湖南省瀏陽市2024-2025學年高二年級上冊期中質量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

2024年下學期期中質量監(jiān)測試卷

局一數(shù)學

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得。分.

1.過點尸（,「2百）且傾斜角為135。的直線方程為（）

A.3x-y-=0B.x—y—>/3=0

C.x+y—^/3—0D.x+y+=0

【答案】D

【解析】

【分析】由傾斜角為135。求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程

【詳解】解：因為直線的傾斜角為135。，所以直線的斜率為左=tanl35°=—1,

所以直線方程為y+2百=—（x—百），即x+y+百=0,

故選：D

2.已知非零向量Z=3"7-2行-4方，b=^x+l^m+8n+2yp,且而、［、不共面，若則%+丁=

（）

A.-13B,-5C.8D.13

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得存在;leR，使得B=進而列式求解即可.

【詳解】因為％〃后，則存在XeR,使得B=

即（x+l）方+8元+2?5=32四一2萬?一4丸萬，

x+1=34

貝ij8=—24,解得％=—13,y=8,

2y=-42

所以x+y=-5.

故選：B.

3.已知點A,B,C為橢圓。的三個頂點，若VABC是正三角形，則。的離心率是（）

A.-B.-C.逅D.同

2332

【答案】C

【解析】

【分析】首先由題得到26="亍，結合。2=尸+°2,即可求得e.

【詳解】無論橢圓焦點位于x軸或V軸，根據(jù)點A,3,C為橢圓。的三個頂點，

若VABC是正三角形，則28=4r萬，即/=3〃，即4=3（片—02）,

即有2a2=302,則e2=L解得e=也.

33

故選：C.

4.已知點P。,—2）在圓C：f+產(chǎn)+6+4y+左2+1=0的外部，則人的取值范圍是（）

A.—2<左<1B.1<k<2C.k<—2D.—2<左<2

【答案】B

【解析】

3

【分析】根據(jù)條件得到圓C的標準方程，再由圓的半徑的平方大于。得到3-4左2>0；再根據(jù)點P。,-2）

在圓C的外部得到1+4+左—8+^+i>0,即可求解得到k的取值范圍.

【詳解】由必+/+依+4y+^+i=o,得++（y+2）2=3—（左2,

3

則3——F9〉0,解得：一24<2①，

4

又?.?點尸（1,—2）在圓C的外部,

???1+4+左一8+F+1>O，即左?+左一2>0，解得左<—2或左>1②,

由①②得1<左<2,

故選：B.

5.瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直

線被稱為“歐拉線”.己知VABC的頂點4（一3,0）,3（3,0）,。（3,3）,則VABC的歐拉線方程為（）

3

A2x-y-l=0B.2x+y--=0

C,x+2y-3=0D.x—2y+l=0

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意求VABC的重心和外心，結合直線的兩點式方程可得歐拉線方程.

【詳解】因為VA3C的頂點4（—3,0）,B（3,0）,C（3,3））

可知7ABC的重心為點---,---，即點（1,1）,

由題意，可知

<-3+30+3、L3

所以7ABC的外心為斜邊的中點,即點0,a

1-1

所以VABC的歐拉線方程為y-l_2,即x+2y—3=0.

故選：C.

6.已知點A,3是雙曲線C:±—±=1上的兩點，線段AB的中點是“（3,2）,則直線A3的斜率為

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用點差法和兩點坐標求直線斜率公式化簡計算即可.

f22

2―五=1

【詳解】設A（冷丹）,3（々,%），貝U：,，

X2y2_]

工T"

兩式相減得』乂=1=（…）（f）,

23

即6（%一%）4（y—%）

2一3‘

二%一乂廠9

xx-x24"

故選D.

7.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABC2中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段8月的中點.直線FC,

到平面AB|E的距離為（）.

；BA

2

3

【答案】D

【解析】

【分析】將直線BG到平面的距離轉化為點G到平面ABE的距離，建立直角坐標系，表示出相應

點的坐標以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.

【詳解】???AElWdCa平面AB]E,AEU平面II平面4片已

因此直線FC[到平面AB}E的距離等于點G到平面AB}E的距離，

如圖，以。點為坐標原點，ZM所在的直線為x軸，DC所在的直線為V軸，所在的直線為z軸，建

立直角坐標系.

則A(l,0,0)㈤(1,1,1),G(0,1,1),￡(0,0,5),E(l,1,5)

Fq=(-l,0,-),AE=(-l,0,-),=(0,1,1),QB；=(1,0,0)

設平面的法向量為“=Q,y,z）,則

—>1

n?AE=—x+—z=0

<2，令z=2，則|=(1,—2,2)

n-AB]=y+z=O

設點c到平面ABE的距離為〃，則

,上叫」

一「V

故直線FCI到平面AB]E的距離為;.

故選：D.

22

8.已知產(chǎn)為雙曲線C：?一}=的一個焦點，過尸作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點

A,/與C的另一條漸近線交于點3,若|人同=氐，則C的離心率為()

A.2B.逅C.D.-

233

【答案】C

【解析】

【分析】畫出圖形，利用漸近線的夾角，通過求解三角形推出雙曲線的離心率即可.

【詳解】如圖所示，

zW

可知：OA=a,AF=b,OF=c,\AB\=y/3a,tanZAOF=—,

..__2tanZAOF=—^_=返坨

tanZAOB=二

1-tan2ZAOF

可得2a。=6（a。_/）=A/3I（2〃2_02）,

4a2卜2-4）=3（2/_02）2,即3c4+16/—16〃2c2=0

可得3e4-16/+16=0，e>\

解得：e=2或0=正

3

*h2

因為a〉Z?>0,所以e?=t=1+彳<2,

a~a

所以e=2舍去，e=------

3

故選：C

【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有

兩種方法：

①求出a,c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,C的齊次式，結合62=02-1轉化為a,C的齊次式，然后等式

（不等式）兩邊分別除以?；?轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.滿足下列條件的直線4與“，其中的是（）

A.的傾斜角為45°，4的斜率為1

B」的斜率為一，，4經(jīng)過點4（2,0），5（3,73）

C.4經(jīng)過點尸（2,1）,Q（T-5）,勻經(jīng)過點。（T，2），N（l,0）

D.4的方向向量為（1,m），’2的方向向量為

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)直線斜率之積為-1判斷ABC,再由方向向量垂直的數(shù)量積表示判斷D.

【詳解】對A,叫=tan45。=1,=1,%」力一、,所以A不正確;

對B,k,-~—=s/3>k,-k,——"xs/3——1>故B正確;

l23_2l23

-5-12-0

對C,勺=不=1'原=不=-1‘八=7,故c正確;

對D,因為（1,機）=1—1=0,所以兩直線方向向量互相垂直，故故D正確.

故選：BCD

10.長度為4的線段A3的兩個端點A和3分別在x軸和V軸上滑動，線段A3中點的運動軌跡為曲線

C,則下列選項正確的是（）

A.點（1』）在曲線。內

B.直線±+'=1與曲線C沒有公共點

43

C.曲線C上任一點關于原點的對稱點仍在曲線C上

D.曲線C上有且僅有兩個點到直線x+y+夜=0的距離為1

【答案】ABC

【解析】

【分析】直接法求得線段中點的軌跡為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關系判斷各選項.

【詳解】設線段中點C（x,y）,則A（2x,0）,5（0,2j）,

故,41+4/=4,即/+丁=4,表示以原點為圓心，2為半徑的圓，故C選項正確；

A選項，點（1』）滿足F+F=2<4在曲線C內，A選項正確；

XV|-12|12

B選項，直線上+2=1,即3x+4y—12=0,圓心到直線的距離d=J_工=一>2,故直線與圓無

43>/32+425

公共點，B選項正確；

D選項，圓心到直線x+y+及=0的距離為d=r^X=l，又r—dVl<r+d,所得由三個點到直

V12+12

線的距離為1,D選項錯誤；

故選：ABC.

H.在直三棱柱中，AA=AB=BC=3,AC=2,。是AC的中點，下列判斷正確的是（）

A.耳C〃平面4方。

B.面ABD，面A41G。

c.直線qc到平面A3。的距離是包

10

D.點A到直線5c的距離是近1

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.連接A片交43于點￡,連接。E,易得DE//B?,再利用線面平行的判定定理判斷；B.易

證5r>_LAC,再根據(jù)平面4ACG，平面ABC,得到3D/平面A&GC，再利用面面垂直的判定定理

判斷；C.以。點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解判斷；D.作AESBC,連接AE,易證

AF1BC,利用勾股定理求解判斷。

【詳解】A.如圖所示：

連接AB1交A3于點E,連接。E,所以DE//4C,又小匚平面^^。，

用。</平面A3D,所以4C//平面故正確；

B.因為A6=5C,。是AC的中點，所以8D_LAC,又平面AACQ，平面ABC,

所以8D/平面4ACC，又5Du平面A3。，所以面43。，面A&GC,故正確;

C.V4cH平面\BD,：.3c到平面ABD的距離等于點區(qū)到平面\BD的距離,

C.以。點原點，建立空間直角坐標系,

則4(0,2夜,3),網(wǎng)0,2也0),4(—1,0,3),西=倒,2倉3),

所以9=(0,2虛,0),西=(—1,0,3),

設平面ABD的一個法向量n=(九,y,z),

即心=。

,不妨取7=（3,0,1）,

[-%+3z=0

n?DB、3\/1~0

所求距禺d=rzi=一—，故錯誤;

\n\10

D.如圖所示:

作A尸15C,連接4尸，因為A4］，平面ABC,所以AA，5C,

又A41cAp=A,所以平面AA尸，則3CLAH，

BDAC2萬24&

又4尸=

BC-3—-亍

；空,故正確

所以4尸=7AA2+AF2=32+

故選：ABD

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)

12.己知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0),離心率為友,則C的方程為.

22

【答案】土—2L=i

22

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.

【詳解】令雙曲線C的實半軸、虛半軸長分別為顯然雙曲線C的中心為原點，焦點在無軸上，其半焦

距c=2,

由雙曲線。的離心率為Ji，得?=、歷，解得a=則6=5“2=萬

22

所以雙曲線C的方程為土-匕=1.

22

22

故答案為：土-匕=1

22

13.在正三棱柱ABC-AiBiCi中，若AB=y/iBBi，則ABi與CiB所成的角的大小為.

【答案】90°

【解析】

【詳解】不妨設BBi=l,貝|AB=a,AB；QB=(AB+BB；)(QC+CB)

=ABQC+ABCB+BB^QC+BBXCB

=0+72372cos60°-1=0

直線ABi與CiB所成角為90°

故答案為90°-

點睛：這個題目考查是立體中異面直線的夾角的求法，常用方法是建系法，直接找兩個直線的方向向

量，求方向向量的夾角即可；或者將異面直線平移到同一個平面中，轉化為平面直線的夾角問題.

14.已知圓C?經(jīng)過點M(3,—1),且與圓G：/+3；2+2》_6丁+5=0相切于點"(1,2),則圓C2的標準

方程為__________________

/20,2/15,2845

【答案］(%---)+(y----------)=—

714196

【解析】

【分析】求出線段MN的中垂線方程與直線GN的方程聯(lián)立，求出點C?的坐標，進而求出圓半徑即可.

【詳解】圓G：（龍+爐+⑶―3）2=5的圓心。］（—1,3）,半徑廠=6,

_i_93

由點"(3,—1),點N(l,2),直線MN斜率鼬v=-------=—工

3—12

21225

線段的中垂線過點，且斜率為一，方程為y——=—（尤—2）,即丁二一九——,

32336

2-315

直線CN的方程為y—3=八(%+1),即丁=——%+-,

1—(—1)22

2520

y=—x——x-——

3二'得，7

由＜1

15

y=——x+—y二-

2214

則所求圓的圓心6（消20，工15），半徑為|。2"1=?。╚20一3『+（j15|+l）2

所以圓C的標準方程為（x—f）2+（y—二.

2714196

…1/20、2/15、2845

故答案為：（x---）+（y--）=——

714196

四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，已知己4,平面ABC。，ABCD為矩形，PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點，求證:

p

//\/

---------

(1)"N//平面RW；

(2)平面PMC_L平面？DC.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】結合已知條件以，平面A3CD,建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標.

(1)利用向量共面的充要條件將麗用平面24。中兩個不共線向量線性表示即可得證；

(2)先分別求出平面與平面PDC的法向量，再證兩法向量垂直即可.

【詳解】如圖，以A為坐標原點，麗所在的直線分別為了、V、z軸正方向建立空間直角坐標

(1)因為",N分別為的中點，所以“(|,0,0),NC|,■!，■!).

所以麗=(0,0,色),而=(0,0,*而=(040).所以麗=工麗+!正.

2222

又因為平面B4D,所以〃平面尸AD.

AA

（2）由（1）,知"（5,0,0）,所以同=e。,—a）,沔0=（萬,0,—。）,①=（0,。,—。）.

設平面的一個法向量為4=(%,%*1)

bX]+ay-叼二02a

定=0ix=—4

則《即《b八.解得＜b.令Z]=b,

々-PM=0—-az=0

x7i=-4

則”=(2a,-b,b).

一fnT-PC=O[bx+ay-az=0

設平面尸DC的一個法向量為%=(%，為，Z2)，貝股，——，即1??八?.

n2-PD=0[ay2-az2=0

x=0uu____>

得《9_.令Z2=l,則%=(O,L1),因為雇以=0-"。=0,所以勺_L%?故平面PMC，平面

。2=Z2一

PDC

16.己知拋物線C：y2=2px(p>o)的焦點為產(chǎn)，點4(2,。)在拋物線0上，M|AF|=3.

(1)求拋物線C的方程，并求。的值；

(2)過焦點產(chǎn)的直線/與拋物線C交于M,N兩點，若點5(—1,1)滿足NMBN=90°,求直線/的方

程.

【答案】(1)V=4%,。=±2/

(2)2,x—y—2—0.

【解析】

【分析】(1)首先表示出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式求出P,即可求出拋物線方

程；

(2)設直線/的方程為％=〃少+1,M(xi，yi)、NG2,%)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，

由麗7?麗=0得到方程，解得即可.

【小問1詳解】

拋物線C：*=2pxQ>o)的準線方程為》=一汽，

因為點A(2,a)在拋物線C上，且恒同=3,

所以|A典=2+《=3,解得夕=2,

所以拋物線方程為9=4x,

又因為點A(2,a)在拋物線。上，所以m=8，a=±242-

【小問2詳解】

由(1)可知拋物線的焦點尸(1,0),

顯然直線/的斜率不為0,設直線的方程為尤=沖+1,MOi，%)，N(x2,y2),

x=my+l,

由12，消去x整理得y—4my—4=0,

y=4x

所以△=16H?+16>0，則為+為=4加，%%=-4,

2

所以為+々=〃z(x+y2)+2=4m+2,

%%=(咐+l)(my2+1)=療%%+相(％+%)+1=1，

又3(—1,1),所以的=(菁+1,%-1),麗=(赴+1,%一1)，

因為NMBN=90°,所以麗?麗=(9+1)(石+1)+(弘_1)(%—1)=0，

即%為2+(玉+*2)+1+乂％—(%+%)+1=0，

即1+4w？+2+1—4—4m+1=0，解得機=1,

2

所以直線/的方程為x=gy+l,即2x—y—2=0.

17.設動點M到定點/(3,0)的距離與它到定直線Z:x=j的距離之比為J.

(1)求點/的軌跡石的方程；

(2)過歹的直線與曲線E交右支于P、Q兩點(P在％軸上方)，曲線E與x軸左、右交點分別為

AB,設直線"的斜率為匕，直線%的斜率為七，試判斷(是否為定值，若是定值，求出此值，若

不是，請說明理由.

22

【答案】(1)--^-=1

45

(2)為定值，且定值為-(

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點到直線的距離以及點到點的距離公式，即可列方程化簡求解，

k

⑵由題意，設直線加的方程為廣小-3),將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結合條件求出亡}即可.

【小問1詳解】

4\MF\_3

設M(x,y),M到定直線/:x=§的距離為d,則

J(x-3)+y3r2、/

故I=5,平方后化簡可得土-匕=1,

x-245

3

故點M的軌跡E的方程為：三-匕=1

45

【小問2詳解】

由題意，A(—2,0),3(2,0),

設直線PQ的方程為y=—3),尸(周，凹)，。(尤2,%)，

y=k(x-3)

由＜22，可得(5—4左2)公+24比2*—36左2—20=0,

5x-4y=20

3642+20

所以…=耳二

斫以=%(w-2)=(%-3)(—-2)=%也一？.-3々+6

k2%&+2)(%—3)(%+2)xix2—3玉+2X2—6

36左2+203%4左224左2

-----------------1--------x+6

_再尤2-3(%+4)+無1+6_4A：2-54/2—54/2-52

36^20一『+5

x1x2-3(再+%)+5工2一6

4k2-54k2-52

12r-101242-10

x

4k2-54/一52￡

50—60r12k2-1025

+5x?—5(_%)

4人2—54k2-5

k1

當直線加的斜率不存在時，PQ“3,1

綜上，與為定值.

p

/1F

]A0\~B\7~x

/NQ

18.已知四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB//DC,/DAB=60°,

AD=2,AB=4,VADE為等邊三角形，且平面ADE平面ABC。，

(2)是否存在一點產(chǎn)，滿足爐=2麗(0<2<1),且使平面AD尸與平面BCE所成的銳二面角的余弦

值為叵；若存在，指出點尸的位置，否則，請說明理由.

13

【答案】(1)證明見解析

(2)點尸為仍中點時，使平面AD產(chǎn)與平面所成的銳二面角的余弦值為遐，理由見解析

13

【解析】

【分析】(1)取AB的中點G,連接。G,證明△ABD是直角三角形，得A￡>_LBD,從而由面面垂直的

性質定理得線面垂直，則可得證線線垂直；

(2)取AD的中點H,連接則證明石平面ABCD,以。為尤,V軸，過。平行于EH的直

線為z軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，由空間向量法求二面角的余弦值，由已知求得X,說明存在.

【小問1詳解】

取AB的中點G,連接。G,

因為AB=4,所以AG=2,又二八46=60°,所以△AGO是等邊三角形，

所以。G=2=^AB,所以ZVIB。是直角三角形，所以

2

因為平面ADEJ_平面ABC。，5￡)u平面ABCD,平面ADE。平面ABCD=AZ),

所以上平面ADE,又AEu平面ADE,所以AEL8D；

【小問2詳解】

廠為石B中點即可滿足條件，理由如下：

取A。的中點"，連接EH，則即，AD，

平面AZ)EJ_平面ABCD,石Hu平面ABCD,平面ADEC平面ABCD=AD,

所以￡〃_L平面ABCD，由VADE為等邊三角形，可得EH=也,

在直角三角形ABD中，BD=273.

以。為坐標原點，以。AOB為尤,y軸，過。平行于即的直線為z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),A(2,0,0),8(0,273,0),C(-l,G,0),E(l,0,6),

則DA=(2,0,0),CB=(1,A/3,0),麗=(-1,28-6)，

醞=4麗=(―426,-岳)，加=反+而7=(1-尢2百尢百-&),

設平面ADF的一個法向量為m=(x,y,z),

m-DF=(1-A)x+2y/3Ay+(73-^2)z=0.

則■{__，令y=X-l,則x=0,z=24

fn-DA=2x=Q

所以平面ADF的一個法向量為m=(0,2-l,22),

設平面BCE的一個法向量為五=(a,4c).

n-CB=a+y(3b=0l

則《_,l廣，令b=l，則〃=—J3,c=3,

n-EB——ci+2j38—J3c=0

所以平面8CE的一個法向量為7=(一6,1,3),

于是爾依司卜用=|2-1+62|V65Ji

u―i—i~~~、—d°，解得％=T■或4=一彳(舍去),

|?|-|m|90-2右2+2|323

所以點廠為所中點時，使平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為姮.

13

19.已知。為坐標原點，橢圓C：口d=1(?！怠贰?)的兩個頂點坐標為4(—2,0),8(2,0),短軸長

為2,直線尸。交橢圓C于尸，。兩點，直線尸。與x軸不平行，記直線釬的斜率為左，直線的斜率

為k2,已知兄=2k2.

(1)求橢圓C的方程

(2)求證：直線P。恒過定點；

(3)斜率為。的直線交橢圓。于M,N兩點，記以OM,QV為直徑的圓的面積分別為S],S2,

△6W的面積為S,求S(&+S?)的最大值.

【答案】(1)—+/=1

4

5兀

(2)證明見解析(3)—.

4

【解析】

【分析】(1)由已知易知。涉的值，得橢圓C的方程；

(2)設直線PQ方程為％=)+〃，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理及匕"BP=-!，可得〃=—2，即