.6/+6

4

8.已知小明射箭命中靶心的概率為|,且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次

后，恰好命中兩次的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

62525625625

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，至

少有兩項是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選

得0分）

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

9.如圖，在直三棱柱ABC—2146中，A4i=2,AB=BC=1,乙ABC=120°,

側面441cle的對角線交點。，點E是側棱BBi上的一個動點，下列結論正確的是

（）

A.直二棱柱的側面積是4+2y/3

B.直三棱柱的外接球表面積是4兀

C.三棱錐E-441。的體積與點E的位置無關

D.2E+EQ的最小值為2/

10.已知△2BC的內角A,3,C的對邊分別為a,。,c,則下列說法正確的有()

A.若a^tanB=b2tarii4,則a=b

B.若cos2?=竽，則此三角形為直角三角形

22c

C.若a=3,5=4,B=g則解此三角形必有兩解

D.若公ABC是銳角三角形，貝！Jsin/+sinB>COSTI+cos5

11.已知數(shù)列｛a九｝的首項為的=1,且9冊冊+i=即-4%+i，數(shù)列｛1｝、數(shù)列

n

｛4anan+1］>數(shù)列｛最｝的前般項和分別為幻、R仆Tn,則()

A.皿〈工B.<--4C.Rn<-D.Tn<--^r

nnnn+1

an53394

三、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

12.已知％〉1,y>0,且久+：=2,則W+y的最小值是-

13.已知函數(shù)/(%)=sin(27ia)%)(a)>0)在區(qū)間［0,18］上有且僅有5個零點，則包的

取值范圍是.

|汽+TKl\,汽<0,

Pm」:給出下列四個結論：

(———\x,x>0.

①當Hl=0時，函數(shù)/(%)在(一8,+8)上單調遞減；

②若函數(shù)/(%)有且僅有兩個零點，則m>0;

③當m<0時，若存在實數(shù)a,b,使得/(a)=f(b),則|a—川的取值范圍為(2,十8)；

④已知點P(—TH,0),函數(shù)/(%)的圖象上存在兩點Qi(%i，%),Q2(%2，y2)(Kl<%2<

0),Q1，Q2關于坐標原點。的對稱點也在函數(shù)/(%)的圖象上-若IPQ1I+IPQ2I=

唱，則TH=1.

其中所有正確結論的序號是—.

四、解答題(本大題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

15.(13分)已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為%,S5=62,S10=2046,數(shù)列也｝

滿足瓦+2b2+-+訪=也為S2.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項公式；

(2)令％=若也，求｛4｝的前n項和

16.(15分)如圖，在三棱錐P-4BC中，4,BrG分別是側棱P4PB,PC的

中點，AB1BC,41。1平面BBiGC.

⑴求證：平面4/1。1平面&B1G；

(2)如果ZiC=BiC,AB=BC=4,求二面角一-C的余弦值.

17.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校

學生開放了4B兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中

心進行適當?shù)捏w育鍛煉.

⑴該校學生甲、乙、丙三人某周均從4B兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，

若甲、乙、丙該周選擇4健身中心健身的概率分別為另，京求這三人中這一周恰好

有一人選擇4健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩

個健身中心的其中一個，其中周六選擇a健身中心的概率為a若丁周六選擇2健身

中心，則周日仍選擇a健身中心的概率為:；若周六選擇B健身中心，則周日選擇

4

a健身中心的概率為|?求丁周日選擇B健身中心健身的概率；

⑶現(xiàn)用健身指數(shù)G[0,10]）來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，

并規(guī)定上值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學生中隨

機抽取一人，其k值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，如果

抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健

身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數(shù)不超過幾若抽取次數(shù)的期望值不超過23,

求72的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829X0,557,O.9830~0,545,0.9831~0.535.

18.（17分）已知橢圓C:，+\=l（a>1>b>0）的離心率為手，過點M（l,0）的

直線2交橢圓C于點4B,且當21%軸時，\AB\=V3.

⑴求橢圓C的方程；

（2）記橢圓C的左焦點為F,若過凡4B三點的圓的圓心恰好在y軸上，求直線，的斜

率.

19.對于四個正數(shù)機、小p、q,若滿足S<中，則稱有序數(shù)對（相,力是（夕國）的

“下位序列”.

（1）對于2、3、7、11,有序數(shù)對（3,11）是（2,7）的“下位序列”嗎?請簡單說

明理由；

（2）設a、b、c、d均為正數(shù)，且（。力）是（c,d）的“下位序列”，試判斷，、三、

bd

用之間的大小關系；

b+d

（3）設正整數(shù)“滿足條件：對集合｛制。（切<2024,meN｝內的每個冽，總存在

正整數(shù)左，使得（取2024）是優(yōu),〃）的“下位序列”，且優(yōu),〃）是（加+1,2025）的“下

位序列”，求正整數(shù)〃的最小值.

數(shù)學參考答案

1.【答案】C

【解析】由ln(x-1)20可得：x>2,所以2=［2,+8),

由久2—3%<0可得：0<%<3,所以B=(0,3),

所以2UB=(0,+oo).

故選：C.

2.【答案】C

［解析】設z-a+bi,a,bER,則z+1=(a+1)+歷，z+i—a+(b+l)i,

因為|z+l|=|z+i|=V5,

所以卅+1)2+62=5,01=1或1=—2

la2+(b+1)2=5=1w=—2

當a=b=1時，|z|=V2；當a=b=—2時，|z|=2V2.

故選：C

3.【答案】D

【解析】解：由已知可得，跖讓的投影向量為號*=三"頡=Q°),

又3在江上的投影向量0),所以入=點

所以同=卜+(%=屑+倒=卮=1,D正確.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】由/(久)=/(2-%),得到對稱軸為％=1,則a=/(-lnl.1)=/(2+

lnl.1),

04

而1<2<2+lnl.1<log25,又/(〈在［1,+8)上單調遞減,

則/(2°4)>/(2+lnl.1)>/(log25),得b>a>c.

故選：D

5.【答案】B

【解析】設圓錐的底面半徑為r,高為九，則產十九2=R2,

可得產=R2—h2,hE(0,R),

則圓錐的體積P(九)=-nr2h--兀(R2—h2>)h=-TI(R2fl—h3),則，'=

12

-兀

3(?

當時，，'(九)>0；當時，V\h)<0；

則，(九)在(0,fR)上單調遞增，在(fR,R)內單調遞減，

可知當九=乎心即廠=爭時，圓錐的體積取到最大值.

故選：B.

6.【答案】A

【解析】由函數(shù)/(%)的圖象可得：

當％G(一8,｝時，函數(shù)單調遞增，則/(%)>0,

當久e?,2)時，函數(shù)單調遞減，貝|]((久)<0.

當％C(2,+8)時，函數(shù)單調遞增，則尸(久)>0,

由(%+<o=｛?：；①或%>0②

解①得，％<-1,解②得，l<x<2,

綜上，不等式(久+l)f(x)<0的解集為(―哈—1)u2).

故選：A.

7.【答案】A

【解析】設正項等比數(shù)列｛%J的公比為q>0,

因為%an+i=22nSeN*),所以等詈些=等=4=/，

anan+l乙

2n

解得q=2,所以a/X2=2(an>0),

所以斯=2'，所以的=2丁=魚，

所以54=演=15V2,

1—2

所以數(shù)列｛%J的前4項的和54的值為15/.

故選：A.

8.【答案】D

【解析】由已知命中的概率為|,不命中的概率為|,射擊4次，命中兩次，

故概率P=圖/X(|)、翳

故選：D.

9.【答案】ACD

【解析】A.ZkZBC中，AC=J#+了一2x1x1x(―})=g，

所以直棱柱的側面積為(1+1+V3)x2=4+2V3,故A正確；

BZ2BC外接圓的半徑「=昌=1，

所以直棱柱外接球的半徑H=］產+("了=企，

則直三棱柱外接球的表面積S=47rH2=8兀，故B錯誤；

C.因為BBJ/441，且BBiC平面441GC,AAtu平面441clC,所以BB1〃平面

aA1clC,

點E在BBi上，所以點E到平面441cle的距離相等，為等腰三角形2BC底邊的高

法

且4.0的面積為［x2X苧=?，

則三棱錐E-44。的體積為定值2xf=＜與點E的位置無關，故C正確;

D.將側面展開為如圖長方形，連結ZC1，交BBi于點E,

此時ZE+ECi最小，最小值為J22+(1+1)2=2/,故D正確.

故選：ACD

10.【答案】BD

【解析】對于A：因為c^tanB=b2tanA,由正弦定理可得siMZtanB=siMBtanZ,

rn|Sin2i4sinBsin2Bsinyl

則r=FT-

又Z,Be(0,兀),則sinZA0,sinBAO,2A,2BG(0,2TT),

可得理=sinB整理得sin2a=sin2B,

cosBC0Si4；

又因為a+Be(o,兀)，

可得24=2B或22+2B=兀，即2=B或2+B=]，

所以a=b或。2+爐=。2,故A錯誤；

對于B：因為"—SA==smB+sinc,則2sinC+2cosZsinC=2sinB+2sinC,

22c2sinC

所以cos力sinC=sinB=sin[7r—Q4+C)]=si「(4+C)=sin4cosc+cosAsinC,

所以sin力cosC=0,

在三角形中，sin/>0,所以cosC=0,所以C=；,

則此三角形為直角三角形，故B正確；

對于C：因為Q=3,b=4,5=所以QsinB=所以asinBVaVb,

62

則解此三角形只有一解，故c錯誤；

對于D：因為△ABC是銳角三角形，

所以o<c<］所以］va+B<7T,

所以0<］一8<4<多所以sin(1—B)<sin4即cosB<sin4

同理cos力VsinB,

則sinZ+sinB>cosZ+cosB,故D正確.

故選：BD.

11.【答案】BCD

【解析】若數(shù)列｛斯｝中存在某項以=0,由9an%t+i-an-40^+1可推得以_1=

ak+i—。，

進而｛&J所有項均為0,與%=1矛盾，故數(shù)列｛%J均為非零項.

由9anan+i-CL—4dn+i兩邊同時除以a(2n+i，可得9=-----------,

nnan+lan

所以----F3=4(---F3),—F3=4W0,

an+l"九)al

故數(shù)列｛2+3｝是以4為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以今+3=4%即斯=

1

4九-3’

對于A,因為斯=高，可得02=3。3=>會=蕓〉3矛盾，所以A錯誤；

4,1—31361Q615

對于B,由Sn=(41-3)+(42-3)+…+(乎-3)=算斗-1)一3律=?—

44n+14n+1

—3zi<-------1-3=--------4,

333

所以S九<三---4成立，所以B正確；

對于C,由4"隔]==33一忌J

所以=—占)+(喜―土)+…=[0_

武)所以C正確;

1,2.3n

對于D,因為品=看，%=—I-------1---------卜…H-'---則-/=*+*+/+…+

X?3a九勺4424^4n

n

4九+1

XY))__n_=1_____

11111n

錯位相減得沼=n

4T42T43T44T4rl4n+l~4n+i-3-3x4

4

n

4n+i9

[-舒成立，所以正確.

94rliD

故選：BCD

12.【答案】3+2V2/2V2+3.

【解析】由％+馬=2,得％—1+^=1,

yy

因為％>1,y>0,

所以％-1>0,y>0,

所以士+y=[—i+；)(a+y)=3+(%—i)y+&、3+

2心一加,品;=3+2版

當且僅當(久一l)y=(x：i)7即％=魚，y=2+V^時，等號成立,

所以止+y的最小值是3+2V2.

故答案為：3+2V2.

13.【答案】<60<―

【解析】因為/(無)=sm(2n(jox),所以函數(shù)/(%)的最小正周期T=熹=>0).

因為/(%)在區(qū)間［0,18］上有5個零點，

所以2TW18<§T,即2W18〈月，

232.CO

可得24口〈品

故答案為：0)<

936

14.【答案】②③④

【解析】當m=0時，％20時，/(%)=0,故在(一8,+8)上不是單調遞減，①

錯誤；

對于②，當m=0顯然不成立，故m豐0,

當%>0時，令/(%)—0,即一^12y=0,得％—0,x<0,\x+m\—O^x——m,

要使/(%)有且僅有兩個零點，則一m<0,故m>0,②正確，

r—X—m,x<0,

對于③，當m<0時/(%)=[一尊百久>0.，此時/(%)在(-8,0)單調遞減，在

［0,+8)單調遞增，如圖:

若/(a)=/(b),由一m=-3上日今％=2,故|a-b|>2,所以|a-b|的取值

范圍為(2,+8);③正確

對于④，由①③可知：m<0時，顯然不成立，故m>0,

要使Ql(%l，yi),Q2(%2，y2)(%l<^2<0),Q1，Q2關于坐標原點。的對稱點也在函數(shù)

/(%)的圖象上，

則只需要%>o,y--\x-7nl的圖象與％>0,/(久)=一穿4有兩個不同的交點,

如圖：

故％1<—m<&<°，

|PQil+PQ2I=V2|—m-+V2|X2+m\=-V2(m+/)+V2(%2+m)=

3V23

-X一,

—=>%212

由對稱可得--手力一久1=_|一%i-m\-+m,

化簡可得%i+m+學產;=0,故?F)2—早產；—m==

l^m2+4m

2—、2

2

/(一久2)=一學=-1一%2-刈=一%2-m>化簡得GF^)2+學-

m=0

-粵土Rm2+4m

所以北石=

2

l-m2+4ml-m2+4m

由于一刈,一%2均大于0,所以戶7=3告----，7=石=^^|-----

因此%2一乙=GF而/-GF石)2

由于m>0,/(TH)=］徵4+463為(0,十8)單調遞增函數(shù)，且/(I)=￡

此時為2—%1=￥/優(yōu)+由出=因此TH=1,④正確，

故答案為：②③④

號滬=62

15?【解析】⑴由題意知，二2黑,即

，

ai(i_qio)=2046

i-q

解得｛彳二;，所以即=的必-1=2%

7114771

由九+2b2H---1-(n—+nbn=6+)(-),

6

得瓦+2b2+-+(n-1)V1=("T)"(4"T)(n>2),

6

兩式相減，得幾匕=硬53—空幽3=”2n—1),

66

所以5n-2n-1,

當n=1時，瓦=1滿足上式，

故0-2n-1.

n

(2)由(1)知，an=2,bn=2n—1,所以“=%(；%)=2；2n)=幾.2",

7^=1?21+2?22+3?23+???+(n-1)-2n-1+n-2n,

27；=1-22+2?23+3?24+???+(n-1)-2n+n-2n+1,

兩式加減，

123nn+1n+1

得—Tn=2+2+2+—\-2—n-2=/：j)-n-2=(1—n)?

2n+1-2,

所以〃=0-1)-2"+1+2.

16.【答案】（1）證明見解析；（2）等

【解析】（1）因為A〉Bi，G分別是側棱P4PB,PC的中點,

所以

因為2B1BC,所以4B11B1C1，

因為&C1平面BBiGC,BQu平面BBiGC,

所以4C1BiQ,

又&CClA1B1=A1,A1C,A1B1u平面4tBiC,

所以BiQ1平面&BiC,

又因為當Ciu平面&B1C1，

所以平面2/iC1平面4BiG；

（2）因為&C1平面BBiGC,BC,B]Cu平面BBiGC,

所以4C1B^C.A^C1BC,

因為AB—BC—4,所以Z/i-BiG_=2,

所以&C=B/=魚，

因為&Q1平面&BiC,B1Q//BC,

所以BC1平面&BiC,

又BiCu平面4/iC,所以BClBiC,

所以C4,CB,CBi兩兩垂直，

如圖，以點C為原點，建立空間直角坐標系，

則8(4,0,0),C(0,0,0),4(0,0,V2),8式0,y[2,0),

故硒*=(O,V2,-V2),ZTB=(4,0,-V2),

設平面&BBi的法向量為元=(x,y,z),

則有『.它=V^-/z=°,可取元=(1,2&,2四),

(n-A1B=4%-V2z=0

因為&C1平面BBiQC,

所以E=（0,0,/）即為平面BBiQC的一條法向量,

故8S伍，E）=謁4_2V34

V17XV2-17'

所以二面角A1—BB]—C的余弦值

17?【解析】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇a健身中心健身的概

率

PflX(1--)+(1X-Xfl--)+(1X(1-i)X-=—.

(2)記事件c：丁周六選擇a健身中心，事件。：丁周日選擇B健身中心，

則P(C)=P(C)=|,P(P|C)=1-；=^P(D|C)=1-|=|,

由全概率公式得P(D)=P(C)P(D|C)+PC)P(DC)=；x升：x：=授

242324

故丁周日選擇B健身中心健身的概率為

24

(3)設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概

率為P，貝Up=0.02,

設抽取次數(shù)為X,貝IJX的分布列為

X12371—1n

pp(1-p)p(1-p)2P(1—p)九-2P(1-口尸

故E(X)=p+(1—p)px2+(1—p)2Px3+—I-(1—p)n-2px(n—1)+

(1—p)n-1xn,

又(1—p)E(X)=(1—p)p+(1—p)2px2+(1—p)3px3H---1-(1—

x(n—1)+(1—p)nxn,

兩式相減得pE(X)=p+(1-p)p+(1-ppp4---1-(1-p)n~2p+(1-2產一加,

所以E(X)=1+(1—p)+(1—p)24---卜(1—p)n~2+(1—p)n-1

_「(l-p)_lQp尸_J-0.9871

l-(l-p)p0.02

l-0.98n

所以E（X）=?在neN*時單調遞增,

0.02

1-0.98291-0.557ccyl

可知當n=29時，E(X)---------X----------=22.15;

0.020.02

當幾=3。時，以#=暫~甯=22.75；

當n=31時，以幻=暫~*=23.25.

若抽取次數(shù)的期望值不超過2